第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线方程的两点式与截距式，承接点斜式，通过两点确定直线推导两点式并明确适用范围，再由坐标轴交点引出截距式，构建从具体到抽象的知识支架。 以斜拉桥情境引入，用数学眼光观察现实问题，通过分类讨论（如截距是否为零）培养数学思维，结合面积问题强化数学语言表达。课中例题与延伸探究助力教师教学，课后对点练帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线方程的两点式 学习目标　1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程的截距式的形式、特点及适用范围.3.能用直线方程的两点式与截距式解决有关问题. 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？ 一、直线方程的两点式 问题1　我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　. 知识梳理　 经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程(其中x1≠x2，y1≠y2)，我们把它称为直线方程的两点式. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示. (2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 例1　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 跟踪训练1　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在， 即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 二、直线方程的截距式 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　＝1. 知识梳理　 通常，称方程＝1(其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距). 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距且截距都不为0，则可以直接代入截距式求直线的方程(与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示). (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (3)过原点的直线的横、纵截距都为零. 例2　求经过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程. 解　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，可得直线l的方程为＝1. ∵点(4，－3)在直线l上，∴＝1. 又a＝b，则a＝b＝1，∴直线l的方程为x＋y－1＝0； ②当a＝b＝0时，直线l过原点， 且过点(4，－3)， ∴直线l的方程为3x＋4y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 延伸探究1　若将本例中“截距相等”改为“截距互为相反数”，其他条件不变，求直线l的方程. 解　当截距均为零时，设直线l的方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－， ∴直线l的方程为y＝－x， 即3x＋4y＝0. 当截距均不为零且相反时，可设直线l的方程为＝1(a≠0)，把点(4，－3)代入得＝1，解得a＝7，∴直线l的方程为＝1，即x－y－7＝0， 故直线l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 延伸探究2　若将本例中“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，其他条件不变，求直线l的方程. 解　“直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等”包括： ①两截距均为零，即3x＋4y＝0； ②两截距均不为零且相等，即x＋y－1＝0； ③两截距均不为零且相反，即x－y－7＝0. 故直线l的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 反思感悟　截距式应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式时，首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式的逆向应用. 三、直线方程的截距式的应用 例3　直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程. 解　设直线l的方程为＝1. 因为点A(－2，3)在直线l上， 所以＝1. ① 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4， 所以|a|·|b|＝4. ② 由①②可知或 解得或 故直线l的方程为＝1或＝1， 即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0. 反思感悟　涉及直线与坐标轴围成的面积问题，往往用直线在坐标轴上的截距解答.注意面积公式中截距加绝对值. 跟踪训练2　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 解　(1)设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为＝1，即2x＋3y－12＝0. (2)由题意，设直线的截距式方程为＝1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴＝1， ∴1＝≥2，∴ab≥24， 当且仅当，即a＝6，b＝4时，等号成立， ∴△AOB的面积S＝ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为＝1， 即直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 1.知识清单： (1)直线方程的两点式. (2)直线方程的截距式. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 1.在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 2.过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是. 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　　　　. 答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为＝1， 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4.已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　. 答案　2x－y＋1＝0 解析　AB的中点坐标为(1，3)， 由直线方程的两点式可得， 即2x－y＋1＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　) A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 答案　A 解析　代入两点式得直线方程为， 整理得y＝x＋3. 2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 答案　A 解析　显然a≠0， 把直线l：ax＋y－2＝0化为＝1. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴＝2，解得a＝1. 3.若直线＝1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0) B.经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1 D.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 答案　ABD 解析　经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)，故A正确；经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b，故B正确；不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＝1，比如x＝a或y＝b，故C错误；经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故D正确. 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)， 再由两点式可得直线MN的方程为， 即2x＋y－8＝0. 6.(多选)已知直线l过点(2，3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为(　　) A.3x－2y＝0 B.3x＋2y＝0 C.x＋2y－8＝0 D.x－2y＋8＝0 答案　AC 解析　当l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点时，满足题意，此时l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为＝1，把(2，3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0. 7.(5分)过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　　　　. 答案　3x＋y－6＝0 解析　由题意知直线过点(2，0)， 又直线过点(1，3)，由两点式可得， 整理得3x＋y－6＝0. 8.(5分)纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线方程的截距式为　　　　　　　　　　　. 答案　＝1或＝1 解析　由题意可设直线方程的截距式为＝1(a≠0)， 则×4|a|＝10，即a＝±5， 所以直线方程的截距式为＝1或＝1. 9.(10分)求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 解　设直线方程的截距式为＝1， 则＝1， 解得a＝2或a＝1， 则直线方程的截距式是 ＝1或＝1， 即＝1或＋y＝1. 故所求直线方程为2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 10.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0). (1)求边AC和AB所在直线的方程；(5分) (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.(5分) 解　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为 ＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为 ， 即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)， 由两点式，得中线BD所在直线的方程为 ， 即2x－y＋10＝0. 11.两条直线l1：＝1和l2：＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　) 答案　A 解析　将两方程化为截距式l1：＝1，l2：＝1，假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. 12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 答案　D 解析　由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为， 即x－2y＋4＝0. 13.(多选)已知直线l：y＝－x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是(　　) A.－1<k2<0 B.k1<k2<－1 C.b1>b2 D.>0 答案　AC 解析　由题图可知，k1<－1<k2<0，b2<0<b1. 14.经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为(　　) A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0 C.x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0 答案　B 解析　设直线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝1，所以a＋b＝(a＋b) ＝5＋≥5＋4＝9， 当且仅当，即a＝3，b＝6时等号成立. 所以直线的方程为2x＋y－6＝0. 15.(5分)已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　. 答案　3 解析　直线AB的方程为＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 16.(12分)过点P(1，1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a，0)，与y轴正半轴相交于点B(0，b)，当2|OA|＋|OB|(O为坐标原点)取最小值时，求直线方程的截距式. 解　由题意得直线的方程为＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1，1)，所以＝1， 2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当a＝1＋，b＝＋1时等号成立， 此时2|OA|＋|OB|有最小值3＋2. 即所求直线方程的截距式为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $