第2章 1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题

学习目标　1.进一步熟悉椭圆的定义，并能运用其解决一些相关的问题.2.理解点与椭圆的位置关系.

一、椭圆方程的设法

例1　求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点P.

(2)求过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程；

(3)已知椭圆的中心在原点，过点(，－2)和(0，2)，求椭圆的标准方程.

解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(m>n>0)，焦距为2c0.

由题意得c0＝1，|PF1|＝，

|PF2|＝，

则m＝，

n＝＝2，

故椭圆的标准方程为＝1.

(2)设所求椭圆方程为＝1(k<9)，

将点(，－)代入，

可得＝1，

解得k＝5(k＝21舍去)，

故所求椭圆的标准方程为＝1.

(3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，椭圆过点(，－2)和(0，2)，

则解得

所以椭圆的标准方程为＝1.

反思感悟　求椭圆标准方程的方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.

(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.

当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.

(3)与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＝1.

(4)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式.

跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；

(2)经过A，B两点.

解　(1)设所求椭圆方程为＝1(k<1)，

将点代入，可得＝1，

解得k＝－2或k＝(舍去)，

故所求椭圆的标准方程为＝1.

(2)设所求的椭圆方程为

mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).

把A，B两点代入，

得解得m＝，n＝1，

∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.

二、椭圆定义的应用

例2　已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.

解　由已知得a＝2，b＝，

所以c＝＝3，

从而|F1F2|＝2c＝6，

在△F1PF2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，

即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①

由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，

即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②

由①②得|PF1|·|PF2|＝4.

所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.

延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.

解　在△F1PF2中，由勾股定理可得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，

即|PF2|2＝|PF1|2＋36，

又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，

所以|PF2|＝4－|PF1|.

从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，

解得|PF1|＝.

所以△F1PF2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝，

即△F1PF2的面积是.

反思感悟　椭圆定义的应用技巧

(1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化.

(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.

跟踪训练2　已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为　　　　.