第一章 1.4 第2课时 两条直线垂直（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦两条直线垂直的判定条件这一核心知识点，承接直线平行的位置关系，构建完整的直线位置关系学习支架，涵盖斜率存在时k1k2=-1及斜率不存在与0的特殊情况，通过问题导入和知识梳理夯实基础。 该资料以数学眼光发现垂直与斜率的联系，通过分类讨论（如例1分斜率存在与否判断垂直）培养数学思维的严谨性，结合方向向量、法向量等数学语言及综合问题（如例3求最值）提升应用意识，课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生巩固查漏。

第2课时　两条直线垂直 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会用条件判定两条直线是否垂直.3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题． 导语 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？ 一、两条直线垂直的判定 问题　平面中，两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示　k1·k2＝－1. 知识梳理 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 例1　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024. 解　(1)∵k1＝－3，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (2)方法一　∵k1＝－，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4)． 因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． (2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直． 跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5) B．l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2) D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； B中，l2过点P(1,1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直； C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)，kPQ＝，故两条直线垂直． 二、求与已知直线垂直的直线 例2　已知三角形的三个顶点A(－2,0)，B(4，－4)，C(0,2)． (1)求线段BC的垂直平分线的方程； (2)求AB边上的高所在直线的方程． 解　(1) ∵BC的中点为(2，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝－，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝，其方程为y＋1＝(x－2)，即2x－3y－7＝0. (2)∵边AB所在直线的斜率 kAB＝＝－， ∴AB边上的高所在直线的斜率k′＝， ∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝x， 即3x－2y＋4＝0. 反思感悟　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 跟踪训练2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2,1)， ∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， 即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 三、两直线垂直的综合问题 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 答案　－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或－1. 反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3　(1)过点A，B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 答案　B 解析　由题意知l1⊥l2， ＝×＝－1，得k＝3. (2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．4 答案　C 解析　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1， ∴直线l1：2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. 1．知识清单：两直线垂直的条件． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵l1⊥l2，∴－×＝－1， ∴a＝－. 2．过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案　C 解析　过点(1,0)且与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，则根据点斜式可得直线的方程为y－0＝－2×(x－1)，整理得2x＋y－2＝0. 3．已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝________. 答案　－ 解析　因为l1⊥l2，所以m×1＋3(m＋2)＝0， 解得m＝－. 4．已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为________． 答案　 解析　BC边上的高所在的直线与BC边所在的直线垂直，又kBC＝＝－2，所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－＝. 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2,2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 答案　C 解析　因为k1＝tan 60°＝，k2＝＝－，所以k1k2＝－1，即直线l1，l2的位置关系是垂直． 2．(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　) A. B．a C．－ D．不存在 答案　CD 解析　当a≠0时，由l1⊥l2，得＝－， 当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在． 3．过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是(　　) A．2x＋y－10＝0 B．x＋2y－11＝0 C．x－2y＋5＝0 D．x－2y－5＝0 答案　A 解析　设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，所求直线方程为2x＋y－10＝0. 4．已知平面内有A(7,0)，B(3,2)，C(4,4)三点，则(　　) A．△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90° B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90° C．△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90° D．△ABC不是直角三角形 答案　B 解析　∵kAB＝＝－，kBC＝＝2， ∴kAB·kBC＝－1，∴∠ABC＝90°，故选B. 5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是(　　) A．24 B．20 C．0 D．－4 答案　B 解析　∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1， ∴－·＝－1，解得m＝10. 又∵垂足为(1，p)， ∴代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2， 将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0， 得n＝－12，∴m－n＋p＝20. 6．A，B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A．x－y＝0 B．x＋y－4＝0 C．x＋y＝0 D．x－y＋4＝0 答案　A 解析　由题意得直线AB的两点式为＝，即x＋y－4＝0，设直线AB的垂线为x－y＋D＝0，线段AB的中点坐标为(2,2)，将中点坐标代入方程可得2－2＋D＝0， 则D＝0，∴x－y＝0， ∴线段AB的垂直平分线的方程为x－y＝0. 7．(5分)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________. 答案　－2　2 解析　直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，所以k1·k2＝，若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2. 8．(5分)若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于________． 答案　 解析　由题意得l1⊥l2， ∴2a－3＝0，解得a＝. 9．(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(5分) (2)当l1⊥l2时，求实数a的值．(5分) 解　(1)由两直线平行的充要条件， 得 即解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． (2)由两直线垂直的充要条件，得a＋2(a－1)＝0， 即a＝.故当l1⊥l2时，实数a的值为. 10.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)． (1)求直线CD的方程；(6分) (2)求AB边上的高CE所在的直线方程．(6分) 解　(1)因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD， 设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)， 将点C(2,0)代入上式得m＝－4， 所以直线CD的方程为2x－y－4＝0. (2)方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0， 将点C(2,0)代入上式得n＝－2. 所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0. 方法二　设直线CE的方程为y＝k(x－2)， 即kx－y－2k＝0， 其法向量为n1＝(k，－1)． 又直线AB的方程为2x－y－2＝0， 其法向量为n2＝(2，－1)． 因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0， 即2k＋1＝0，故k＝－. 所以直线CE的方程为－x－y＋1＝0， 即x＋2y－2＝0. 11．已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　因为l1⊥l2，所以sin α－2cos α＝0， 所以tan α＝2， 所以tan 2α＝＝＝－. 12．在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　当cos A＝0，cos B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cos A与cos B不可能同时为0，故排除这种情况； 因为直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，所以acos B－bcos A＝0， 即sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0，A＝B， 故△ABC一定是等腰三角形． 13．(5分)已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________． 答案　(1,0)或(2,0) 解析　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1，解得x＝1或x＝2， 所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)． 14．(5分)与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程为____________． 答案　3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0 解析　由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，与x轴交于点B，与y轴交于点A， 令x＝0，可得y＝－，即A， 令y＝0，可得x＝－，即B， 又∵△AOB的周长为10， 即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10， ∴＋＋＝10， 解得b＝±10. 故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. 15．(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 答案　4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知， 直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 16．(12分)已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(6分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．(6分) 解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.① 由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)． (2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0)． 又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $