第2章 1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，通过类比直线与圆的方程研究方法导入，引导学生观察椭圆形状提出范围、对称性等问题，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助理解a,b,c的几何意义及性质。 其亮点在于以问题驱动和表格对比呈现知识，通过观察椭圆形状培养数学眼光，离心率推导与分类讨论求方程发展数学思维，规范表达强化数学语言。例题与训练助学生巩固，教师可高效教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

第1课时 椭圆的简单几何性质 第二章　1.2　椭圆的简单几何性质 <<< 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何性质解决相关问题. 学习目标 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 导 语 一、椭圆的几何性质 二、由椭圆的几何性质求标准方程 课时对点练 三、求椭圆的离心率 随堂演练 内容索引 椭圆的几何性质 一 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 观察椭圆＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题1 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 知识梳理 范围 _____________________ _____________________ 顶点 ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ 轴长 短轴长等于 ，长轴长等于____ 短半轴长等于 ，长半轴长等于___ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴： ；对称中心：_____ －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a b a x轴、y轴 原点 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点. (5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大. (6)通径长为. (7)设P为椭圆上不与焦点共线的任意一点，则焦点三角形面 积为b2tan (∠F1PF2＝θ). 注 意 点 <<< 9 提示　如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，由e ＝，知0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小， ∠BF2O越大，椭圆越接近于圆.当a＝b时，图形为圆. 扁平程度是椭圆的重要形状特征，如图，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我 们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请 说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 问题2 10 椭圆的离心率：e＝ ∈(0，1). 知识梳理 11 (1)e＝. (2)离心率的范围为(0，1). (3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆. 注 意 点 <<< 12 　(课本例4)　求椭圆9x2+25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形， 例 1 13 将已知方程化为椭圆的标准方程+＝1. 则a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10，2b＝6. 离心率是e＝. 两个焦点分别是F1(－4，0)，F2(4，0). 椭圆的四个顶点分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). 将方程变形为y＝±，由y＝，在0≤x≤5的范围内 计算出一些点的坐标(x，y)， 解 14 x 0 1 2 3 4 5 y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0 如表所示(y的值精确到0.1). 解 先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图). 15 　求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1)＝1； 例 1 由椭圆方程知，a＝，b＝，c＝＝1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)，焦点坐标为(－1，0)，(1，0). 解 16 (2)4x2＋y2＝16. 椭圆方程可变形为＝1， 所以a＝4，b＝2，c＝＝2， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－4)，(0，4)，焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 解 17 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反 思 感 悟 18 　已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； 跟踪训练 1 由椭圆C1：＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. 解 19 (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 椭圆C2：＝1. 几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8， 0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 解 20 二 由椭圆的几何性质求标准方程 　(课本例5)　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； 例 2 由已知2a＝12，e＝，得a＝6，c＝4， 从而b2＝a2－c2＝20. 所以椭圆的标准方程为+＝1. 解 22 (2)经过点P(－6，0)和Q(0，8). 由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有b＝6，a＝8. 又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为+＝1. 解 23 　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； 例 2 依题意可设椭圆方程为＝1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＝1. 解 24 (2)过点(3，0)，离心率e＝. 25 当椭圆的焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 解 26 由题意，得b＝3， 因为e＝， 把b＝3代入，得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＝1或＝1. 解 27 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 反 思 感 悟 28 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一 个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为　　　　　　. 跟踪训练 2 ＝1 由题意，得 解得 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＝1. 解析 29 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是_______ 　　　　　 . 因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝， 所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点). 所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3， 所以，所以c＝2，b2＝32－22＝5， 所以椭圆的标准方程是＝1或＝1. 解析 ＝1或＝1 30 求椭圆的离心率 三 设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　 . 例 3 32 方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m， 故离心率e＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1 －e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 解析 33 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 延伸探究 1 34 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°， ∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有， ∴， ∴e＝. 解 35 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围. 延伸探究 2 椭圆上存在点P，使∠F1PF2为钝角，只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角，则c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2. ∴e2＝>， ∴e>，又0<e<1， ∴C的离心率的取值范围为. 解 36 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 反 思 感 悟 37 (2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a等于 A. B. C. D. 跟踪训练 3 √ 由e2＝e1，得＝3， 因此＝3×，而a>1， 所以a＝. 解析 38 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法). 3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0<e<1及长轴长与a的关系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ √ 1 2 3 4 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，离心率为e＝. 解析 1 2 3 4 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 由题意知c＝3，， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＝1. 解析 1 2 3 4 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝， 即椭圆的离心率e＝. 解析 1 2 3 4 4.若椭圆C：＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为　　. 2 1 2 3 4 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1， 由于＝1表示的是椭圆， 则m>1，∴m＝2， 则椭圆方程为＝1， ∴a＝，2a＝2. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B CD BCD C 2 (2，4] 题号 11 12 13 14 15 答案 AD C AD 8 cm　12 cm　 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆方程可化为＝1，m>0. ∵m－>0， ∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝ . 由e＝， ∴m＝1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得＝1，即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k， 则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k). 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝. 基础巩固 1.焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 依题意得c＝2，a＋b＝10， 又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4. ∴椭圆的方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 A. B.2 C. D.4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝2，所以m＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 √ 曲线＝1的焦距为2c＝8，而曲线＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)为使椭圆＝1的离心率为，正数m的值可以是 A.1 B. C. D. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当0<m<2时，焦点在x轴上， 此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝，解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝， 解得m＝，符合题意. 故正数m的值可以是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知椭圆C1：5x2＋y2＝5，C2：＝1，则 A.C1，C2的焦点都在x轴上 B.C1，C2的焦距相等 C.C1，C2没有公共点 D.C2的离心率e2比C1的离心率e1小 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可得椭圆C1的标准方程为x2＋＝1，所以C1的焦点在y轴上， 所以A不正确； 因为椭圆C1的焦距为2＝4，椭圆C2的焦距为2＝4，所以B正确； 联立椭圆C1，C2的方程消除y2得－17x2＝28，所以x无解， 故椭圆C1，C2没有公共点，所以C正确； 因为椭圆C1的离心率为e1＝，C2的离心率为e2＝，所以 e1>e2，所以D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设F1，F2是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 A. B. C. D. √ 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝ |F2F1|⇒2＝2c⇒e＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知椭圆C：＝1的长轴长为4，则C的焦距为　　　. 2 因为椭圆C：＝1的长轴长为4， 所以2＝4，解得m＝4，所以c2＝4－3＝1，即c＝1，故C的焦距为2c＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为　　　　. (2，4] ∵e＝，b＝1，0<e≤， ∴0<≤， 则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 椭圆方程可化为＝1，m>0. ∵m－>0， ∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝ . 由e＝， ∴m＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭 圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于 另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1， 得＝1，即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知 又a2＝b2＋c2， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|， 则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)如图所示，两个椭圆＝1，＝1，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列说法正确的是 A.曲线C关于直线y＝x，y＝－x对称 B.两个椭圆的离心率不相等 C.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点 　的距离之和为定值 D.曲线所围区域的面积必小于36 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝ －x均对称，故A正确； 椭圆＝1的离心率e1＝＝1的离心率e2＝，所以e1＝e2，故B错误； 易知F1(－4，0)，F2(4，0)分别为椭圆＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0，4)分别为椭圆＝1的两个焦点，若P不在两个椭圆的交点上， 则距离之和不为定值，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易得椭圆＝1的上、下顶点分别为(0，3)，(0，－3)，椭圆＝1的左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)，所以曲线C所围区域在边 长为6的正方形内部，所以面积必小于36. 解析 14.在平面直角坐标系中，椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形， a. 解得，则离心率e＝. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　，短轴长为　　　　，离 心率为　　. 8 cm 12 cm 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知短轴长为底面直径12 cm， 长轴长为＝8(cm)， 则c2＝(4)2－62＝12，∴c＝2， ∴离心率e＝. 解析 16.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. 解 (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设|F1B|＝k， 则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k). 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝. 解 第二章　1.2　椭圆的简单几何性质 <<< $