1.1.3 第2课时 直线方程的两点式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 第2课时　直线方程的两点式 知识点一　直线方程的两点式 1．[多选]有关直线方程，下列说法正确的是(　　) A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 B．直线方程＝也可写成＝ C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1) D．过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示 答案　ABC 解析　A正确，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；由A知，D错误．故选ABC． 2．已知A(3，0)，B(0，2)，C(2，6)，则△ABC的BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A．y＝－2x－6 B．y＝－2x＋6 C．y＝2x－6 D．y＝2x－1 答案　B 解析　设BC的中点为D(x，y)，则x＝＝1，y＝＝4，所以D(1，4)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即y＝－2x＋6．故选B． 3．已知直线方程的两点式为＝，则直线的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　由直线方程的两点式＝，知直线过点(－5，0)，(3，－3)，所以直线的斜率为＝－． 4．一束光线经过点A(－1，2)由x轴反射后，经过点B(2，1)射出，则反射光线所在直线的方程是________． 答案　y＝x－1 解析　首先求点A(－1，2)关于x轴对称的点A′(－1，－2)，所以反射光线经过B(2，1)和A′(－1，－2)两点，故直线方程为＝，即y＝x－1． 知识点二　直线方程的截距式 5．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝0 答案　A 解析　根据直线方程的截距式＋＝1(其中a，b分别为直线在x轴和y轴上的截距)，得所求直线方程为＋＝1，即－＝1．故选A． 6．已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为(　　) A．， B．－，－ C．，7 D．－，－7 答案　D 解析　将＋＝－1化为＋＝1，可知a＝－，b＝－7． 7．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x 答案　B 解析　当直线过原点时满足题意，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，直线方程为＋＝1．故选B． 8．过点(1，3)作直线l，若l经过点(a，0)和(0，b)，且a，b∈N＋，则可作出这样的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．多于3 答案　B 解析　∵l经过点(a，0)和(0，b)，且a，b∈N＋，∴可设l：＋＝1，又l过点(1，3)，∴＋＝1，整理，得＝，当a＝1，b∈N＋时，等式显然不成立；当a≥2且a∈N＋时，b＝＝＝3＋，∵b∈N＋，∴a－1＝1或a－1＝3，解得a＝2或a＝4，∴满足题意的直线l的方程为＋＝1或＋＝1，∴满足题意的直线l有2条． 9．已知线段BC的中点为D．若线段BC所在的直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程． 解　由已知得直线BC的斜率存在且不为0． 设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b． 则直线BC方程的截距式为＋＝1． 由题意得a＋b＝9，① 又点D在直线BC上，∴＋＝1， ∴6b＋3a＝2ab，② 由①②联立得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0， 解得a＝或a＝6． ∴或 故BC所在直线的方程为＋＝1或＋＝1． 一、选择题 1．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0． 2．一条光线从点A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－ 答案　B 解析　由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在直线的方程为＝，即y＝－2x＋1． 3．过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0 答案　B 解析　若直线l过原点，则方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为－＝1，将(2，3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0．所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0．故选B． 4．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　设直线的方程为＋＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴＋＝1，|ab|＝2，解得或或∴满足条件的直线有3条． 5．[多选]两直线－＝1与＋＝1的图象可能是图中的(　　) 答案　ACD 解析　两直线的斜率异号，故选ACD． 二、填空题 6．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________． 答案　x＋2y＋8＝0 解析　设直线l与两坐标轴的交点的坐标为(a，0)，(0，b)，由题意知＝－4，＝－2，∴a＝－8，b＝－4．∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y＋8＝0． 7．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 答案　y＝x或＋＝1 解析　点A(1，－2)，B(5，6)的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，把中点M的坐标(3，2)代入直线方程，得a＝5，故所求的直线方程是＋＝1．综上，所求的直线方程为y＝x或＋＝1． 8．过点P(3，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________． 答案　12　10 解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3，2)代入，得＋＝1，∴1≥2，得ab≥24，当且仅当a＝6，b＝4时取等号，∴S△AOB＝ab≥12，即△AOB面积的最小值为12，此时a＋b＝6＋4＝10． 三、解答题 9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)． 求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式； (2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式． 解　(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 因为线段AB，AC的中点坐标分别为，， 所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式为＋＝1． (2)因为BC的中点坐标为(2，3)， 所以BC边的中线所在直线的方程为＝， 即7x－y－11＝0，化为截距式为＋＝1． 10．已知直线l：＋＝1． (1)若直线l的斜率等于4，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解　(1)直线l过点(m，0)，(0，3－m)， 则k＝＝4，则m＝－1． (2)由m＞0，3－m＞0，得0＜m＜3， 则S△AOB＝＝－＋， 易知当m＝时，S△AOB有最大值， 此时直线l的方程为y＝－x＋． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$