第3章 圆的基本性质常考题型专练（13大题型）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-实际建模”为主线，系统覆盖圆的13类核心题型，通过“知识点+典例+变式”实现方法迁移与逻辑建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形外接圆|1典3变|外心性质（中垂线交点、到顶点等距）|从定义（外接圆、外心）到辨析（三点定圆条件）再到计算（半径公式）| |圆心角/弦/弧|1典3变|等对等关系（同圆中等圆心角→等弦等弧）|基于圆的旋转不变性推导性质，结合网格/动态问题强化应用| |垂径定理|2典6变|半径-弦心距-半弦长勾股模型|从定理（垂直弦→平分弦与弧）到推论（平分弦→垂直弦），延伸至实际问题（筒车/隧道）| |圆周角定理|2典6变|同弧所对圆周角=1/2圆心角，直径对直角|与圆心角性质衔接，结合圆内接四边形对角互补深化应用| |扇形与正多边形|3典9变|弧长公式l=nπR/180，面积公式S=nπR²/360|从正多边形中心角/边心距计算到扇形与矩形/三角形组合面积求解|

专题 圆的基本性质 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形外接圆的辨析 题型02 确定圆的条件 题型03 三角形外接圆的有关计算 题型04圆心角、弦、弧之间的关系 题型05 垂径定理的计算 题型06垂径定理的实际应用 题型07 圆周角定理及推论 题型08 利用圆周角定理进行证明与计算 题型09圆内接四边形的性质 题型10正多边形的有关计算 题型11平面镶嵌问题 题型12与扇形弧长有关的计算 题型13与扇形面积有关的计算 ▌题型01三角形外接圆的辨析 三角形的外接圆 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【变式1-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） ▌题型02确定圆的条件 确定圆的条件 (1)在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆 (2)不在同一条直线的三点确定一个圆 【典例1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式1-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； ▌题型03 三角形外接圆的有关计算 【典例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【变式1-1】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【变式1-3】（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． ▌题型04 圆心角、弦、弧之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量分别相等 【典例1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 ▌题型05垂径定理的计算 垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 推理2：平分弧的直径垂直弧所对的弦 【典例1】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 ▌题型05 垂径定理的实际应用 【典例1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，某隧道的截面是由半圆和长方形构成的，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过隧道吗？请说明理由． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径应为 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． ▌题型07 圆周角定理及推论 周角定理及其推论 ∵∠BOC，∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠BAC＝∠BOC． 推论： ①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ②∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径． 【典例1】（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． ▌题型08 利用圆周角定理进行证明与计算 【典例1】如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【变式1-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，，且，点在上，，交于点． (1)求证：； (2)可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (3)当是中点时，连接，求的大小． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． ▌题型09 圆内接四边形的性质 圆内接四边形 ∠B＋∠D＝180°，∠A＋∠BCD＝180°(圆内接四边形的对角互补) ∠DCE＝∠A(圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角) 【典例1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【变式1-2】（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． ▌题型10 正多边形的有关计算 正多边形与圆 R：半径，r：边心距，a：边长，θ：中心角  每个内角为＝180°－ 每个外角为 每个中心角θ为 边心距r＝ 正n边形的周长l＝na 正n边形的面积S＝rl 【典例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【变式1-1】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【变式1-3】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ▌题型11平面镶嵌问题 【典例1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（     ） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式1-2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1所示的图案，其中，，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料中，，点E为边的中点，连接，，试探究与的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料镶嵌室内活动场地，计划先将分割、拼接成长方形，再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求：最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为、宽为，环保材料的边为，为，边上的高为．小组发现，存在一种方案恰好能用分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地，请给出这种方案，并通过计算说明理由． 【变式1-3】（2026·广东河源·二模）广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成．图（1）是一款广式彩色玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图（2）标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若，则图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为___________． ▌题型12 与扇形弧长有关的计算 弧长：(R为弧所在圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长) 圆的周长：C＝2πR 扇形弧长：l＝　 面积 圆的面积：S＝πR2 扇形面积：S扇形＝＝lR 【典例1】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． ▌题型13 与扇形面积有关的计算 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【变式1-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 试卷第4页，共53页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 圆的基本性质 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形外接圆的辨析 题型02 确定圆的条件 题型03 三角形外接圆的有关计算 题型04圆心角、弦、弧之间的关系 题型05 垂径定理的计算 题型06垂径定理的实际应用 题型07 圆周角定理及推论 题型08 利用圆周角定理进行证明与计算 题型09圆内接四边形的性质 题型10正多边形的有关计算 题型11平面镶嵌问题 题型12与扇形弧长有关的计算 题型13与扇形面积有关的计算 ▌题型01三角形外接圆的辨析 三角形的外接圆 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 【变式1-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． ▌题型02确定圆的条件 确定圆的条件 (1)在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆 (2)不在同一条直线的三点确定一个圆 【典例1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式1-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)弧所在圆的圆心的坐标为________________； (2)求弧所在圆的半径； 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． ▌题型03 三角形外接圆的有关计算 【典例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 【变式1-1】（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． ▌题型04 圆心角、弦、弧之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量分别相等 【典例1】（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式1-1】（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】(1)证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； (2)解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型05垂径定理的计算 垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 推理2：平分弧的直径垂直弧所对的弦 【典例1】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式1-3】（2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． ▌题型05 垂径定理的实际应用 【典例1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，某隧道的截面是由半圆和长方形构成的，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高，宽，它能通过隧道吗？请说明理由． 【答案】能通过隧道，理由见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点，则，，则，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论． 【详解】解：能通过隧道，理由如下： 如图，设为卡车的宽度，过点分别作的垂线交半圆于点，，过圆心作于点， 则，， 由作法得， ， 在中，， ， ， 这辆货车能通过隧道． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径应为 ； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小半径为 ； (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1)（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） (2) 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，正方形的性质． （1）图（Ⅰ）中，三个正方形并排一个矩形，过圆心分别作长和宽的垂线，根据垂径定理得两垂足分别为长、宽的中点，再利用勾股定理求得半径长；图（Ⅱ）（Ⅲ）中，易看出半径即为正方形对角线长； （2）设与交点为，因为垂直即垂直，根据垂径定理推论可得为直径的一部分，即圆心在上．连接、，构成与，设长为，利用勾股定理以为等量关系，列方程求得，再求半径长． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如图①，设圆心为，、、为正方形与圆的交点， ∴， 连接、、，过作于点，作于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； （Ⅱ）如图②，半径为正方形对角线长， 故答案为：； （Ⅲ）如图③，半径为正方形对角线长， 故答案为：； （2）解：如图4，设圆心为，与交点为，连接、、． 则垂直平分、，， 在上，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ． 直径为． ▌题型07 圆周角定理及推论 周角定理及其推论 ∵∠BOC，∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠BAC＝∠BOC． 推论： ①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ②∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径． 【典例1】（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【变式1-1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 【变式1-3】（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． ▌题型08 利用圆周角定理进行证明与计算 【典例1】如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点E，于点F．分别过点A，B作于点G，于点H． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出，结合圆的性质，证得，再结合等腰三角形的性质即可得证； （2）先证出，得到，再根据勾股定理即可求出； 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ， ， 又 ∵， ， ， ， ， 又， ， ， ． 即． （2）解：过点作于点，则， ∵，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ∴， ∴中，． 【变式1-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，，且，点在上，，交于点． (1)求证：； (2)可由绕点旋转而得，用尺规作图的方法，作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (3)当是中点时，连接，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)135° 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到，再结合直角三角形的性质，得出，即可得出． （2）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作出对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心； （3）根据是中点，结合全等三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，再证、、、四点都在以为直径的圆上，利用圆周角性质及平角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，作、的垂直平分线，交于点，点即为所求． （3）解：如图，连接、， ∵是中点，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴点、、、四点都在以为直径的圆上， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． (1)求证：； (2)设，用含的代数式表示； (3)若，求弦的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：是直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． ▌题型09 圆内接四边形的性质 圆内接四边形 ∠B＋∠D＝180°，∠A＋∠BCD＝180°(圆内接四边形的对角互补) ∠DCE＝∠A(圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角) 【典例1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式1-1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 【变式1-2】（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 【变式1-3】（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． ▌题型10 正多边形的有关计算 正多边形与圆 R：半径，r：边心距，a：边长，θ：中心角  每个内角为＝180°－ 每个外角为 每个中心角θ为 边心距r＝ 正n边形的周长l＝na 正n边形的面积S＝rl 【典例1】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【变式1-1】（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 【变式1-2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【变式1-3】阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和； （ 2）连接，，通过已知条件可证，得到，进一步证明出进而得到； （ 3）作法一：分别连接并延长，，，以点为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形内或圆上），交，，的延长线于点，，，连接，即可得到半正六边形； 作法二：分别作、、垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交点不能取圆上或三角形内，交点分别为点，，，连接，即可得到半正六边形． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）略 （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． ▌题型11平面镶嵌问题 【典例1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）在学校花坛设计中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在某个顶点的周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】平面镶嵌要求同一顶点处所有内角的和为，先确定正方形和正三角形的内角度数，再列方程求解即可． 【详解】 正方形每个内角为，正三角形每个内角为，平面镶嵌中同一顶点处各内角和为， 根据题意列方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川遂宁·期末）如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第10层边界所围成的多边形的周长是（     ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】A 【分析】观察图形，分析每层外边界边数的变化规律，得出第层边数的通项公式，代入计算周长． 【详解】解：由图可知，正方形、正三角形和正六边形的边长相等，均为， 第层外边界共有条边，即条边， 第层外边界共有条边，即条边 ， ， 第层外边界共有条边， 当时，第层边界所围成的多边形边数为 ， 第层边界所围成的多边形的周长为． 【变式1-2】（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 【项目背景】 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． (1)用两种平行四边形镶嵌成如图1所示的图案，其中，，则 ， °； 【项目探究】 (2)如图2，在平行四边形环保材料中，，点E为边的中点，连接，，试探究与的位置关系并证明； 【方案设计】 (3)某课外活动实践小组拟用上述环保材料镶嵌室内活动场地，计划先将分割、拼接成长方形，再用这种拼成的长方形进行镶嵌．（要求：最多被分割两次，拼接成长方形后不再进行分割） ①请设计两种新的方案，将进行分割、拼接成一个长方形，在下图中画出你的方案设计示意图，并参照示例图3，用画阴影的方式对平移或旋转的图形进行标记； ②已知长方形场地的长为、宽为，环保材料的边为，为，边上的高为．小组发现，存在一种方案恰好能用分割拼接成的长方形镶嵌整个长方形场地，请给出这种方案，并通过计算说明理由． 【答案】(1)5；100 (2)，理由如下： ∵平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵，点E为边的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即； (3)①如图 ②如图分割， 一张环保材料可分割成长，宽的两张矩形， ，， ∴分割后的环保材料需用8行25排可以镶嵌整个长方形场地． 【分析】（1）利用平面图形的镶嵌的知识解答即可； （2）利用平行四边形的知识，结合等边对等角求解即可； （3）利用平面图形的镶嵌的知识画出图形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：①略； ②略 【变式1-3】（2026·广东河源·二模）广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成．图（1）是一款广式彩色玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图（2）标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若，则图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为___________． 【答案】 【分析】观察图（1）可知，一个正方形由四个五边形组成，且具体数据标注如图（2），根据题意列出方程组求出、的值，正方形的边长由五边形的斜边对应关系可得，即正方形边长为斜边长，则求出单个正方形的面积，再利用割补法求出四个五边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：数据标注如图所示： 由等腰三角形的性质可知，， 由题意得：， 解得：， ， 小正方形玻璃的边长为， 其中一块浅蓝色玻璃的面积为， 四块白色玻璃的面积为， 图（1）图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成， 图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为． ▌题型12 与扇形弧长有关的计算 弧长：(R为弧所在圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长) 圆的周长：C＝2πR 扇形弧长：l＝　 面积 圆的面积：S＝πR2 扇形面积：S扇形＝＝lR 【典例1】（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 【变式1-2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换、弧长的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，． （2）解：如图，即为所求． 由图可得， （3）解：由勾股定理得，， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． ▌题型13 与扇形面积有关的计算 【典例1】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【变式1-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 试卷第4页，共53页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $