第1章 习题课 与圆有关的最值问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“与圆有关的最值问题”核心知识点，系统梳理距离（圆外点到圆、直线到圆、两圆间）、面积的最值规律，以及利用几何意义转化代数表达式（如斜率、截距）的求解方法，构建从定义到例题再到训练的递进式学习支架。 该资料以“海上遇险求信号最短路程”情境导入，用数学眼光观察现实问题，通过数形结合（如切线斜率、直线截距转化）培养数学思维，例题与分层练习结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言解决几何问题的能力。

习题课　与圆有关的最值问题 学习目标　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 导语 海上某基站信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题.) 一、与距离有关的最值问题 1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r(d为圆外一点与圆心之间的距离). 2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r(d为圆心到直线的距离). 3.圆与圆外离，P，Q分别为两圆上任意一点，d为两圆心之间的距离， |PQ|max＝d＋r1＋r2， |PQ|min＝d－r1－r2. 4.圆与圆相交，P，Q分别为两圆上任意一点， |PQ|max＝d＋r1＋r2(d为两圆心之间的距离). 5.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r(d为圆心到直线的距离). 6.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线， 切线长的最小值＝(d为圆心到直线的距离). 例1　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦长最短时，m的值为　　　　. 答案　 － 解析　直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令 解得直线l的定点坐标为M(3，1)，显然M在圆C内，圆心C为(1，2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短， kCM＝＝－，kl＝－， 所以kCM×kl＝×＝－1， 解得m＝－. (2)在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方， 而距离的最小值为， 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为. 反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值. 跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　) A.－1 B.1 C.2 D.0 答案　B 解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m，1)，半径为1，当切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝，即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短. (2)过点A(3，1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为　　　　. 答案　2 解析　易知圆心C(2，2)，半径r＝2. 当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝. ∴半弦长＝. ∴最短弦长为2. 二、与面积有关的最值问题 例2　(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2， O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴， 当点M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 又点M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 则△OAM面积的最小值S＝×|OA|×d＝1. (2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝　　　　. 答案　2 解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)， 半径r＝1， 由圆的性质可知，S四边形PACB＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，所以△PBC的最小面积为1，则r·|PB|min＝|PB|min＝1， 解得|PB|min＝2， 因为|PB|＝， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小. 又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点， 所以当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离， 所以，解得k＝±2， 因为k>0，所以k＝2. 反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　B 解析　设圆心到直线的距离为d(0<d<1)， 则所截得的弦长l＝2， 所以S△ABO＝·2·d＝， 由基本不等式，可得S△ABO＝≤，当且仅当d＝时，等号成立. 三、利用几何意义解和圆有关的最值问题 例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值. 解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 图(1) 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝， 所以的最大值为，最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. 图(2) (3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 图(3) 反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题. 1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题. (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大. 1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是(　　) A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3] 答案　A 解析　x2＋y2＝4，圆心(0，0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3， 最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7]. 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4，3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2. 3.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　) A.[，＋∞) B.(－∞，－] C.(－∞，－]∪[，＋∞) D.[－，] 答案　C 解析　将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设＝k，如图，从原点向圆作切线，得两条切线的倾斜角分别为，，可得k≥或k≤－. 4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为　　　　. 答案　 4 解析　因为C1(－2，2)，r1＝2，C2(2，0)， r2＝4， 所以|C1C2|＝＝2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大， 其最大值为×2×4＝4. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知过点P(1，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　C 解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4， 则圆心为C(2，0)，半径r＝2，则圆心C(2，0)到定点P(1，1)的距离为，当l⊥CP时，|AB|取得最小值，|AB|的最小值为2＝2. 2.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A.5 B.1 C.3－5 D.3＋5 答案　C 解析　圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9， 圆心为C1(4，2)，半径为3； 圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C2(－2，－1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为 |C1C2|＝ ＝＝3>5， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5. 3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　) A.－9，1 B.－10，1 C.－9，2 D.－10，2 答案　A 解析　y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示， 当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9. 4.若P为圆E：x2＋y2－2x＝0上的一动点，A(0，0)，B(1，1)为圆E上的两点，则△ABP面积的最大值为(　　) A. B.＋1 C. D.＋1 答案　A 解析　∵A(0，0)，B(1，1)， ∴直线AB的方程为x－y＝0，且|AB|＝， ∴圆心E(1，0)到直线AB的距离d＝， 又圆E的半径为1，∴点P到直线AB的距离的最大值为＋1， ∴S△ABP≤×|AB|×××. 5.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A.2 B. C. D.1 答案　D 解析　如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2， 当PC⊥l时，|PC|最小，|PM|最小. 由题意得|PC|min＝d＝＝2， 所以()2＝22－r2， 解得r＝1(负值舍去). 6.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为(　　) A.0 B.1 C. D.2 答案　C 解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆， 令＝k，即y＝kx， 如图所示， 当直线与半圆相切时，k＝(负值舍去)， 所以的最大值为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，则下列说法正确的是(　　) A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交且被截的最短弦长为2 D.直线与圆可以相切 答案　AC 解析　圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心为(1，1)，半径r＝2.将x＋my－m－2＝0变形为x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点(2，1). ∵＝1<2，∴直线与圆必相交，故A正确，B，D错误；由平面几何知识可知，当直线x＋my－m－2＝0与过定点(2，1)和圆心的直线垂直时，所得的弦长最小，此时弦长为2×＝2，故C正确. 8.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案　ACD 解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易得直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正确； 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4<－4＝1，故B不正确； 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与点N重合，|PB|＝＝3，当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确. 9.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ 答案　AB 解析　对于A，设z＝y－x， 则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤， 解得－－2≤z≤－2， 所以y－x的最大值为－2，故A正确； 对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B正确； 对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得 (1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0， 解得－≤k≤，则的最大值为，故C错误； 对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤， 解得－＋2≤m≤＋2， 所以x＋y的最大值为＋2，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　. 答案　(x－1)2＋y2＝2 解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)， ∴圆心(1，0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离d＝， ∴半径最大为， ∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 11.已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0，2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为　　　. 答案　2 解析　由题意知圆心C(2，1)，半径r＝. 由于点B(0，2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B'(－4，－2)， 则|PB|＋|PQ|＝|PB'|＋|PQ|≥|B'Q|， 又B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|－r＝3＝2， 所以|PB|＋|PQ|的最小值为2. 12.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l过点(1，1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为　　　　　　　　. 答案　x＋y－2＝0 解析　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，则A，B的坐标为(1，)，(1，－)， ∴S△AOB＝×2×1＝， 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－1＝k(x－1)，k≠1， 则圆心到直线l的距离为 d＝， 由平面几何知识得|AB|＝2， ∴S△AOB＝|AB|×d＝×2×d ＝×d≤＝2， 当且仅当4－d2＝d2， 即d2＝2时，S△AOB取得最大值2， ∵<2， ∴S△AOB的最大值为2， 此时，由，解得k＝－1. 则直线l的方程为x＋y－2＝0. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值；(6分) (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.(7分) 解　(1)将圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C(2，7)，半径r＝2， 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)由题意可知表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k. 由直线MQ与圆C有交点， 得≤2， 解得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 14.(14分)已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆C的方程；(5分) (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆C的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF面积的最小值.(9分) 解　(1)∵圆C与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， 由点到直线的距离公式，得d＝＝3， 解得a＝2(负值舍去)， ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)∵PE，PF是圆C的两条切线，E，F分别为切点， ∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF＝2S△PCE， ∴PE⊥CE，|CE|＝2， ∴|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4， 当斜边PC的长取最小值时，|PE|也最小，即四边形PECF的面积最小. |PC|min即为C到l的距离， 由(1)知|PC|min＝3， ∴|PE＝32－4＝5，即|PE|min＝， ∴(S△PCE)min＝|CE|·|PE|min ＝×2×， ∴四边形PECF面积的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $