第一章 再练一课(范围：1.5～1.6)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学解析几何中直线方程的综合应用，系统涵盖两平行直线距离、交点坐标求解、对称关系、垂直判定等核心知识点，从基础公式应用到综合问题解决，构建递进式学习支架。 资料设计层次分明，通过对称点求反射光线、四边形面积最值等实例，培养学生用数学眼光抽象几何关系、用数学思维推理逻辑链条的能力，题型全面且配套示意图辅助理解，课中助力教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

再练一课(范围：1.5～1.6)　 [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．两平行直线x－5y＝0与x－5y－26＝0之间的距离为(　　) A．2 B. C．5 D．3 答案　B 解析　两平行直线之间的距离d＝＝. 2．若过点P(1，－1)且斜率为k的直线l与直线y＝－2x＋3的交点位于第一象限，则k的取值范围是(　　) A．(－4,2) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　由题知直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，显然k≠－2. 将其与y＝－2x＋3联立得 解得 故交点坐标为. 因其在第一象限，则 解得k<－4或k>2. 故k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 3．两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．±24 答案　C 解析　∵两直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，∴k≠0， 令x＝0，可得y＝＝，解得k＝±6. 4．已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A．1,3 B．－，－ C．－2,0 D.，－ 答案　B 解析　kAB＝＝－2，若点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax＋y＋b＝0对称， 则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a， 所以(－a)·(－2)＝－1， 得a＝－. 线段AB的中点(1,2)在直线ax＋y＋b＝0上， 则a＋2＋b＝0， 得b＝－，故选B. 5．设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x＋y－7＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y＋5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0 答案　D 解析　因为点P在直线PA上，所以x＋2－7＝0， 解得x＝5，即点P的坐标为(5,2)． 由题意知PA与y轴的交点为A，所以点A的坐标为(0,7)， 又|PA|＝|PB|，点B在y轴上，所以点A，B关于直线y＝2对称，所以点B的坐标为(0，－3)， kPB＝＝1， 所以直线PB的方程为y－(－3)＝x－0， 即x－y－3＝0. 6．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为(　　) A．3 B. C．5 D. 答案　D 解析　将直线l1的方程变形得x－1＋m(2－y)＝0，由 得 则直线l1过定点(1,2)，同理可知，直线l2过定点(1,2)， 所以直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1,2)，易知， 直线l1⊥l2，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形， 且|OP|＝＝， 设|OM|＝a，|ON|＝b， 则a2＋b2＝5， 四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤＝， 当且仅当 即当a＝b＝时，等号成立， 因此，四边形OMPN面积的最大值为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0 C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 8．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．无论a为何值，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点(0,1)和(－1,0) C．无论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是(O是坐标原点) 答案　ABD 解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0，故l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化，x＝0时，y＝1恒成立，所以l1恒过定点(0,1)； l2：x＋ay＋1＝0，当a变化，y＝0时，x＝－1恒成立，所以l2恒过定点(－1,0)，故B正确； 对于C，在l1上任取一点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不满足无论a为何值，2ax＝0成立，故C错误； 对于D，联立解得 即M， 所以|MO|＝＝≤，当且仅当a＝0时等号成立， 所以|MO|的最大值是，故D正确． 9．已知在以C(2,3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是(　　) A．斜边AB的中点坐标是(3,2) B．|AB|＝2 C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1) 答案　ABD 解析　如图，取AB的中点为P(x，y)， 因为△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形， 所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1， 则kCP＝＝－1，且x－y＝1， 解得 则AB的中点P的坐标为(3,2)，故A正确； |CP|＝＝，|AB|＝2|CP|＝2，故B正确； 所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C错误； 设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3， 所以＝4，所以＝－1，解得＝1， 即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4,1)，故D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．点P(sin θ，cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为________． 答案　3 解析　点P(sin θ，cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离d＝＝≥＝3，所以当sin＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取得最小值3. 11．直线l过点(1,0)且被两条平行直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为，则直线l的方程为______________． 答案　x－3y－1＝0 解析　由平行线间的距离公式可得l1与l2间的距离d＝＝， 而l被l1，l2截得的线段长恰好为， 所以l与l1垂直， 由l1的斜率k1＝－3知， l的斜率k＝， 所以l的方程为y＝(x－1)， 即x－3y－1＝0. 12．已知点O(0,0)，A(4,0)，B(0,4)．若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(－2,0)，则反射光线所在直线的方程为____________，若从点M(m，0)，m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是________．(结果用m表示) 答案　x－2y＋2＝0　 解析　设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0，y0)，直线AB：x＋y－4＝0， ∴ 解得 故P′(4,3)，又Q(－2,0)， 则kP′Q＝＝， ∴直线P′Q：y－0＝(x＋2)， 即x－2y＋2＝0. 点M(m,0)，m∈(0,4)关于y轴的对称点为P″(－m，0)， 设点M(m,0)，m∈(0,4)关于直线AB的对称点为P(x1，y1)， 由 解得故P(4,4－m)． 故|P″P|＝＝. 四、解答题(共37分) 13．(12分)(1)求经过两直线x－3y－2＝0和2x＋y＋3＝0的交点且与直线x＋3y－2＝0平行的直线l的方程；(6分) (2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．(6分) 解　(1)由 解得 所以交点坐标为(－1，－1)． 因为直线l与直线x＋3y－2＝0平行， 所以直线l的斜率为－， 所以直线l的方程为y＋1＝－， 即x＋3y＋4＝0. (2)方法一　解方程组得P(0,2)． 因为l3的斜率为，且l⊥l3， 所以直线l的斜率为－， 由斜截式，可知l的方程为y＝－x＋2， 即4x＋3y－6＝0. 方法二　设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 14．(12分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0. (1)求直线l1与l2的交点坐标；(4分) (2)过点P(3,0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程．(8分) 解　(1)由得 所以直线l1与l2的交点坐标为. (2)由＝可知，点P是线段AB的中点， 设B(x0，－3－x0)， 则A(6－x0,3＋x0)， 把点A(6－x0,3＋x0)代入l1的方程2x－y－2＝0， 得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝， 所以B， 所以kl＝＝8， 即直线l方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 15．(13分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标；(6分) (2)直线BC的方程．(7分) 解　(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为 x－2y－5＝0，所以kAC＝－2， 又因为点A(5,1)， 所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0. 又因为AB边上的中线CM所在直线方程为 2x－y－5＝0， 由得 所以C(4,3)． (2)设B(m，n)， 则AB的中点M在中线CM所在直线上，所以2×－－5＝0， 即2m－n－1＝0. 又点B(m，n)在高BH所在直线上， 所以m－2n－5＝0. 由解得 所以B(－1，－3)． 所以直线BC的方程为＝， 即6x－5y－9＝0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $