第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质(一)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学抛物线的简单几何性质，基于上一节抛物线的定义及标准方程，类比椭圆和双曲线的研究方法，通过方程系统探究范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率等核心性质，构建从定义到方程再到性质的学习支架。 该资料以类比迁移设计知识体系，通过问题引导培养数学眼光中的抽象与几何直观，结合例题与跟踪训练运用待定系数法、方程思想提升数学思维的推理与运算能力，表格梳理性质及规范解答强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生巩固应用，查漏补缺。

3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质(一) 学习目标　1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 导语 在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，类比椭圆和双曲线的几何性质的导学过程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质. 一、抛物线的简单几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质. 提示　范围、对称性、顶点、离心率. 知识梳理　 图形 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点 坐标 O(0，0) 离心 率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) 注意点： (1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p. 例1　(课本例3)　求顶点在原点，经过点(，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 解　因为点(，－6)在第四象限， 所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0). 因为点(，－6)在抛物线上，所以 (－6)2＝2p·. 解得2p＝12，所求抛物线的标准方程为 y2＝12x(如图(1)). 若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为 x2＝－y(如图(2)). 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解　椭圆的方程可化为＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0) 或y2＝－2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　已知抛物线y2＝4x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的取值范围. 解　抛物线y2＝4x的顶点坐标为(0，0)，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，对称轴为x轴，变量x的取值范围为[0，＋∞). 二、抛物线的几何性质的应用 例2　(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长. 解　如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又|OA|＝|OB|， 所以， 即＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. (2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　　. 答案　4 解析　由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，由于抛物线的对称性，不妨设A(x0，y0)，y0>0，过A作AH⊥x轴于H， 在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1， 由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°， 故y0＝|AH|＝(x0－1)， 所以点A的坐标为 (x0，(x0－1))， 将此代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝(舍)， 所以点A的坐标为(3，2)， 故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4. 反思感悟　利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 跟踪训练2　(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　AD 解析　由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)， 设点M(x，y)，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5， 可得x＝5－.因为圆心是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心的横坐标为， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0， 所以p＝2或p＝8. (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解　如图， 设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， 即·＝－1. ∴＝x0， 又∵＝2px0，∴x0＝2p＋. ∴直线AB的方程为x＝. 1.知识清单： (1)抛物线的几何性质. (2)抛物线的几何性质的应用. 2.方法归纳：待定系数法. 3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误. 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 答案　B 解析　由抛物线y＝4x2， 得抛物线标准方程为x2＝y，2p＝，， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 答案　CD 解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，由题意得2p＝8. ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)， 由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|， 又F，所以x0＝， 所以，所以y0＝±. 4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝　　　　. 答案　0 解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A.(－m，－n) B.(m，－n) C.(－m，n) D.(－n，－m) 答案　B 解析　由抛物线方程可知其关于x轴对称， 故点(m，－n)一定在该抛物线上. 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　A 解析　曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9， 其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆， 又抛物线的准线方程为x＝－， ∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3， 解得p＝2. 3.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1－. 4.(多选)以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(　　) A.x2＝－y B.x2＝y C.y2＝－9x D.y2＝9x 答案　AD 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心坐标为(1，－3)， 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p， 所以p＝或p＝，所以y2＝9x或x2＝－y. 5.已知A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12，则∠AOB等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　C 解析　如图，由|OA|＝|OB|，知A，B两点关于y轴对称， 故可设A，B，且设OB与y轴的夹角为θ， 所以S△AOB＝×2a×＝12， 解得a＝2，所以B(2，6)， 所以tan θ＝，所以θ＝30°， 所以∠AOB＝2θ＝60°. 6.(多选)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标可以是(　　) A.(2，2) B.(1，－2) C.(1，2) D.(2，－2) 答案　BC 解析　由题意知F(1，0)，设A，则，，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2). 7.(5分)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　. 答案　－ 解析　∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x， 则焦点F的坐标为(2，0). 又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 8.(5分)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为　　　. 答案　x＝－ 解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， 所以，即， 解得p＝3(p＝0舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. 9.(10分)已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程. 解　当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0).将点M(1，－2)代入，得m＝4. ∴抛物线的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1； 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0). 将点M(1，－2)代入，得n＝－. ∴抛物线的标准方程为x2＝－y，准线方程为y＝. 故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 对应的准线方程分别为x＝－1或y＝. 10.(10分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程. 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝， 所以＝17， 所以＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为(　　) A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x 答案　B 解析　设M(x1，y1)， 则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×， 即x1＝p，则＝3p2， 则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4， 解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 12.(多选)在平面直角坐标系中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　) A.C的准线方程为x＝ B.b＝ C.·＝2 D. 答案　BD 解析　点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得 则抛物线C：y2＝x，A，B(，)， 抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确； ·×＋1×＝1＋，故C错误； 抛物线C的焦点F， 则|AF|＝， |BF|＝， 则，故D正确. 13.(5分)已知抛物线y＝x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　. 答案　(0，1] 解析　设点P(x，y)为抛物线上的任意一点， 则点P离点A(0，a)的距离的平方为 |AP|2＝x2＋(y－a)2＝x2＋y2－2ay＋a2. 因为x2＝2y， 所以|AP|2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2＋2(1－a)y＋a2(y≥0). 因为抛物线上距离点A(0，a)最近的点恰好是顶点， 所以a－1≤0，解得a≤1.又a>0，所以0<a≤1. 14.(5分)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　　　. 答案　6 解析　抛物线的焦点坐标为F， 准线方程为y＝－. 将y＝－代入＝1得|x|＝. 要使△ABF为等边三角形， 则tan， 解得p2＝36，p＝6. 15.已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.＋1 D.－1 答案　C 解析　设点P(x，y)，y≥0， 则m2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当y＝1时取等号，此时点P(±2，1)，2c＝2，2a＝|PA|－|PB|＝2－2，e＝＋1. 16.(12分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(4分) (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.(8分) 解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $