第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质(一)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及应用，通过类比椭圆、双曲线的研究方法，以“应研究哪些几何性质”的问题引导，用表格系统梳理不同开口方向抛物线的方程、范围等，搭建知识学习支架。 其亮点在于运用类比迁移的数学思维，以表格化的数学语言呈现性质，结合正三角形、向量等实例培养数学眼光。课堂小结归纳方法与误区，助力学生提升逻辑推理和应用能力，教师可直接使用结构化内容与多样化例题提高教学效率。

第1课时 抛物线的简单几何性质(一) 第二章　3.2　抛物线的简单几何性质 <<< 1.掌握抛物线的几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 学习目标 在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，类比椭圆和双曲线的几何性质的导学过程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质. 导 语 一、抛物线的简单几何性质 二、抛物线的几何性质的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 抛物线的简单几何性质 一 提示　范围、对称性、顶点、离心率. 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质. 问题 图形         标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 知识梳理 对称轴 　轴 　轴 　轴 　轴 焦点坐标 F________ F__________ F________ F_________ 准线方程 x＝____ x＝___ y＝____ y＝___ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝＝ (其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) x x y y － － 1 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p. 注 意 点 <<< 9 　(课本例3)　求顶点在原点，经过点(，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 例 1 10 因为点(，－6)在第四象限， 所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 因为点(，－6)在抛物线上，所以 (－6)2＝2p·. 解得2p＝12，所求抛物线的标准方程为 y2＝12x(如图(1)). 若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为 x2＝－y(如图(2)). 解 11 　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 例 1 12 椭圆的方程可化为＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0) 或y2＝－2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 解 13 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 反 思 感 悟 14 　已知抛物线y2＝4x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的取值范围. 跟踪训练 1 抛物线y2＝4x的顶点坐标为(0，0)，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，对称轴为x轴，变量x的取值范围为[0，＋∞). 解 15 二 抛物线的几何性质的应用 　(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长. 例 2 17 如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又|OA|＝|OB|， 所以， 即＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2， 解 18 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. 解 19 (2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　　. 4 20 由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，由于抛物线的对称性，不妨设A(x0，y0)，y0>0，过A作AH⊥x轴于H， 在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1， 由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°， 故y0＝|AH|＝(x0－1)， 所以点A的坐标为(x0，(x0－1))， 将此代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0， 解析 21 解得x0＝3或x0＝(舍)， 所以点A的坐标为(3，2)， 故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4. 解析 22 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 反 思 感 悟 23 (1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为 A.2 B.4 C.6 D.8 跟踪训练 2 √ √ 24 由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)， 设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5， 可得x＝5－.因为圆心是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心的横坐标为， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即点M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8. 解析 25 (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 26 如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1，即·＝－1. ∴＝x0， 又∵＝2px0，∴x0＝2p＋. ∴直线AB的方程为x＝. 解 27 1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)抛物线的几何性质的应用. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 √ 1 2 3 4 由抛物线y＝4x2， 得抛物线标准方程为x2＝y，2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 解析 1 2 3 4 2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y √ √ 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，由题意得2p＝8. ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 解析 1 2 3 4 3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)， 由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|， 又F，所以x0＝， 所以，所以y0＝±. 解析 1 2 3 4 4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝　　　. 0 因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0. 解析 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A AD C BC － x＝－ 题号 11 12 13 14 15 答案 B BD (0，1] 6 C 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4. ∴抛物线的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1； 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0). 将点M(1，－2)代入，得n＝－. ∴抛物线的标准方程为x2＝－y，准线方程为y＝. 故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 对应的准线方程分别为x＝－1或y＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)， 由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0+＝3， 因为|AM|＝， 所以+＝17， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示， 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2，B(3，－2， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2+4. 基础巩固 1.若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是 A.(－m，－n) B.(m，－n) C.(－m，n) D.(－n，－m) √ 由抛物线方程可知其关于x轴对称， 故点(m，－n)一定在该抛物线上. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为 A.2 B.1 C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9， 其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆， 又抛物线的准线方程为x＝－， ∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3， 解得p＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. √ 由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是 A.x2＝－y B.x2＝y C.y2＝－9x D.y2＝9x √ √ 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心坐标为(1，－3)， 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p， 所以p＝或p＝，所以y2＝9x或x2＝－y. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12，则∠AOB等于 A.30° B.45° C.60° D.120° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由|OA|＝|OB|，知A，B两点关于y轴对称， 故可设A，B，且设OB与y轴的夹角为θ， 所以S△AOB＝×2a×＝12， 解得a＝2，所以B(2，6)， 所以tan θ＝，所以θ＝30°， 所以∠AOB＝2θ＝60°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标可以是 A.(2，2) B.(1，－2) C.(1，2) D.(2，－2) √ √ 由题意知F(1，0)，设A·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦 点为F，则直线AF的斜率为　　　　. － ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x， 则焦点F的坐标为(2，0). 又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ| ＝6，则C的准线方程为　　　 . x＝－ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， 所以， 解得p＝3(p＝0舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程. 当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4. ∴抛物线的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1； 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0). 将点M(1，－2)代入，得n＝－. ∴抛物线的标准方程为x2＝－y，准线方程为y＝. 故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 对应的准线方程分别为x＝－1或y＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝， 所以＝17， 所以＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为 A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)， 则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×， 即x1＝p，则＝3p2， 则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4， 解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在平面直角坐标系中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点 A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是 A.C的准线方程为x＝ B.b＝ C.·＝2 D. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则 则抛物线C：y2＝x，A，B()， 抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确； ·×＋1×＝1＋，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线C的焦点F， 则|AF|＝， |BF|＝， 则，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知抛物线y＝x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　. (0，1] 设点P(x，y)为抛物线上的任意一点， 则点P离点A(0，a)的距离的平方为 |AP|2＝x2＋(y－a)2＝x2＋y2－2ay＋a2. 因为x2＝2y， 所以|AP|2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2＋2(1－a)y＋a2(y≥0). 因为抛物线上距离点A(0，a)最近的点恰好是顶点， 所以a－1≤0，解得a≤1.又a>0，所以0<a≤1. 解析 14.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－. 将y＝－＝1得|x|＝. 要使△ABF为等边三角形， 则tan，解得p2＝36，p＝6. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A. B. C.＋1 D.－1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P(x，y)，y≥0， 则m2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当y＝1时 取等号，此时点P(±2，1)，2c＝2，2a＝|PA|－|PB|＝2－2，e＝ ＋1. 解析 16.已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. 解 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 解 第二章　3.2　抛物线的简单几何性质 <<< $