第1章 2.1 第1课时 圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从圆的定义出发推导标准方程，明确圆心和半径为确定要素，衔接点与圆位置关系的几何与代数判断方法，构建“定义-方程-应用”的学习支架。 以李白诗句“白玉盘”创设情境，引导学生用数学眼光抽象圆的模型，通过问题链驱动推导培养数学思维，结合与y轴相切、直径端点等实例用数学语言表达，课中例题解析助教师授课，课后对点练帮助学生查漏补缺。

2.1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及圆的标准方程.2.能准确判断点与圆的位置关系.3.会求解简单的圆的标准方程的问题. 导语 古朗月行(节选) [唐] 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也有大量描写.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　设圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，你能推导出圆C的方程吗？ 提示　设P(x，y)为平面直角坐标系中的任意一点，根据圆的定义，点P在圆C上⇔|PC|＝r.根据两点间的距离公式，将|PC|＝r化为＝r，将上式两边平方，得方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 1.圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (2)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点的坐标都满足圆的标准方程，满足圆的标准方程的点都在圆上. 例1　(课本例1)　根据下列圆的方程，写出各圆的圆心坐标和半径： (1)x2+(y－1)2＝4； (2)(x－1)2+(y+1)2＝2. 解　(1)根据圆的标准方程，可得该圆的圆心坐标为(0，1)，半径为2. (2)将方程(x－1)2+(y+1)2＝2化为(x－1)2+[y－(－1)]2＝()2， 根据圆的标准方程，可得该圆的圆心坐标为(1，－1)，半径为. 例1　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A.圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心坐标为(1，2)，半径为5 B.圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心坐标为(－2，0)，半径为b C.圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心坐标为(，－)，半径为 D.圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心坐标为(2，2)，半径为 答案　ABD 解析　圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心坐标为(1，2)，半径为，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心坐标为(－2，0)，半径为|b|，B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心坐标为(－2，－2)，半径为，D错误. (2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 答案　D 解析　由题意得圆心坐标为(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称. 反思感悟　通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心坐标为(a，b)，半径为r. 注意：所给方程与圆的标准形式一致，r>0. 跟踪训练1　下列方程分别表示什么图形？ (1)(x－1)2＋(y－1)2＝0； (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2； (3)x＝. 解　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的是到点(1，1)的距离的平方等于0的点的集合，显然只有(1，1)这一点，即(x－1)2＋(y－1)2＝0表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1，1). (2)(x＋2)2＝16－(y－3)2可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，该方程表示圆心坐标为(－2，3)，半径为4的圆. (3)将x＝两边平方得x2＋y2＝1，但由于x＝≥0， 因此x＝对应的图形是圆x2＋y2＝1中满足x≥0的部分，是半个圆. 二、点与圆的位置关系 问题3　点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件是什么？ 提示　当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 知识梳理　 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置 关系 几何法： 利用距 离判断 代数法：利用方程判断 点在 圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 例2　(1)已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0<a<1)，则原点O在(　　) A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 答案　B 解析　由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心坐标为(a，1)， 则原点O与圆心的距离为. ∵0<a<1，∴>＝r， ∴原点O在圆外. (2)若点P(2，1)在圆C：＋(y－1)2＝1上，则实数a＝　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　. 答案　－2或－6　(－∞，－6)∪(－2，＋∞) 解析　当点P在圆C上时，＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，＋(1－1)2>1， 解得a<－6或a>－2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　(1)点P(1，3)与以A(2，－1)为圆心，半径为5的圆的位置关系为(　　) A.点P在圆上 B.点P在圆内 C.点P在圆外 D.无法确定 答案　B 解析　∵|PA|＝<5， ∴点P在圆内. (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为　　　　. 答案　[0，1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 三、求圆的标准方程 例3　(课本例2)　已知两点A(1，2)和B(3，－2). (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程； (2)求以AB为直径的圆的方程. 解　(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2+(y－2)2＝r2. 由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2+(－2－2)2＝r2. 解得r2＝20. 所以圆A的方程为(x－1)2+(y－2)2＝20(如图(1)). (2)设圆的方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2，则(a，b)是圆心的坐标. 根据已知条件，得 a＝＝2，b＝＝0. 将点B(3，－2)代入圆的方程(x－2)2+y2＝r2，解得 r2＝(3－2)2+(－2)2＝5. 所以所求圆的方程为(x－2)2+y2＝5(如图(2)). 例3　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　. 答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　. 答案　(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练3　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心坐标是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心坐标为(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8， ∴圆心坐标为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：结合图形求圆的标准方程出现漏解情况. 1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心坐标和半径分别为(　　) A.(－1，5)， B.(1，－5)， C.(－1，5)，3 D.(1，－5)，3 答案　B 解析　由圆的标准方程可知，此圆圆心坐标为(1，－5)，半径为. 2.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 答案　C 解析　以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 3.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A.点P在圆外 B.点P在圆内 C.点P在圆上 D.不确定 答案　B 4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　) A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　方法一　(直接法) 设圆的圆心坐标为(0，b)，则＝1， 解得b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二　(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1且圆心在y轴上，易知圆心坐标为(0，2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.方程y＝表示的图形是(　　) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 答案　D 解析　将方程y＝化为x2＋y2＝9(y≥0)，因此该方程表示的曲线是圆x2＋y2＝9位于x轴上方的部分(包括与x轴的两个交点)，是半个圆. 2.已知O为原点，点A(2，－2)，以OA为直径的圆的标准方程为(　　) A.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝8 C.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝8 答案　A 解析　由题意知圆心坐标为(1，－1)，半径r＝|OA|＝，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3.若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 答案　B 解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心坐标为(1，－2)，因为直线x＋y＋a＝0过圆心(1，－2)，所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 4.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心坐标为(4，－3) B.圆M的圆心坐标为(－4，3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 答案　ACD 解析　由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 得圆心坐标为(4，－3)，半径为5，故A，C正确； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确. 5.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内. 6.圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为(　　) A.(x－2)2＋(y－1)2＝5 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 C.(x－1)2＋(y＋2)2＝5 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝5 答案　D 解析　由圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5， 得圆心坐标为(2，－1)，半径r＝， 圆心(2，－1)关于原点的对称点为(－2，1)， ∴圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 7.(5分)方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是　　　　　　　　. 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　由m2－m－2>0， 得m>2或m<－1. 8.(5分)与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　. 答案　(x－1)2＋y2＝18 解析　圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r， 则，所以r2＝18， 又两圆同圆心，且C(1，0)， 则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 9.(10分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(4分) (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.(6分) 解　(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知，得圆心N(5，6). ∵|PN|＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴3<a<，即a的取值范围是(3，). 10.(10分)已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 解　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4. 在Rt△AOC中， |OC|＝ ＝＝3. 设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3， ∴a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　) A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20 C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20 答案　AD 解析　令x＝0，则y＝4； 令y＝0，则x＝2. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)，则|AB|＝＝2.以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20. 12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 答案　B 解析　由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 则解得即P(－1，1). ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC|＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 13.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋y2＝4 答案　ABC 解析　由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心坐标为(1，1)，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心坐标为(－1，1)，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心坐标为(－1，－1)，方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心坐标为(1，－1)，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，没有选项符合； 外接圆圆心坐标为(0，0)，半径为2，方程为x2＋y2＝8，没有选项符合. 14.(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是(　　) A.x2＋ B.x2＋ C.x2＋ D.x2＋ 答案　CD 解析　由题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心坐标为(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋. 15.(5分)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆上的各点的距离都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|＝2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　　　. 答案　1 解析　动点P的轨迹是以O为圆心， 2为半径的圆，即x2＋y2＝4， 而|OM|＝＝1<2， 故点M在圆内， 所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小， 即|PM|min＝2－|OM|＝2－1＝1. 16.(11分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24. (1)求直线l的方程；(5分) (2)求△OAB的内切圆的标准方程.(6分) 解　(1)设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7). 当y＝0时，x＝－； 当x＝0时，y＝－. ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24， ∴··＝24， 解得m＝±24， ∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0. (2)∵直线l的方程为＝±1， △OAB的直角边长分别为6和8，斜边长为10， ∴△OAB的内切圆半径r＝＝2，圆心坐标为(2，2)或(－2，－2)， ∴△OAB的内切圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $