第1章 章末复习课1 三角函数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(一)　直线与圆 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线l过点M(1，－2)，倾斜角为30°，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－2－1＝0 B．x＋y＋2－1＝0 C．x－y－2－1＝0 D．x－y＋2－1＝0 解析：选C　因为直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k＝tan 30°＝，由点斜式方程，得直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即x－y－2－1＝0. 2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　) A．(－2，－3)　　　　　　B．(2，1) C．(2，3) D．(－2，－1) 解析：选C　利用排除法．由N在直线x－y＋1＝0上，排除A，B，由kMN＝2，排除D.故选C. 3．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A．1或3 B．3或5 C．5或 7 D．3或7 解析：选B　当k＝4时，两直线显然不平行；当k≠4时，由两直线平行，斜率相等，得－＝，解得k＝3或5. 4．过点P(－2，4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：选A　P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4. 5．过点(0，1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：选B　当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0，1)的连接与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即|AB|＝2＝2，故选B. 6．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋4a－11＝0，a＝2.故＝(1，－1).圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，点(1，－1)与圆心的距离为1，故弦长为2＝4.故选D. 7．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　) A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0 C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0 解析：选C　 如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋.整理为一般式，即x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，分别对应题中的A，B，D选项，故选C. 8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－2)2＝2 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 解析：选A　 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.如图，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r＋3等于己知圆圆心到已知直线的距离，即＝2r＋3，解得r＝， 则解得a＝2，b＝2. 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.故选A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1) C．过(x1，y2)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0 解析：选AB　选项A中，直线在x轴和y轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，所以A正确；选项B中，点在直线y＝x＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确；选项C，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；选项D，还有一条横、纵截距都为0的直线y＝x满足条件，故D错误． 10．若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ 解析：选CD　由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1，0)，为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1，0)连线的斜率，易知，的最大值为，最小值为－. 11．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　圆心C(0，0)到直线l的距离d＝ . 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以d＝＞|r|，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜|r|，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是________，该点坐标为________． 解析：点(1，1)关于x轴的对称点坐标为(1，－1)，要求的最小值为＝. 可以求得过点(1，－1)与(0，2)的直线方程为y＝－3x＋2，令y＝0，可得x＝，所以该点的坐标为. 答案：　 13．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 解析：由方程组解得所以两已知直线的交点为(－4，3). (1)当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，所求直线的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0. (2)当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，因为点(－4，3)在直线x＋y＝a上，所以－4＋3＝a，所以a＝－1，故所求直线方程为x＋y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0. 答案：3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0 14．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________． 解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为， 即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2. 答案：2 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°得直线l2，求直线l1和l2的方程． 解：由题意知，直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋1＝0. 因为直线l1的斜率k1＝－＝tan α1，所以l1的倾斜角α1＝150°.如图， l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角α2＝150°－30°＝120°， 所以直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－，所以l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0. 16．(15分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在直线方程为8x＋9y－3＝0. (1)求点A的坐标； (2)求直线AC的方程． 解：(1)设点A(x，y)， 则解得 故点A的坐标为(－3，3). (2)设点C(m，n)， 则 解得m＝4，n＝1，故C(4，1)，又因为A(－3，3)， 所以直线AC的方程为＝， 即2x＋7y－15＝0. 17．(15分)圆C：x2＋y2－2x－8＝0内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点． (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得弦长为4时，求l的方程． 解：(1)因为圆C的圆心为C(1，0). 又弦AB最长时，直线l过点(1，0)和(2，2)， 所以直线l的方程为2x－y－2＝0. (2)当直线斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k(x－2)，由平面几何知识，得＋8＝9， 解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋2＝0，经检验k不存在时的直线x－2＝0也符合条件． 所以直线l的方程为x－2＝0或3x－4y＋2＝0. 18．(17分)已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以r＝＝2， 所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝－2， 将x＝－2代入圆A的方程，得(－2＋1)2＋(y－2)2＝20， 解得y＝2±， 此时|MN|＝2，则x＝－2符合题意． 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 因为Q是MN的中点，连接AQ，所以AQ⊥MN， 所以|AQ|2＋＝r2，又知|MN|＝2，r＝2， 所以|AQ|＝＝1. 即＝1，∴(k－2)2＝k2＋1. 解得k＝. 所以直线l的方程为y＝(x＋2)， 即3x－4y＋6＝0. 综上，满足题意的直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 19．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是＋＝1(a，b>0). (1)当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积； (2)若直线l：x＋y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点到直线l距离的最小值． 解：(1)当a＝1，b＝2时，曲线C的方程是|x|＋＝1. 所以当x＝0时，y＝±2，当y＝0时，x＝±1， 当x>0，y>0时，方程等价于＋＝1， 当x<0，y>0时，方程等价于＋＝1， 当x<0，y<0时，方程等价于＋＝1， 当x>0，y<0时，方程等价于＋＝1， 所以曲线C围成的区域为菱形，其面积为×2×4＝4. (2)当x>0，y>0时，有＋＝1. 与直线x＋y＝1联立，可得M； 当x<0，y>0时，有＋＝1， 与直线x＋y＝1联立，可得N. 由OM⊥ON，可得kOM·kON＝－1， 即有·＝－1， 可化为＝－＋2. 所以点到直线l的距离d＝＝ ＝. 由题意，可得a－ab<0，a－b<0，ab－b<0，即a<ab<b. 所以0<a<1，b>1. 所以当＝，即b＝2时，点到直线l的距离取得最小值，为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$