第2章 1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦椭圆标准方程的综合问题，系统梳理椭圆方程的设法（定义法、待定系数法等）、定义的应用（焦点三角形相关计算）及点与椭圆的位置关系判断，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料通过分层例题（如例2延伸探究不同角度焦点三角形）、方法归纳（反思感悟提炼解题策略）及跟踪训练巩固，培养学生数学思维的推理能力（如用余弦定理解决焦点三角形问题）、数学眼光的抽象能力（位置关系判断），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题 学习目标　1.进一步熟悉椭圆的定义，并能运用其解决一些相关的问题.2.理解点与椭圆的位置关系. 一、椭圆方程的设法 例1　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点P. (2)求过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程； (3)已知椭圆的中心在原点，过点(，－2)和(0，2)，求椭圆的标准方程. 解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(m>n>0)，焦距为2c0. 由题意得c0＝1，|PF1|＝， |PF2|＝， 则m＝， n＝＝2， 故椭圆的标准方程为＝1. (2)设所求椭圆方程为＝1(k<9)， 将点(，－)代入， 可得＝1， 解得k＝5(k＝21舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＝1. (3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，椭圆过点(，－2)和(0，2)， 则解得 所以椭圆的标准方程为＝1. 反思感悟　求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件. (3)与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＝1. (4)当已知椭圆经过两点求椭圆的标准方程时，椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式. 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2)经过A，B两点. 解　(1)设所求椭圆方程为＝1(k<1)， 将点代入，可得＝1， 解得k＝－2或k＝(舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＝1. (2)设所求的椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 把A，B两点代入， 得解得m＝，n＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解　在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝. 所以△F1PF2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝， 即△F1PF2的面积是. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，利用椭圆的定义进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解. 跟踪训练2　已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为　　　　. 答案　 解析　设椭圆C：＝1的右焦点为F'(2，0). 由A，得|AF'|＝. 根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF'|＝2a＝6， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF'|≥6－|AF'|＝6－. 三、点与椭圆的位置关系 例3　已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＝1的位置关系是(　　) A.在椭圆内 B.在椭圆外 C.在椭圆上 D.不确定 答案　A 解析　∵直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点， ∴>，即m2＋n2<5， ∴m2<5，n2<5. 又∵<<1， ∴点P(m，n)在椭圆内部. 反思感悟　点与椭圆的位置关系的判断 (1)根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆的位置关系如下： |PF1|＋|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部； |PF1|＋|PF2|＝2a⇔点P在椭圆上； |PF1|＋|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部. (2)对于点P(x0，y0)与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P(x0，y0)在椭圆外⇔>1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔<1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔＝1. 跟踪训练3　若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆＝1的内部，则m的取值范围是　　　　. 答案　(1，5) 解析　由题意知<1， ∴m>1， 又椭圆的焦点在x轴上， ∴m<5， 故m的取值范围是(1，5). 1.知识清单： (1)椭圆方程的设法. (2)椭圆定义的应用. (3)点与椭圆的位置关系. 2.方法归纳：转化与归纳. 3.常见误区：求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错. 1.已知F1，F2是椭圆＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　根据椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11. 2.设P为椭圆＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号. 3.若点P(1，m)在椭圆＋y2＝1内，则m的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意知，＋m2<1，则－<m<. 4.设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积为　　　　　　. 答案　4 解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△PF1F2是直角三角形， 故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知椭圆C：＝1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A.点在椭圆上 B.点在椭圆内 C.点在椭圆外 D.无法判断 答案　B 解析　因为<1，所以点A在椭圆C内部. 2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 3.若椭圆＋y2＝1上一点A到左焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由已知得a＝3，|AF1|＝2，设椭圆的右焦点为F2，则|AF2|＝2a－2＝4， 易知OB是△AF1F2的中位线， 所以|OB|＝＝2. 4.(多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.则下列说法中正确的是(　　) A.|PF1|＝5，|PF2|＝3 B.△PF1F2为直角三角形 C.＝6 D.＝12 答案　ABC 解析　由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4， ∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2， 故△PF1F2为直角三角形， ∴×3×4＝6. 5.点P(4cos α，4sin α)(α∈R)与椭圆C：＝1的位置关系是(　　) A.点P在椭圆C上 B.不能确定 C.点P在椭圆外 D.点P在椭圆内 答案　C 解析　将点P代入椭圆C的方程，得＝4cos2α＋16sin2α＝4＋12sin2α>1，∴点P在椭圆外. 6.设m，n为不相等的正实数，椭圆＝1的焦点分别为F1(0，2)与F2(0，－2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m＋n等于(　　) A.4＋2 B.2 C.28 D.36 答案　C 解析　要使△PF1F2为正三角形，则|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c＝4，所以|PF1|＝|PF2|＝a＝＝4，即n＝16，故m＝n－c2＝12，则m＋n＝28. 7.(5分)已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　. 答案　＝1 解析　方法一　依题意，可设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(－2，0). 依题意，有 解得 又a2＝b2＋c2，∴b2＝12， 故椭圆C的标准方程为＝1. 方法二　依题意，可设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，则 解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16. ∴椭圆C的标准方程为＝1. 8.(5分)已知椭圆＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为　　　　. 答案　3 解析　由题意，可知b＝，c＝，|PF1|＝4， 则|PF2|＝2a－4.|F1F2|＝2c＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝， 即－，解得a＝3. 9.(10分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程；(6分) (2)求△F1PF2的面积.(4分) 解　(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， ∴a＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－， 故椭圆C的方程为＋4y2＝1. (2)|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×. 10.(10分)已知椭圆＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程；(4分) (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值.(6分) 解　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＝1. (2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝. 故∠F1PF2的余弦值等于. 11.(多选)椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，且·＝0，则点M的纵坐标可以为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　BC 解析　设M(x0，y0)，点M在椭圆＋y2＝1上， 所以＝1， ① 椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 则F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，由·＝0， 可得(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝0， 化简可得＝3， ② 联立①②可解得y0＝±， 故点M的纵坐标为±. 12.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A.|AF|＋|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 答案　AD 解析　设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝2a＝6，为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误； 令y＝，可得A，B两点坐标， 不妨设A(－，)，B(，)， ∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(，－)＝6－6<0，∴∠ABF为钝角，则△ABF不是直角三角形，C错误； 令y＝1，可得A，B两点坐标， 不妨设A(－，1)，B(，1)，则BF⊥x轴， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确. 13.(5分)椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是　　　　. 答案　4＋2 解析　因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|＝|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|＝|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知， |PF1|＋|PF2|＝2(|PM|＋|PN|)＝4， 即2a＝4，所以a＝2，则c＝， 于是△PF1F2的周长是2a＋2c＝4＋2. 14.(5分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　. 答案　 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. 则△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知. 15.已知点A(1，1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PA|＋|PF1|的最大值和最小值分别为(　　) A.6＋，6－ B.4＋，4－ C.6＋2，6－2 D.4＋2，4－2 答案　A 解析　设椭圆的右焦点为F2，把椭圆方程化为标准方程为＝1，由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6⇒|PF1|＝6－|PF2|，|AF2|＝， ∴|PA|＋|PF1|＝6－(|PF2|－|PA|). ①当|PA|≥|PF2|时，有|PA|－|PF2|≤|AF2|， 等号成立时|PA|＋|PF1|最大，此时P是射线AF2与椭圆的交点，则|PA|＋|PF1|的最大值是6＋； ②当|PA|≤|PF2|时，有|PF2|－|PA|≤|AF2|， 等号成立时|PA|＋|PF1|最小，此时P是射线F2A与椭圆的交点，则|PA|＋|PF1|的最小值是6－. 16.(12分)设点M(x，y)是椭圆＝1上的任意一点，求x＋y的最大值与最小值. 解　设x＝4cos θ，y＝3sin θ，θ∈[0，2π)， 则x＋y＝4cos θ＋3sin θ＝5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝. 因为sin(θ＋φ)∈[－1，1]，所以x＋y∈[－5，5]. 所以(x＋y)min＝－5，(x＋y)max＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $