专题2.2 圆的一般方程（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题2.2 圆的一般方程 教学目标 1.知道二元二次方程表示圆的条件； 2.会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径； 3.会根据所给条件求圆的一般方程. 教学重难点 1.重点 (1) 求圆的一般方程； (2) 圆的一般方程的应用． 2.难点 (1)圆的轨迹问题； (2)与圆的一般方程有关的最值问题． 知识点01 圆的一般方程（重点） 1.圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: x2+y2+Dx+Ey+F=0.① 将方程①的左边配方,得+=. (1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. (3)当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. 2.圆的一般方程 (1)定义:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D、E、F为常数),当D2+E2-4F>0时称为圆的一般方程. (2)圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为,半径 【知识剖析】 圆的一般方程的特点: （1）x2与y2的系数均为1; （2）没有xy项; （3）D2+E2-4F>0. 【即学即练】 1.圆x2+y2-4x+2y=0的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(2,-1), B.(2,-1),5 C.(-2,1), D.(-2,1),5 【答案】A 【解析】解法一:将方程x2+y2-4x+2y=0化为(x-2)2+(y+1)2=5,可知圆心坐标为(2,-1),半径为. 解法二:由圆的方程x2+y2-4x+2y=0,知D=-4,E=2,F=0.圆心坐标为,即(2,-1),半径为=. 2.（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的半径为 . 【答案】1 【分析】整理圆的方程为标准方程，可得答案. 【解析】由，则，可得半径为1. 知识点02 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： （1）点在外 （2）点在上 （3）点在内 【即学即练】 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【解析】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 2.已知点A(1,2)，圆C:x2+y2-2x-3y+2=0,则点A与圆C的位置关系是 【答案】点A在圆内. 【解析】因为12+22-2×1-3×2+2=-1<0,所以点A在圆C内. 知识点03 轨迹与轨迹方程（拓展） 1．轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2．“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3．坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【即学即练】 1.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(2,1),则圆C的圆心的轨迹是（） A．直线 B.线段 C.圆 D.点 【答案】D 【解析】因为圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(2,1), 所以(2-a)2+(1-b)2=1，即(a-2)2+(b-1)2=1. 所以圆心C的轨迹是以（2，1）为圆心，1为半径的圆 2.圆C:(x-a)2+(y-2a)2=1的圆心的轨迹是（） A．直线 B.线段 C.圆 D.点 【答案】A 【解析】设圆心C(x,y),则x=a,y=2a，消去a,得y=2x,即圆心C的轨迹是直线y=2x. 题型01 圆的标准方程与一般方程的互化 【典例】（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： (1)； (2)． 【分析】化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. 【解析】（1）标准方程为，圆心为，半径为3； （2）标准方程为， 圆心为，半径为. 圆的标准方程圆的一般方程. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【解析】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 【变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可． 【解析】由C：， 即得圆心坐标为， 根据点线距离公式得， 故选：A． 【变式3】（24-25高三下·上海虹口·期中）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 【答案】 【分析】求出圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为， 因为直线与直线平行，且经过圆的圆心， 所以，直线的方程为. 题型02 二元二次方程与圆的方程的关系 【典例】下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心坐标和半径． （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】根据圆的一般方程的条件进行判断． 【解析】（1）因为与项的系数不相等，所以不能表示圆． （2）方程中含有项，故不能表示圆． （3）因为，故不能表示圆． （4）可化为，故方程表示以为圆心，1为半径的圆． 二元二次方程 表示圆的条件是： （1）； （2）B=0； （3），即 【变式1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【解析】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】求出圆与轴相切的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】圆的标准方程为， 圆心，半径，有， 若，由，可得， 圆心到轴的距离，此时圆与轴相切； 若圆与轴相切， 则，可得， 所以“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【解析】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 【变式4】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 题型03 求圆的一般方程 【典例】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解析】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 常利用待定系数法求圆的一般方程，有时也利用圆的几何性质求出圆的标准方程，再化为圆的一般方程. 待定系数法求圆的一般方程的步骤与求圆的标准方程的步骤类似，即先设出圆的一般方程，然后利用已知条件列出关于D，E，F的方程组，通过解方程组求出D，E，F的值，再代入所设方程中. 【变式1】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【解析】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于6，则圆的一般方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意设出圆的一般方程，把的坐标代入，再由在轴上截得的弦长等于6得关于的另一方程，联立求得的值，即可求出圆的方程. 【解析】解析：设圆的方程为． 由题意可得① 在圆的方程中，令，得．② 设，是方程②的两根，由，得，③ 联立①③得，，或，，． 故圆的一般方程为或． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知点，四点共圆，则 ． 【答案】 【分析】设过的圆的一般方程，再列方程组，求得其一般方程，再将点坐标代入即可. 【解析】设过的圆的方程为且, 则，解得， 所以过的圆的方程为， 又因为点在此圆上，所以，解得，所以． 故答案为： 题型04 一般方程下点与圆的位置关系 【典例】（24-25高二上·浙江·期中）若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点与圆的位置关系求参数范围即可. 【解析】由题可知，，解得. 故选：D 点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断 【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【解析】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 【变式2】（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【解析】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 题型05 圆的对称问题 【典例】（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C 【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参. 【解析】圆的圆心为， 且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得， 所以或，满足. 故选：C. 与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【变式1】（23-24高二上·安徽淮北·月考）如果圆关于直线对称，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心在直线上，代入计算即可得解. 【解析】因为圆的圆心为， 由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解. 【解析】由题意，两圆半径相等， 所以，解得， 故选：A 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【解析】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 题型06 圆过定点问题 【典例】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 对于含参数的圆系方程表示的圆过定点问题，可以通过取特殊值的方法得到该定点坐标，对于可转化为某曲线与圆相交的圆系方程，往往联立该曲线及圆的方程，方程组的解即为定义的坐标. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解析】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 【变式2】（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 题型07 圆心的轨迹问题 【典例】（2025·湖北·二模）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程; (2)当时，求的方程及的面积. 【分析】（1）根据即可判断求轨迹为以点为圆心，为半径的圆，即可求方程； （2）数形结合可得，即可求出直线的方程，再计算点到的距离，利用勾股定理计算即可求面积. 【解析】（1）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为， 则线段的中点，， 因点为线段的中点，则， 则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 则该圆的方程为，经检验符合题意， 所以的轨迹方程是. （2）由于，故在线段的垂直平分线上， 又在圆上，所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为， 故的方程为，即， 又，点到的距离为， 所以， 则，故的面积为.    　与圆有关的轨迹方程的4种求法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 【变式1】（24-25高二下·湖南·月考）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案. 【解析】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 圆心与原点的距离为， 则的最大值为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【解析】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】运用直接法，设点，依题意列出方程，化简即得. 【解析】设点，依题意，, 代入点的坐标，可得：， 化简得：. 即点的轨迹方程为. 题型08 与圆有关的实际问题 【典例】（24-25高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2024年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【解析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船不可以从桥下通过． 对于圆的实际问题，首先要理顺题意，将实际问题转化为数学问题，然后建立适当的平面直角坐标系，利用圆的要素确定圆的方程，并根据圆的特性及方程进一步求解. 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，结合圆的方程，即可求解. 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为轴，建立直角坐标系， 设圆心为，水面所在弦的端点为，则由已知可得， 再设圆的半径为，则圆心，即圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，即圆的方程为， 当水面下降1米后，可得， 代入圆的方程，可得，所以当水面下降1米后，水面宽度为米. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【解析】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程. 【解析】由题意知，在圆上，圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为， 则一般方程为：， 故选：B. 2．（23-24高二上·陕西·期中）若圆的半径为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程转化为标准式，可得半径，即可得解. 【解析】由圆的方程为， 即， 又圆的半径为， 所以，解得， 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏泰州·月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程满足，列式运算得解. 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【解析】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为故选：C. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【解析】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B. 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【解析】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 7．（24-25高二上·山西运城·月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解. 【解析】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【解析】 化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【解析】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】BD 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【解析】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD. 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【解析】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解析】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 14．（23-24高二上·江西南昌·月考）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 三、解答题 15．（23-24高二上·全国·单元测试）已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 【分析】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可； （2）设所求圆的圆心为，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可. 【解析】（1）设圆C：，其中， 则，解得， 所以圆C的一般方程是：， 化为标准方程是：. （2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心， 则由已知得，解得， 故圆C关于直线对称圆的方程为. 16.（1）一个等腰三角形底边上的高等于5，底边端点的坐标是，.求它的外接圆的方程； (2)求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 【解析】 (1)由题意，等腰三角形顶点的坐标为或. (i)当顶点坐标为时，设三角形外接圆的方程为， 则，解之，得.所以圆的方程为. (ii)当顶点为时，同理可得，圆的方程为. (2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D； 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E； 由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2， 所以D＋E＝－2.① 又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上， 所以16＋5＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0， 由①②③可得D＝－2, E＝0, F＝－12， 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. 17．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【解析】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 18.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 【解析】(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2 ＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0， 由二次函数的图象，解得－<t<1. ∴t的取值范围为. (2)由(1)知r＝＝， ∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是2＋2＝. (3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×(4t2)＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0，∴0<t<，满足圆的定义． ∴t的取值范围为. 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【分析】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【解析】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点，设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得，故的轨迹方程为. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 圆的一般方程 教学目标 1.知道二元二次方程表示圆的条件； 2.会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径； 3.会根据所给条件求圆的一般方程. 教学重难点 1.重点 (1) 求圆的一般方程； (2) 圆的一般方程的应用． 2.难点 (1)圆的轨迹问题； (2)与圆的一般方程有关的最值问题． 知识点01 圆的一般方程（重点） 1.圆的标准方程与一般方程的互化 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,展开得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成以下形式: _______________① 将方程①的左边配方,得+=. (1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示的是以为圆心，为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,方程①只有一个实数解,x=-,y=-,所以方程①表示一个点. (3)当D2+E2-4F<0时,方程①没有实数解,因此它不表示任何图形. 2.圆的一般方程 (1)定义:方程__________________ (D、E、F为常数),当__________>0时称为圆的一般方程. (2)圆心坐标和半径公式: 上述方程表示的圆中,圆心坐标为_______,半径___________ 【知识剖析】 圆的一般方程的特点: （1）x2与y2的系数均为1; （2）没有xy项; （3）D2+E2-4F>0. 【即学即练】 1.圆x2+y2-4x+2y=0的圆心坐标和半径分别是(　　) A.(2,-1), B.(2,-1),5 C.(-2,1), D.(-2,1),5 2.（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的半径为 . 知识点02 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： （1）点在外 ； （2）点在上 ； （3）点在内 . 【即学即练】 1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 2.已知点A(1,2)，圆C:x2+y2-2x-3y+2=0,则点A与圆C的位置关系是 知识点03 轨迹与轨迹方程（拓展） 1．轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点 ,.轨迹是指点在运动变化过程中 ，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2．“轨迹”与“轨迹方程”有区别 （1）“轨迹”是 ，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是 ，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3．坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【即学即练】 1.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(2,1),则圆C的圆心的轨迹是（） A．直线 B.线段 C.圆 D.点 2.圆C:(x-a)2+(y-2a)2=1的圆心的轨迹是（） A．直线 B.线段 C.圆 D.点 题型01 圆的标准方程与一般方程的互化 【典例】（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： (1)； (2)． 圆的标准方程圆的一般方程. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【变式2】（2025·河南新乡·模拟预测）已知圆和直线，则圆心到直线l的距离为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式3】（24-25高三下·上海虹口·期中）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 题型02 二元二次方程与圆的方程的关系 【典例】下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心坐标和半径． （1）； （2）； （3）； （4）． 二元二次方程 表示圆的条件是： （1）； （2）B=0； （3），即 【变式1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 求圆的一般方程 【典例】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 常利用待定系数法求圆的一般方程，有时也利用圆的几何性质求出圆的标准方程，再化为圆的一般方程. 待定系数法求圆的一般方程的步骤与求圆的标准方程的步骤类似，即先设出圆的一般方程，然后利用已知条件列出关于D，E，F的方程组，通过解方程组求出D，E，F的值，再代入所设方程中. 【变式1】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于6，则圆的一般方程为 ． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知点，四点共圆，则 ． 题型04 一般方程下点与圆的位置关系 【典例】（24-25高二上·浙江·期中）若点在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断 【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 圆的对称问题 【典例】（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【变式1】（23-24高二上·安徽淮北·月考）如果圆关于直线对称，那么（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 题型06 圆过定点问题 【典例】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 对于含参数的圆系方程表示的圆过定点问题，可以通过取特殊值的方法得到该定点坐标，对于可转化为某曲线与圆相交的圆系方程，往往联立该曲线及圆的方程，方程组的解即为定义的坐标. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式2】（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 题型07 圆心的轨迹问题 【典例】（2025·湖北·二模）已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程; (2)当时，求的方程及的面积. 　与圆有关的轨迹方程的4种求法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 【变式1】（24-25高二下·湖南·月考）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【变式3】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 题型08 与圆有关的实际问题 【典例】（24-25高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2024年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 对于圆的实际问题，首先要理顺题意，将实际问题转化为数学问题，然后建立适当的平面直角坐标系，利用圆的要素确定圆的方程，并根据圆的特性及方程进一步求解. 【变式1】（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（23-24高二下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西·期中）若圆的半径为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏泰州·月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山西运城·月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 三、填空题 12．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 13．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    14．（23-24高二上·江西南昌·月考）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 三、解答题 15．（23-24高二上·全国·单元测试）已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 16.（1）一个等腰三角形底边上的高等于5，底边端点的坐标是，.求它的外接圆的方程； (2)求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 17．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 18.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 19．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$