第1章 2.3 直线与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的定义及判断方法，通过几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（方程组判别式）构建知识体系，并延伸至切线方程求解、弦长计算等应用，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以“海上日出”情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界，例题对比几何法与代数法，发展数学思维，知识梳理表格化呈现及规范解题步骤，提升数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后通过跟踪训练与课时对点练，帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.3　直线与圆的位置关系 学习目标　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 导语 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆的位置关系的判断 问题1　在平面几何中，直线与圆有几种位置关系？在每种情况下，直线与圆有几个交点呢？ 提示　有3种位置关系，分别为相交，有2个交点；相切，有1个交点；相离，无交点. 问题2　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断. 知识梳理　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判 断 方 法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ (A，B不全为0) d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 例1　(课本例6)　已知直线l：2x+y－3＝0，圆M：(x－a)2+y2＝5. (1)指出圆心M的位置特征； (2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离. 解　(1)由圆M的方程可知圆心M(a，0)为x轴上的动点. (2)根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为 d＝. 当d<，即－1<a<4时，直线l与圆M相交(如图)； 当d＝，即a＝－1或a＝4时，直线l与圆M相切； 当d>，即a<－1或a>4时，直线l与圆M相离. 例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2. 圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离d＝>，∴m<2，∵m>0， ∴0<m<2. 二、圆的切线问题 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则： (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝r； (3)切点P在直线l上，也在圆上. 注意点： (1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切； (2)过圆外一点可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况. 例2　(课本例7)　已知直线l经过O(0，0)，且与圆C：(x－1)2+(y－3)2＝5相切，求直线l的方程. 解　方法一　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，代入圆C的方程，得(y－3)2＝4，此方程有两个不相等的实数根，即直线l与圆C相交，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，得到方程组 将②代入①消去y并整理，得 (k2+1)x2－2(3k+1)x+5＝0. ③ 由直线与圆相切可得方程③有两个相等的实数根，所以 Δ＝4(3k+1)2－20(k2+1)＝0， 即2k2+3k－2＝0. 解得k＝或k＝－2. 故所求直线l的方程为y＝x或y＝－2x(如图). 方法二　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心C(1，3)到直线l的距离为1≠，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0. 由相切条件可得d＝，即 2k2+3k－2＝0. 解得k＝或k＝－2. 故所求直线l的方程为y＝x或y＝－2x(如图). 例2　(1)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为　　　　　　　　　. 答案　y＝4或3x＋4y－13＝0 解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1， ∴点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k， 则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2，3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案　C 解析　圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值l＝. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上(一条切线). ①过圆上一点的切线有一条. ②先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程. ③如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外(两条切线). ①过圆外一点的切线有两条. ②设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.若k值只有一个，则另外一条切线斜率不存在，方程为x＝x0. 跟踪训练2　(1)过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　) A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 答案　B 解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)， kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. (2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为　　　　　　　　　　　. 答案　x＋2y－3＝0 解析　根据题意，由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，其圆心为M(－2，0)， 因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直. kMP＝＝2，则－＝－， 即b＝2a， 由点P在直线l上，则－a＋2b－3＝0，解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0. 三、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①所示， 图① 直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2， 即|AB|＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 图② ＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在). 注意点： (1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直. (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长. (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况. 例3　(课本例8)　已知直线m：3x+4y－2＝0与圆P：x2+y2－2x－2y＝0. (1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明. 解　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2+(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图(1)). (2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1<，所以直线m与圆P相交. 设交点为A，B，圆P的半径为r(如图(2))，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d. 所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2. 故直线m被圆P截得的弦长为2. 例3　(1)已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0内一点A(4，－2)，则以A为中点的弦所在直线的方程为　　　　. 答案　2x＋y－6＝0 解析　由几何性质知，圆心与A的连线所在直线与弦所在直线垂直，设弦所在直线的斜率为k. 因为圆心为C(2，－3)，kCA＝， 所以k＝－2， 所以所求直线的方程是y＋2＝－2(x－4)，即2x＋y－6＝0. (2)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长. 解　方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M， 则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. 反思感悟　(1)求直线与圆的弦长的两种方法：代数法、几何法. (2)利用弦长求直线方程时，应注意斜率不存在的情况. 跟踪训练3　已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直. (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心为点(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程. 解　(1)由已知得解得 ∴两直线交点为(2，1). 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与直线x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2，1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2， 即x－y－1＝0. (2)设圆C的半径为r，依题意，得 圆心C(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为，则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4， ∴r＝2，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)圆的切线方程. (3)弦长公式. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案　B 解析　∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝<1， ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0，0)不在直线y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 2.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A.－2 B.－12 C.2 D.12 答案　CD 解析　圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12. 3.已知圆O：x2＋y2＝4，过M(1，)作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　D 解析　因为M(1，)在圆O上，则切线只有一条， 圆心为(0，0)，所以kOM＝， 所以过M的切线l的斜率为－＝－， 设切线的倾斜角为θ，则tan θ＝－， 由于θ∈[0，π)，故θ＝，即θ＝150°. 4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为　　　　. 答案　2 解析　由题意得，直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2，0)到直线的距离d＝，弦长l＝2＝2＝2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A.过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 答案　D 解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝，因为0<d<r，所以直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. 2.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案　B 解析　∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2>1. ∴圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r， 则直线与圆O的位置关系是相交. 3.直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A. B.± C. D.± 答案　D 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2， 所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝＝1， 所以＝1， 解得k＝±. 4.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.－2 D. 答案　AB 解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝. 又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 5.已知圆O：x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y＝0 D.x－1＝0 答案　B 解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直.已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝＝2， 故所求直线的斜率为－， 所以所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 6.(多选)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程可以是(　　) A.2x＋y＋＝0 B.2x＋y－＝0 C.2x＋y＋5＝0 D.2x＋y－5＝0 答案　CD 解析　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋C＝0(C≠1)，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋C＝0的距离为，解得C＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0. 7.(5分)直线l与圆P：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为　　　　　　. 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的方程可得，圆心P(－1，2)， 所以kPC＝＝－1， 故直线l的斜率k＝1， 所以直线l的方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 8.(5分)若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝　　　　　　. 答案　－ 解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)，半径为1. 由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，解得k＝－. 9.(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(5分) (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.(5分) 解　(1)圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－(x－4)，即x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10.(11分)已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. (1)求圆C的标准方程；(5分) (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.(6分) 解　(1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)， 由题意，得， 解得a＝－6(舍)或a＝2， 所以圆C的半径r＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2. (2)若斜率不存在，则直线l的方程为x＝1， 弦心距d＝1，半径为， 则|AB|＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0， 弦心距d＝，由|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线l的方程为y＝－x＋，即4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 11.一条光线从点(－2，3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　C 解析　点(－2，3)关于x轴的对称点的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3，2)，半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 所以圆心(3，2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝. 12.(5分)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　　　　h. 答案　1 解析　如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区， 即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得|MN|＝2×＝20， 所以城市B处于危险区的时间为1 h. 13.(5分)已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为　　　　　　　　. 答案　x2＋y2＋2y－1＝0 解析　已知直线mx＋y＋1＝0， 令x＝0，则y＝－1， 则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1). 由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 则圆C的半径r＝. 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y－1＝0. 14.(5分)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　. 答案　10 解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直， 设点F为圆心，坐标为(1，3)， 故|EF|＝， 所以|BD|＝2＝2， 则S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10. 15.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A.|b|＝ B.－1<b≤1或b＝－ C.－1≤b<1 D.－1<b<1 答案　B 解析　曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分. 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(即x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.当直线与圆相切时，b＝－，其他位置符合条件时需满足－1<b≤1. 16.(12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程；(5分) (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.(7分) (1)解　设圆心C(a，0)(a>0)， 则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去). ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)证明　∵P是直线x＋y＋4＝0上的动点， 设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)，则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $