第1章 2.4 圆与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本高中数学讲义聚焦圆与圆的位置关系，系统梳理代数法（方程组解的个数）和几何法（圆心距与半径关系）的判断方法，涵盖公共弦及圆系方程应用，通过类比直线与圆的研究方法搭建学习支架。 资料以日食现象抽象为圆引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过几何法与代数法对比，突出逻辑推理与运算能力，发展数学思维。例题及跟踪训练设计层层递进，助力学生用数学语言表达和解决问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

2.4　圆与圆的位置关系 学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解 的个数 2组 1组 0组 两圆的公 共点个数 2个 1个 0个 两圆的位 置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置 关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 0≤d<|r1－r2| 注意点： 在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.因为利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解　圆C1，C2的方程经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 反思感悟　判断两圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. (3)根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系. 跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋， 解得a＝16. (2)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有　　　　条. 答案　4 解析　到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 二、利用两圆的位置关系求圆的方程 例2　(课本例10)　已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2+y2＝1相外切，求圆C的方程. 解　设圆C：(x－a)2+(y－b)2＝r2. 因为圆C与x轴和y轴都相切， 所以|a|＝|b|＝r. ① 因为圆C与圆O：x2+y2＝1相外切， 所以＝1+r. ② 由方程①化简方程②，得r＝1+r， 所以r＝+1. 所以|b|＝|a|＝+1＝r， 所以圆C的方程为 C1：(x－－1)2+(y－－1)2＝(+1)2 或C2：(x++1)2+(y－－1)2＝(+1)2 或C3：(x++1)2+(y++1)2＝(+1)2 或C4：(x－－1)2+(y++1)2＝(+1)2. 如图. 例2　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程. 解　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故， ② ＝r. ③ 由①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”. 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以又r>0，解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 反思感悟　通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 三、相交弦及圆系方程问题 例3　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故圆的方程为. 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 跟踪训练2　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为　　　　　　　　. 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1). 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1， 化简可得x2＋y2－x－y－6＝0， 圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上， 所以－4＝0， 解得λ＝－， 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 1.知识清单： (1)两圆的位置关系. (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案　B 解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1，0)，O2(0，2)，|O1O2|＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交. 2.(多选)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A.2 B.－5 C.－2 D.5 答案　AB 解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0， 解得m＝2或m＝－5. 3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是　　　　　　　　. 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，解得r＝6(负值舍去)， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝　　　　. 答案　1 解析　将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0，0)到直线的距离d＝＝1， 所以a＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A.r<＋1 B.r>＋1 C.|r－|≤1 D.|r－|<1 答案　C 解析　由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以两圆圆心之间的距离为.因为两圆有公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，所以|r－|≤1. 2.圆M：x2＋y2－2x－5＝0与圆N：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 答案　A 解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1，0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为，即x＋y－1＝0. 3.已知圆x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36有一条公切线，则实数m的值为(　　) A.0 B.－120 C.0或－120 D.5 答案　C 解析　将圆x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m(m<1)，圆心为(1，0)，半径为，圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36的圆心为(－3，－3)，半径为6，由题意知两圆内切，可得|6－|＝＝5，解得m＝0或m＝－120. 4.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49 答案　BCD 解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1，2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3， ∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)， ∴两圆相交，不满足条件； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵|C2C|＝5＝r＋r2， ∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3＝5， ∵|C3C|＝3＝r3－r， ∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵|C4C|＝5＝r4－r， ∴两圆内切，满足条件. 5.古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 答案　C 解析　由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，表示圆心为(－1，0)，半径R＝2的圆，圆(x－1)2＋y2＝1表示圆心为(1，0)，半径r＝1的圆，两圆的圆心距为2，满足1＝R－r<2<R＋r＝3，所以两个圆相交. 6.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A. B.4 C. D. 答案　D 解析　 由圆C1与圆C2的方程相减得 l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到直线l的距离d＝， 圆O的半径r＝2，所以截得的弦长为2＝2. 7.(5分)经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为　　　　　　　. 答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0， 将(1，2)代入，可得λ＝－， 故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 8.(5分)设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆的圆心距|C1C2|＝　　　　. 答案　8 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上. 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根， 整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝8. 9.(10分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(3分) (2)求公共弦所在的直线方程；(3分) (3)求公共弦的长度.(4分) 解　(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，r1－r2＝5，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交. (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)方法一　将公共弦所在直线的方程与圆C2方程联立，得方程组 解得y1＝0，y2＝2， 所以或 所以两圆交点坐标为(－4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 方法二　由(2)知x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为 2＝2×＝2. 10.(10分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；(6分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.(4分) 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线l1的方程为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y－1＝k(x－1). 即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心C(3，4)到直线l1的距离等于半径， 所以＝2，即＝2， 解得k＝， 所以直线C1的方程为5x－12y＋7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设D(a，a＋2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴＝5， 化简得a2－5a－6＝0， 解得a＝－1或a＝6. ∴D(－1，1)或D(6，8)， ∴圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11.(多选)如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上存在两个点到原点的距离为，则实数a的值可以是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　AD 解析　依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆O：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交. 又|CO|＝|a|， 2<|a|<2， 即1<|a|<3. 故－3<a<－1或1<a<3. 12.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的为(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)， 又kAB＝1， 则线段AB的垂直平分线的斜率为－1， 即线段AB的垂直平分线的方程为 y－0＝－1×(x－1)， 整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，所以|AB|＝2，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，即点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 13.若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　C 解析　如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|＝2＝2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|＝|C1C2|＝2， 由勾股定理可得 |AB|＝|MA|＝. 14.(5分)已知圆M：x2＋(y－3)2＝1和圆N：(x－4)2＋y2＝16，则圆M与圆N的所有公切线中斜率的最大值为　　　　　. 答案　 解析　圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心和半径分别为M(0，3)，r＝1，圆N：(x－4)2＋y2＝16的圆心和半径分别为N(4，0)，R＝4， 由于|MN|＝＝5＝R＋r，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如图所示， 由图可知，一条公切线平行于x轴，斜率为0，一条斜率为负， 一条垂直于MN，斜率为正，故斜率最大， 由于kMN＝－，故所有公切线中斜率的最大值为. 15.(5分)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为　　　　. 答案　4 解析　如图所示，由于☉O与☉O1在点A处的切线互相垂直， 因此OA⊥O1A， 所以|OO1|＝＝5. 又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C， 在Rt△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|， 所以|AC|＝＝2， 故|AB|＝2|AC|＝4. 16.(12分)如图，已知☉C的圆心在坐标原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引☉C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B. (1)求四边形OAPB面积的最小值；(6分) (2)求证：直线AB过定点.(6分) (1)解　依题意得，圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r， ∴r＝d＝， ∴圆C的方程为x2＋y2＝. 如图所示，连接OA，OB，OP， ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∴ OA⊥AP，OB⊥BP， ∴S四边形OAPB＝2S△OAP ＝2×|OA|·|PA|＝. ∴当|PO|取最小值8时， (S四边形OAPB)min＝×. (2)证明　由(1)得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为， ∴以OP为直径的圆的方程为 (x－4)2＋＝16＋， 即x2＋y2－8x－by＝0. ∵AB为两圆的公共弦， ∴由 得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R， 即8＋by＝0， 则直线AB恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $