2.2双曲线练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2双曲线 练习 一、单选题 1．如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（    ） A．3 B．12 C．15 D．3或15 3．已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线 的离心率为 3 ， 则双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D．3 6．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 7．已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为 B．双曲线C的离心率为 C．若，则三角形的周长为 D．的取值范围为 8．设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）. A．C的离心率为 B． C． D． 三、填空题 9．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 10．双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 11．方程表示双曲线，则的取值范围是 . 12．已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 四、解答题 13．已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 14．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 参考答案 1．B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 2．C 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 3．B 【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点M在C上即可求解. 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以 故选：B. 4．B 【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点在上即可求解. 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以． 故选：B． 5．A 【分析】根据已知双曲线的离心率得出的关系,再求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线 的离心率,所以， 所以双曲线 的离心率. 故选：A. 6．A 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义和性质，即可得出答案. 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 7．BCD 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则 ，可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 8．ACD 【分析】根据双曲线的标准方程及离心率公式可判断；设，，联立双曲线与圆的方程结合韦达定理计算可判断；由基本不等式链，结合可判断；由题意得，结合基本不等式可判断. 【详解】对于，因为，则， 所以C的离心率为，故正确； 对于，设，， 联立，消去x可得， 则，解得； 则，， 则，， 所以，故错误； 对于，由基本不等式链得， 当且仅当时取等号，故正确； 对于，F为右焦点，， 又，， ，故正确. 故选：ACD. 【点睛】利用韦达定理解题的基本规律： （1）设直线方程（本题中可直接写出圆的方程），设交点坐标为，； （2）联立直线（曲线）与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 9． 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【详解】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 10． 【分析】由双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故答案为： 11． 【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可. 【详解】方程表示双曲线， 可得， 解得， 故答案为：. 12．或 【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法求双曲线方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得，则双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得双曲线的方程为． 综上，双曲线的方程是或． 故答案为：或 13．(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$