第一章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式&第3课时 两条平行直线间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

第２课时　点到直线的距离公式 第３课时　两条平行直线间的距离公式 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．探索并掌握平面上点到直线的距离公式 ２．掌握两条平行直线间的距离公式 ３．会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离 通过点到直线距离、两条平行直线间 距离公式的学习,提升逻辑推理、数学 运算、直观想象的数学素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　 在 公 路 附 近 有 一 家 乡村饭馆,现在需要铺设 一 条 连 接 饭 馆 和 公 路 的 道路．请同学们帮助设计 一下:在理论上怎样铺路可以使这条连接道路 的长度最短? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　点到直线的距离 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．点到直线的距离的概念:过一点向直线作垂 线,则该点与　　　　之间的距离,就是该 点到直线的距离． ２．点到直线的距离公式:点P(x０,y０)到直线 l:Ax＋By＋C＝０(A,B 不同时为０)的距离 d＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在使用点到直线距离公式时对直 线方程有什么要求? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　两平行直线间的距离 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．两条平行直线间的距离的概念:两条平行直 线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 　　　　　　的长． ２．两条平行直线间的距离的求法:两条平行直 线间的距离转化为　　　　　　的距离． ３．两条平行直线间的距离公式:两条平行直线 l１:Ax＋By＋C１＝０与l２:Ax＋By＋C２＝０间 的距离d＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．在应用两条平行线间的距离公式 时对直线方程有什么要求? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)点P(x０,y０)到与x轴平行的直线y＝b(b ≠０)的距离d＝y０－b． (　　) (２)点P(x０,y０)到与y轴平行的直线x＝a(a ≠０)的距离d＝|x０－a|． (　　) (３)两直线x＋y＝m 与x＋y＝２n的距离为 |m－２n| ２ ． (　　) ２．原点到直线x＋２y－５＝０的距离为 (　　) A．１ B．３ C．２ D．５ ３．两条平行线l１:３x＋４y－７＝０和l２:３x＋４y －１２＝０的距离为 (　　) A．３ B．２ C．１ D．１２ ４．已知直线l１:x＋y－１＝０,l２:x＋y＋a＝０, 且两直线间的距离为 ２,则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　点到直线的距离 [例１]　求点P(３,－２)到下列直线的距离: (１)y＝３４x＋ １ ４ ;(２)y＝６;(３)x＝４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点到直线距离的求解方法 (１)求点到直线的距离,首先要把直线化成 一般式方程,然后再套用点到直线的距 离公式． (２)当点与直线有特殊位置关系时,也可以 用公式求解,但是这样会把问题变复杂 了,要注意数形结合． 􀳀[变式训练] １．求垂直于直线x＋３y－５＝０,且与点P(－１,０) 的距离是３ １０ ５ 的直线l的方程． 　　　两条平行线间的距离 [例２]　已知直线l１:３x－２y－１＝０和l２:３x －２y－１３＝０,直线l与l１,l２ 的距离分别是 d１,d２,若d１∶d２＝２∶１,求直线l的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由题设知l１∥l２,故l∥l１∥ l２,设出l的方程,利用距离公式表示出 d１,d２．进而求出直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离,一般是直接利用两 平行线间的距离公式,当直线l１:y＝kx＋ b１,l２:y＝kx＋b２,且 b１ ≠b２ 时,d＝ |b１－b２| k２＋１ ;当直线l１:Ax＋By＋C１＝０,l２: Ax＋By＋C２ ＝０ 且 C１ ≠C２ 时,d＝ |C１－C２| A２＋B２ ．但必须注意两直线方程中x,y 的系数对应相等． 􀳀[变式训练] ２．求与直线l:５x－１２y＋６＝０平行且与直线l 距离为３的直线方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第一章　直线与圆 　　　距离公式的综合应用 [例３]　已知直线l过点A(２,４),且被平行直 线l１:x－y＋１＝０与l２:x－y－１＝０所截 的线段中点 M 在直线x＋y－３＝０上,求直 线l的方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　可设出点 M 的坐标,利用点 M 到两直线的距离相等,求出点 M 的坐 标,再用两点式写出直线的方程,也可先求 出与l１,l２ 平行且等距离的直线方程,再与 x＋y－３＝０联立求出点 M 的坐标,最后 由两点式写出直线方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 距离公式综合应用的三种常用类型 (１)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离 问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点 到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二 次函数的最值问题,通过配方求最值． (２)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或 方程组,通过解方程或方程组求值． (３)求方程的问题． －立足确定直线的几何要素———点和 方向,利用直线方程的各种形式,结合 直线的位置关系(平行直线系、垂直直线 系及过交点的直线系),巧设直线方程,在 此基础上借助三种距离公式求解． 􀳀[变式训练] ３．求过点(３,５)的所有直线中,距原点最远的 直线方程． [当堂达标] １．点(５,－３)到直线x＋２＝０的距离等于 (　　) A．７　　　B．５　　　C．３　　　D．２ ２．(多选)到直线２x＋y＋１＝０的距离等于 ５５ 的直线方程可能为 (　　) A．２x－y＝０　　　　　　B．２x＋y－２＝０ C．２x＋y＝０ D．２x＋y＋２＝０ ３．已知两点A(－３,－２)和B(－１,４)到直线x＋ ay＋１＝０的距离相等,则实数a为　　　　． ４．已知直线l经过点(－２,３),且原点到直线l 的距离等于２,求直线l的方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ３．D　[联立直线l１,l２ 的方程 x－３y＋４＝０, ２x＋y＋５＝０,{ 解 得 x＝－１９７ , y＝３７ ,{ 即 直 线l１ 与l２ 的 交 点 为 －１９７ ,３ ７( ) ,故所求的直线方程为y＝－ ３ １９x ,即３x＋１９y＝０．] ４．解析:将点(０,２)代入直线x＋by＝１,解得b＝ １２ ,在将点 (０．２)代入直线x－y＝a,解得a＝－２, 答案:－２;１２ ５．解:设点 M(－３,４)关 于 直 线l:x－y＋３＝０的 对 称 点 为 M′(a,b),则反射光线所在直线过点 M′, 所以 b－４ a－(－３)＝－１ , －３＋a ２ － b＋４ ２ ＋３＝０ ,{ 解得a＝１,b＝０．又反射光线经 过点 N(２,６), 所以所求直线的方程为y－０ ６－０＝ x－１ ２－１ ,即６x－y－６＝０． １．６　平面直角坐标系中的距离公式 第１课时　两点间的距离公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一　 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ [思考] [提 示 ]　 可 以,原 因 是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２ ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中P１,P２ 两点的位 置没有先后之分． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)√ ２．B　 [由 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 可 知 |AB|＝ (３－２)２＋(７－５)２＝ ５．] ３．解析:∵过点 M(－２,a),N(a,４)的直线斜率为k＝４－aa＋２＝ －１２ ,解得a＝１０, ∴|MN|＝ (a＋２)２＋(４－a)２＝ (１０＋２)２＋(４－１０)２＝６ ５． 答案:６ ５ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)设点 M(x,０)(x＞０),由题意可知, x２＋０２＝ ５２＋(－３)２,解得x＝ ３４．∴点 M 的坐标为 ( ３４,０)． (２)直线２x＋my＋２＝０与x轴的交点为(－１,０),与y轴的 交 点 为 ０,－２m( ) ,所 以 两 交 点 之 间 的 距 离 为 (－１－０)２＋ ０＋２m( ) ２ ＝ １＋ ４m２ (m≠０)． [答案]　(１)D　(２)１＋ ４m２ (m≠０) [例２]　[解]　法一:∵|AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, |AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, 又|BC|＝ (１－３)２＋(７＋３)２＝２ ２６, ∴|AB|２＋|AC|２＝|BC|２, 且|AB|＝|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二:∵kAC＝ ７－１ １－(－３)＝ ３ ２ , kAB＝ －３－１ ３－(－３)＝－ ２ ３ , 则kAC􀅰kAB＝－１,∴AC⊥AB． 又|AC|＝ (１＋３)２＋(７－１)２＝２ １３, |AB|＝ (３＋３)２＋(－３－１)２＝２ １３, ∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形． [例３]　 [解]　 (１)设 A(２,０)关 于 直 线l 的 对 称 点 为 A′(m,n),则 n－０ m－２＝－２ , m＋２ ２ －２× n＋０ ２ ＋８＝０ ,{ 解得 m＝－２,n＝８,{ 故A′(－２,８)． P 为直线l上的一点,则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥ |A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|＋|PB|取得最 小值,为|A′B|,点 P 即 是 直 线A′B 与 直 线l 的 交 点, 由 x＝－２,x－２y＋８＝０,{ 得 x＝－２, y＝３,{ 故所求的点P 的坐标为(－２,３),最小值为|A′ B|＝|８－(－４)|＝１２． (２)A,B 两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB| －|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|－|PA|| 取得最大值,为|AB|,点P 即是直线AB 与直线l的交点,又 直 线 AB 的 方 程 为 y ＝x －２,解 y＝x－２ , x－２y＋８＝０,{ 得 x＝１２, y＝１０,{ 故所求的点P 的坐标为(１２,１０),最大值为|AB|＝ (－２－２)２＋(－４－０)２＝４ ２． 变式训练 １．解:设所求点P(x,０),于是由|PA|＝|PB|得 (x＋１)２＋(０－２)２＝ (x－２)２＋(０－ ７)２, 即x２＋２x＋５＝x２－４x＋１１,解得x＝１． 所以,所求P 点坐标为(１,０), |PA|＝ (１＋１)２＋(０－２)２＝２ ２． ２．解:因为|AD|＝ (５－３)２＋(４－０)２＝２ ５． 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得|AB|＝ |AD|２＋|BD|２＝ ２０＋４＝２ ６． 所以等腰△ABC的腰长为２ ６． ３．解 析:∵ f (x)＝ x２＋４x＋２０ ＋ x２＋２x＋１０ ＝ (x＋２)２＋(０－４)２＋ (x＋１)２＋(０－３)２, ∴f(x)的几何意义为点 M(x,０)到两定点A(－２,４)与B (－１,３)的距离之和．设点A(－２,４)关于x 轴的对称点为 A′,则A′为(－２,－４)． 要求f(x)的最小值,可转化为|MA|＋|MB|的最小值,利 用对 称 思 想 可 知 |MA| ＋ |MB| ≥ |A′B | ＝ (－１＋２)２＋(３＋４)２＝５ ２,即f(x)＝ x２＋４x＋２０＋ x２＋２x＋１０的最小值为５ ２． 答案:５ ２ 当堂达标 １．B　[|AB|＝ (－２－１)２＋(２＋２)２＝ ２５＝５．] ２．C　[BC边的中点D ３２ ,６( ) ,由两点之间的距离公式可得 |AD|＝ ３２－４( ) ２ ＋(６－１)２＝５ ５２ ． ] ３．C　[由|AB|＝ (a＋２)２＋(３＋１)２＝５,可知(a＋２)２＝９． ∴a＝１或－５．] ４．解析:由两点间的距离公式,得|AC|＝ [３－(－１)]２＋(４－０)２＝４ ２, |CB|＝ (３－５)２＋(４－６)２＝２ ２,故|AC||CB|＝ ４ ２ ２ ２ ＝２． 答案:２ ５．解:直 线 AB 的 斜 率k＝ ２－５－１－２＝１ ,AB 中 点 坐 标 为 １ ２ ,７ ２( ) ,点斜式得所求直线方程为y－ ７ ２ ＝x－ １ ２ ,即x －y＋３＝０． 第２课时　点到直线的距离公式 第３课时　两条平行直线间的距离公式 课前预习学案 情境引入 提示:铺设一条从饭馆到公路的垂直道路,道路的长度最短． 知识梳理 知识点一１．垂足　２． |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ [思考] １．[提示]　要求直线的方程应化为一般式． 知识点二１．公垂线段　２．点到直线　３． |C２－C１| A２＋B２ 　 [思考] ２．[提示]　两条平行直线的方程都是一般式,且x,y对应的 系数应分别相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 参考答案 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√ ２．D　[利用点到直线的距离公式可得:原点到直线x＋２y－５ ＝０的距离d＝|０＋０－５| １２＋２２ ＝ ５．] ３．C　[d＝|－７－ (－１２)| ３２＋４２ ＝１．] ４．解析:d＝|－１－a| １２＋１２ ＝|a＋１| ２ ＝ ２,∴|a＋１|＝２,∴a＝－３ 或a＝１． 答案:－３或１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)把方程y＝３４x＋ １ ４ 写成３x－４y＋１＝０, 由点到直线的距离公式得d＝ |３×３－４×(－２)＋１| ３２＋(－４)２ ＝１８５． (２)法一:把方程y＝６写成０􀅰x＋y－６＝０,由点到直线的 距离公式得d＝|０×３＋ (－２)－６| ０２＋１２ ＝８． 法二:因为直线y＝６平行于x轴,所以d＝|６－(－２)|＝８． (３)因为直线x＝４平行于y轴,所以d＝|４－３|＝１． [例２]　[解]　由直线l１,l２ 的方程知l１∥l２．又由题意知,直 线l与l１,l２ 均平行(否则d１＝０或d２＝０,不符合题意)． 设直线l:３x－２y＋m＝０(m≠－１且m≠－１３),由两平行线间的 距离公式,得d１＝ |m＋１| １３ ,d２＝ |m＋１３| １３ ,又d１∶d２＝２∶１,所 以|m＋１|＝２|m＋１３|, 解得m＝－２５或m＝－９． 故所求直线l的方程为３x－２y－２５＝０或３x－２y－９＝０． [例３]　[解]　方法一　∵点 M 在直线x＋y－３＝０上, ∴设点 M 的坐标为(t,３－t),则点 M 到l１,l２ 的距离相等, 即|t－(３－t)＋１| ２ ＝|t－ (３－t)－１| ２ ,解得t＝３２ , ∴M ３２ ,３ ２( )．又l过 点 A(２,４),由 两 点 式 得 y－３２ ４－３２ ＝ x－３２ ２－３２ ,即５x－y－６＝０,故直线l的方程为５x－y－６＝０． 方法二　设与l１,l２ 平行且距离相等的直线l３:x－y＋C＝ ０,由两平行直线间的距离公式得|C－１| ２ ＝|C＋１| ２ ,解得C ＝０,即l３:x－y＝０． 由题意得中点 M 在l３ 上,点 M 在x＋y－３＝０上． 解方程 组 x－y＝０,x＋y－３＝０,{ 得 x＝３２ , y＝３２． { ∴M ３２,３２( )．又l过 点A(２,４),故由两点式得直线l的方程为５x－y－６＝０． 变式训练 １．解:设与直线x＋３y－５＝０垂直的直线的方程为３x－y＋m ＝０,则由点到直线的距离公式知: d＝|３× (－１)－０＋m| ３２＋(－１)２ ＝|m－３| １０ ＝３ １０５ ． 所以|m－３|＝６,即m－３＝±６．得m＝９或m＝－３, 故所求直线l的方程为３x－y＋９＝０或３x－y－３＝０． ２．解:∵与l平行的直线方程为５x－１２y＋b＝０, 根据两平行直线间的距离公式得 |b－６| ５２＋(－１２)２ ＝３,解得b ＝４５或b＝－３３． 所以所求直线 方 程 为:５x－１２y＋４５＝０,或 ５x－１２y－３３ ＝０． ３．解:设过点(３,５)的直线方程为y－５＝k(x－３)或x＝３．对 于y－５＝k(x－３), 原点(０,０)到它的距离d＝|３k－５| k２＋１ ,化简整理得(９－d２)k２ －３０k＋２５－d２＝０． 当９－d２≠０时,因k∈R,∴Δ＝(－３０)２－４(９－d２)(２５－ d２)≥０．解得０≤d≤ ３４(且d≠３)． 对于x＝３,原点到它的距离d＝３． 因此,过点(３,５)的所有直线与原点的距离d∈[０, ３４]． 故dmax＝ ３４,当d＝ ３４时, |３k－５| k２＋１ ＝ ３４,解得k＝－３５． 故 所求直线方程为:y－５＝－３５ (x－３),即３x＋５y－３４＝０． 当堂达标 １．A　[直线x＋２＝０,即x＝－２为平行于y 轴的直线,所以 点(５,－３)到x＝－２的距离d＝|５－(－２)|＝７．] ２．CD　[因为所求与直线２x＋y＋１＝０的距离为 ５５ ,所以可 得所求直线与已知直线平行, 设所求直线方程为２x＋y＋c＝０(c≠１),∴d＝ |c－１| ２２＋１２ ＝ ５ ５ ,解得c＝０或c＝２, 故所求直线方程为２x＋y＝０或２x＋y＋２＝０．] ３．解析:∵两点A(－３,－２),B(－１,４)到直线l:x＋ay＋１＝０ 的距离相等,∴|－３－２a＋１| a２＋１ ＝|－１＋４a＋１| a２＋１ ,化为|２a＋２|＝ |４a|．∴２a＋２＝±４a,解得a＝１或－１３． 答案:１或－１３ ４．解:当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x＝－２,符合 原点到直线l的距离等于２． 当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y－３＝k(x ＋２), 即kx－y＋２k＋３＝０,由d＝|０－０＋２k＋３| １＋k２ ＝２, 得k＝－５１２ ,即直线l的方程为５x＋１２y－２６＝０． 综上可 知,所 求 直 线l的 方 程 为x＝－２或 ５x＋１２y－２６ ＝０． §２　圆与圆的方程 ２．１　圆的标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一１．等于定长　圆心　定长　２．(x－a)２＋(y－b)２＝r２ [思考] [提示]　当a＝b＝０时,方程为x２＋y２＝r２,表示以原点O 为圆心、半径为r的圆． 知识点二　＞　＞　＝　＝　＜　＜ 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[以原点为圆心,２为 半 径 的 圆,其 标 准 方 程 为x２＋y２ ＝４．] ３．B　[将点P 的坐标代入圆的方程,有(－２)２＋(－２)２＝８＞ ４,故点P 在圆外．] ４．解析:线段AB 的中垂线方程为y＝x,则圆心坐标(x,y)应 满 足 y＝x,x＋y－２＝０,{ ∴ x ＝ y ＝ １, 半 径 r ＝ (１－１)２＋(－１－１)２＝２, ∴所求圆的方程为(x－１)２＋(y－１)２＝４． 答案:(x－１)２＋(y－１)２＝４ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵圆心(３,４),设半径为r,又圆过坐标原 点,∴r＝ (３－０)２＋(４－０)２＝５,∴圆的标准方程为(x－ ３)２＋(y－４)２＝２５． (２)方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)２＋(y－b)２＝ r２,依题意得 (３－a)２＋(１－b)２＝r２, (－１－a)２＋(３－b)２＝r２, ３a－b－２＝０,{ 即 a２＋b２－６a－２b＝r２－１０, a２＋b２＋２a－６b＝r２－１０, ３a－b－２＝０,{ 解得 a＝２, b＝４, r＝ １０．{ ∴所求圆的标准方程是(x－２)２＋(y－４)２＝１０． 方法二　直线AB 的斜率k＝ ３－１－１－３＝－ １ ２ , 可知AB 垂直平分线m 的斜率为２． AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝３－１２ ＝１ ,y＝１＋３２ ＝２． 因此m 的方程为y－２＝２(x－１),即２x－y＝０． 又圆心在直线３x－y－２＝０上,所以圆心为这两条直线的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册