第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线方程的点斜式”核心知识点，从斜率公式出发推导点斜式，通过特殊化得到斜截式，再延伸至含参数直线过定点问题，构建从基础原理到综合应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生抽象直线坐标关系（数学眼光），通过分类讨论斜率存在与否（如例1）培养推理能力（数学思维），结合实例解决三角形面积等问题（数学语言）。课中助教师高效授课，课后学生可通过例题与练习查漏补缺，强化知识应用。

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 学习目标　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线方程的点斜式与斜截式.3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关的问题. 导语 给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？ 一、直线方程的点斜式 问题1　已知直线l的斜率为2且过点P(0，3)，则直线l上不同于点P的任意一点Q(x，y)的坐标满足的数量关系是什么？ 提示　由斜率公式有＝2，即方程y＝2x＋3是点Q(x，y)的坐标所满足的数量关系. 问题2　满足方程y＝2x＋3的每一组(x，y)所对应的点也都在直线l上吗？ 提示　都在. 知识梳理 1.直线的方程：一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 方程y－y0＝k(x－x0)是经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程. 方程y－y0＝k(x－x0)称为直线方程的点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用直线方程的点斜式.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 例1　(课本例7)　求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为； (2)与x轴垂直； (3)与x轴平行. 解　(1)因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为k＝tan. 因为直线经过点P(－1，2)且斜率为，所以该直线方程的点斜式为y－2＝[x－(－1)]， 化简，得x－y++2＝0(如图(1)). (2)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，所以该直线的方程为x＝－1(如图(2)). (3)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以该直线的方程为y＝2(如图(3)). 例1　已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程. 解　(1)如图所示， 因为A(1，1)，B(5，1)， 所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1. (2)因为∠A＝60°， 所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)， 即x－y－＋1＝0. 因为∠B＝45°， 所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)， 即x＋y－6＝0. 反思感悟　求直线方程的点斜式的步骤及注意点 (1)求直线方程的点斜式的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点. 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式表示.但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝－1. ∵直线过点P(－2，3)， ∴由直线方程的点斜式可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 二、直线方程的斜截式 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示　由点斜式，得y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 知识梳理　 称方程y＝kx＋b为直线方程的斜截式，该方程中k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距. 注意点： (1)直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况；由直线方程的斜截式可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (3)直线方程的斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线方程的斜截式. (4)若设直线方程的斜截式，也要注意讨论斜率不存在的情况. 例2　求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解　(1)由题意得k＝2，b＝1. 由直线方程的斜截式得y＝2x＋1. (2)因为y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°. 所以k＝tan 30°＝，又b＝－2， 所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为b＝3或b＝－3， 所以所求直线的方程为y＝x＋3或y＝x－3. 延伸探究　本例(2)中条件改为“斜率与直线y＝x＋1互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程. 解　由题意知，所求直线的斜率为－， 可设直线方程为y＝－x＋b， 因为在x轴上的截距为－2， ∴0＝－×(－2)＋b，得b＝－2. ∴直线方程为y＝－x－2. 反思感悟　求直线方程的斜截式的策略 (1)斜截式的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 跟踪训练2　已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程. 解　设l：y＝－x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝b. 由题意，得·|b|·＝6， ∴b2＝16，∴b＝±4. 故直线l的方程为y＝－x±4. 三、含参数的直线方程的几何特征 问题4　方程y－2＝k(x－1)表示的直线具有的与k取值无关的特征是什么？ 提示　过定点(1，2). 例3　已知直线l：y＝ax＋. (1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (1)证明　因为y＝ax＋＝a， 所以直线l恒过定点. 因为点位于第一象限， 所以直线l必经过第一象限. (2)解　设A， 则直线OA的斜率kOA＝＝3. 若直线l不经过第二象限， 则直线l的斜率kl≥3， 即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，＋∞). 反思感悟　对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0). 跟踪训练3　(1)方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　) A.过点(－1，0)的一切直线 B.过点(1，0)的一切直线 C.过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线 D.过点(1，0)且除x轴外的一切直线 答案　C 解析　y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线. (2)直线y＝ax－的图象可能是(　　) 答案　B 解析　直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号，故选B. 1.知识清单： (1)直线方程的点斜式. (2)直线方程的斜截式. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合思想. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A.直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B.直线经过点(－1，2)，斜率为1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为1 答案　C 解析　由点斜式的定义可得，选项C正确. 2.已知直线l的方程为y＋(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.－9 C. D.－ 答案　B 解析　由y＋(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 3.已知直线l的倾斜角为60°且经过点(0，－2)，则直线l的方程为(　　) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 答案　D 解析　∵直线l的倾斜角为60°， ∴k＝tan 60°＝， 又直线l经过点(0，－2)， ∴直线l的方程为y－(－2)＝(x－0)， 即y＝x－2. 4.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 答案　B 解析　∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4，3)的直线方程为(　　) A.y－3＝－(x＋4) B.y＋3＝(x－4) C.y－3＝(x＋4) D.y＋3＝－(x－4) 答案　C 解析　由点斜式可得所求直线方程为y－3＝(x＋4). 2.已知直线l经过A(－1，3)，B(0，5)两点，则直线l的方程为(　　) A.2x－y－5＝0 B.2x－y＋5＝0 C.x－2y＋5＝0 D.x＋2y＋5＝0 答案　B 解析　由经过两点的直线的斜率公式， 可知直线的斜率k＝＝2， 所以该直线方程的点斜式为y－5＝2(x－0)， 即2x－y＋5＝0. 3.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 答案　B 解析　直线方程y－2＝－(x＋1)可化为 y＝－x＋2－， 故直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 4.(多选)给出下列四个命题，其中正确的是(　　) A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) D.所有的直线其方程都有点斜式和斜截式 答案　BC 解析　点(－1，2)满足y－2＝k(x＋1)，不满足k＝，A不正确；B，C显然正确；当直线垂直于x轴时，直线的倾斜角为，斜率不存在，直线没有点斜式和斜截式，D不正确. 5.直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 答案　A 解析　设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2. 又b1<0，b2>0，所以b1<b2. 6.(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　) A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 答案　BC 解析　由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为 y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3. 7.(5分)已知直线l的一个方向向量a＝(1，3)，且经过点(1，1)，则直线l方程的斜截式为　　　　　　　　. 答案　y＝3x－2 解析　直线l的斜率为k＝＝3. 直线l方程的点斜式为y－1＝3(x－1)， 其斜截式为y＝3x－2. 8.(5分)已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝　　　　. 答案　4 解析　方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为 y＝(m－1)x＋2m－1， 所以2m－1＝7，解得m＝4. 9.(10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(－4，1)；(5分) (2)在y轴上的截距为－10.(5分) 解　由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. (1)因为直线过点(－4，1)， 所以该直线方程的点斜式为y－1＝(x＋4)， 即y＝x＋4＋1. (2)因为直线在y轴上的截距为－10， 所以该直线方程的斜截式为y＝x－10. 10.(10分)求斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程. 解　设所求直线的方程为y＝x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝－b. 由已知，得|b|＋＝20. 即|b|＋|b|＋|b|＝20， 解得b＝±5. 故所求直线的方程为y＝x±5. 11.已知直线l的一个方向向量为(cos 45°，－sin 45°)，且过点(1，2)，则直线l在y轴上的截距为(　　) A.3 B.－3 C.1 D.－1 答案　A 解析　∵直线l的一个方向向量为 (cos 45°，－sin 45°)， ∴直线l的斜率k＝＝－1， 又直线过点(1，2)， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3， ∴直线l在y轴上的截距为3. 12.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　) 答案　C 解析　对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意. 13.(5分)如果直线l过点(2，1)，且在y轴上的截距的取值范围为(－1，2)，那么直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　　　. 答案　 解析　当直线l经过点(0，－1)时，斜率为＝1；当直线l经过点(0，2)时，斜率为＝－，故所求直线l的斜率k的取值范围是. 14.(5分)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是　　　. 答案　 解析　由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示. 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 因为kPA＝＝－2， kPB＝， 所以－2≤k≤. 15.(多选)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，给出下列四个命题，其中真命题有(　　) A.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条 B.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条 C.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条 D.存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条 答案　BCD 解析　由题意知，k≠0且k≠，∵直线y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点坐标分别是A，B(0，3－2k)， ∴S△AOB＝××|3－2k|＝×，当k>0且k≠时， S△AOB＝××， ∵4k＋>2＝12， ∴S△AOB>0， ∴由对勾函数的性质知，当S△AOB＝m>0时，在k>0且k≠时，k有两个值满足条件； 当k<0时， S△AOB＝×××， ∵－4k＋≥2＝12，当且仅当k＝－时取等号，∴S△AOB≥12，当且仅当k＝－时取等号，∴由对勾函数的性质知，当S△AOB＝m>12时，在k<0时，k有两个值满足条件；当m＝12时，在k<0时，k有1个值满足条件；当0<m<12时，在k<0时，没有满足条件的k值. 综上所述，当0<m<12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，故B正确；当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，故C正确；当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，故D正确. 16.(12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.(8分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1). (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $