第1章 再练一课(范围：1.5～1.6)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦直线方程综合应用，以距离、交点、对称为核心，通过“公式应用-条件转化-模型构建”三级方法体系，系统覆盖1.5~1.6知识点逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行与距离|1,10,11|平行直线距离公式；平行线间距离与截距关系|直线方程→平行判定→距离计算| |交点与范围|2,7|联立方程求交点；象限条件转化不等式|直线交点→坐标范围→参数求解| |对称问题|4,6,9|点关于直线对称：垂直+中点在轴上；直线轴对称|对称性质→坐标关系→方程构建| |直线系与定点|5,13|方程变形分离参数求定点；过交点直线系|直线系方程→定点确定→距离最值| |反射与最值|12,15|光反射转化对称点；三角形周长/差最值模型|对称转化→三点共线→最值求解|

再练一课(范围：1.5~1.6) [分值：100分] 1.两平行直线x－5y＝0与x－5y－26＝0之间的距离为(　　) A.2 B. C.5 D.3 答案　B 解析　两平行直线之间的距离d＝. 2.若过点P(1，－1)且斜率为k的直线l与直线y＝－2x＋3的交点位于第一象限，则k的取值范围是(　　) A.(－4，2) B.(－∞，－4]∪[2，＋∞) C.(－∞，－4)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　由题知直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，显然k≠－2. 将其与y＝－2x＋3联立得 解得 故交点坐标为. 因其在第一象限，则 解得k<－4或k>2. 故k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 3.在平面直角坐标系中，已知点A(2cos 80°，2sin 80°)，B(2cos 20°，2sin 20°)，那么等于(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 答案　A 解析　＝ ＝ ＝＝2. 4.已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A.1，3 B.－，－ C.－2，0 D.，－ 答案　B 解析　kAB＝＝－2，若点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称， 则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a， 所以(－a)·(－2)＝－1， 得a＝－. 线段AB的中点(1，2)在直线ax＋y＋b＝0上， 则a＋2＋b＝0， 得b＝－，故选B. 5.已知定点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(　　) A.2 B. C. D.2 答案　B 解析　将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0， 所以l是经过直线x＋y－2＝0和直线3x＋2y－5＝0的交点的直线系，但不包含直线3x＋2y－5＝0. 设直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点为Q， 由得交点Q(1，1)， 所以直线l恒过点Q(1，1). 又kPQ＝，则PQ与直线3x＋2y－5＝0不垂直， 于是点P到直线l的距离 d≤|PQ|＝， 即点P到直线l的距离的最大值为. 6.设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x＋y－7＝0，则直线PB的方程是(　　) A.x＋y＋5＝0 B.2x－y－1＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－y－3＝0 答案　D 解析　因为点P在直线PA上，所以x＋2－7＝0， 解得x＝5，即点P的坐标为(5，2). 由题意知PA与y轴的交点为A，所以点A的坐标为(0，7)， 又|PA|＝|PB|，点B在y轴上，所以点A，B关于直线y＝2对称，所以点B的坐标为(0，－3)， kPB＝＝1， 所以直线PB的方程为y－(－3)＝x－0， 即x－y－3＝0. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x＋3y－3＝0 B.4x＋3y＋17＝0 C.4x－3y－3＝0 D.4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 8.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角θ＝ B.点(，0)到直线l的距离是2 C.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m D.过点(2，2)且与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 答案　BD 解析　直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角θ＝，A错误；点(，0)到直线l的距离d＝＝2，B正确；因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，C错误；过点(2，2)且与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，D正确. 9.已知在以C(2，3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是(　　) A.斜边AB的中点坐标是(3，2) B.|AB|＝2 C.△ABC的面积等于4 D.点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1) 答案　ABD 解析　如图，取AB的中点为P(x，y)， 因为△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形， 所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1， 则kCP＝＝－1， 且x－y＝1， 解得 则AB的中点P的坐标为(3，2)，故A正确； |CP|＝，|AB|＝2|CP|＝2，故B正确； 所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误； 设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3， 所以＝4，所以＝－1，解得＝1， 即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为2x－3y＝0，则点(2，－1)到直线l2的距离为　　　　. 答案　 解析　因为直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为2x－3y＝0， 所以l2的方程为2(－x)－3y＝0， 即2x＋3y＝0， 所以点(2，－1)到直线l2的距离为. 11.直线l过点(1，0)且被两条平行直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为，则直线l的方程为　　　　　　　. 答案　x－3y－1＝0 解析　由平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d＝， 而l被l1，l2截得的线段长恰好为， 所以l与l1垂直， 由l1的斜率k1＝－3知， l的斜率k＝， 所以l的方程为y＝(x－1)， 即x－3y－1＝0. 12.已知点O(0，0)，A(4，0)，B(0，4).若从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2，0)，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　，若从点M(m，0)，m∈(0，4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是　　　　.(结果用m表示)  答案　x－2y＋2＝0　 解析　设点P(1，0)关于直线AB的对称点为P'(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0， ∴ 解得 故P'(4，3)，又Q(－2，0)， 则kP'Q＝， ∴直线P'Q：y－0＝(x＋2)， 即x－2y＋2＝0. 点M(m，0)，m∈(0，4)关于y轴的对称点为P″(－m，0)， 设点M(m，0)，m∈(0，4)关于直线AB的对称点为P'''(x1，y1)， 由 解得故P'''(4，4－m). 故|P″P'''|＝. 四、解答题(共37分) 13.(12分)(1)求经过两直线x－3y－2＝0和2x＋y＋3＝0的交点且与直线x＋3y－2＝0平行的直线l的方程；(6分) (2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.(6分) 解　(1)由 解得 所以交点坐标为(－1，－1). 因为直线l与直线x＋3y－2＝0平行， 所以直线l的斜率为－， 所以直线l的方程为y＋1＝－， 即x＋3y＋4＝0. (2)方法一　解方程组得P(0，2). 因为l3的斜率为，且l⊥l3， 所以直线l的斜率为－， 由斜截式，可知l的方程为y＝－x＋2， 即4x＋3y－6＝0. 方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 14.(12分)已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标；(5分) (2)直线BC的方程.(7分) 解　(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为 x－2y－5＝0，所以kAC＝－2， 又因为点A(5，1)， 所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0. 又因为AB边上的中线CM所在直线方程为 2x－y－5＝0， 由得 所以C(4，3). (2)设B(m，n)， 则AB的中点M在中线CM所在直线上，所以2×－5＝0， 即2m－n－1＝0. 又点B(m，n)在高BH所在直线上， 所以m－2n－5＝0. 由解得 所以B(－1，－3). 所以直线BC的方程为， 即6x－5y－9＝0. 15.(13分)已知直线l：x－2y＋8＝0和A(2，0)，B(－2，－4)两点. (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(6分) (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.(7分) 解　(1)设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则 解得故A'(－2，8). 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA'|＋|PB|≥|A'B|， 当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A'B|，点P即是直线A'B与直线l的交点，则得 故所求的点P的坐标为(－2，3). (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点P即是直线AB与直线l的交点， 又直线AB的方程为y＝x－2， 则得 故所求的点P的坐标为(12，10). 学科网（北京）股份有限公司 $