第1章 1.4 第1课时 两条直线平行（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行”核心知识点，从倾斜角相等是两直线平行的充要条件切入，系统梳理斜率存在时k1=k2（b1≠b2）、斜率不存在时均垂直x轴（截距不同）的判定方法，构建从概念到判定、求方程、解参数问题的完整学习支架。 该资料以“平行线的故事”导语激发兴趣，体现数学眼光中的几何直观与创新意识。通过问题链引导探究斜率存在性，培养数学思维中的推理能力，例题涵盖多种直线形式强化分类讨论。课中例题解析助教师突破重难点，课后分层对点练助力学生查漏补缺，提升应用意识。

1.4　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线平行 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两条直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题. 导语 你我有笔直的路，却没有终点；你我有相同的方向，却没有交点；你我可以长久相望，距离却不会缩短.追寻的路漫漫，你我却不知疲倦，愿我不再执着，你变得婉转，共同期待你我相逢的一天.纵使地老天荒，海枯石烂.这便是平行线凄美的故事，今天我们一起来到直线这个大家庭，更加深入地探讨平行线吧！ 一、两条直线平行的判定 问题　对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1＝α2)是l1∥l2的充要条件吗？若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗？ 提示　是充要条件；不一定，两直线的斜率可能均不存在. 知识梳理 1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2. 2.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合. 例1　(课本例16)　判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝3x+2，l2：y＝3x+1； (2)l1：x+2y－1＝0，l2：x+2y＝0； (3)l1：x+2＝0，l2：2x＝1. 解　(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则由l1，l2的方程可知k1＝k2＝3，且b1≠b2，所以l1∥l2. (2)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 因为l1，l2的方程分别可化为l1：y＝－x+，l2：y＝－x， 所以k1＝k2＝－，且b1≠b2，所以l1∥l2. (3)由l1，l2的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两条直线l1，l2在x轴上的截距不相同，所以l1∥l2. 例1　判断下列各对直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0； (2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0； (3)l1：x＝3，l2：x＝10； (4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0. 解　设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. (1)k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)k1＝2，k2＝，k1≠k2. 所以l1与l2不平行. (3)由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. (4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1， 所以l1与l2重合. 反思感悟　判定两直线平行的常用方法 (1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下). (2)用一般方程的系数 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0).l1∥l2⇔ 或 (3)还可用直线的倾斜角、方向向量等. 跟踪训练1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系. (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)， N(－2，－3). 解　(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－， ∴l1与l2平行或重合. 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线， ∵kBC＝＝－≠－， ∴A，B，C，D四点不共线， ∴l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝， ∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合. 二、求与已知直线平行的直线 例2　(课本例17)　求经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x+y－1＝0的直线的方程. 解　依据条件，可知所求直线存在斜率，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2). 依题意可知直线l：2x+y－1＝0可化为y＝－2x+1. 因为所求直线平行于直线l，所以k＝－2. 所以所求直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x+y－7＝0. 例2　已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1，3)，且与l平行的直线l'的方程. 解　方法一　l的方程可化为y＝x－4， ∴l的斜率为， ∵l'∥l，∴l'的斜率为， 又l'过点(－1，3)， ∴由点斜式得直线l'的方程为 y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二　∵l'∥l， 可设l'的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1，3)代入得m＝13， ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 反思感悟　一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中的系数A，B确定直线的斜率，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C). 跟踪训练2　与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为　　　　　　　　. 答案　3x＋4y－4＝0 解析　方法一　由题意，设所求直线的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠1).令x＝0，得y＝－； 令y＝0，得x＝－，所以－，解得m＝－4，所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 方法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0.故可设所求直线的方程为＝1(a≠0，b≠0)，则有 解得故所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 三、根据两直线平行求参数 例3　(1)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.6 D.0或6 答案　C 解析　由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1， 解得a＝6. (2)已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　. 答案　0或1 解析　当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝，kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知(图略)，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 反思感悟　已知两直线平行求方程中的参数值的方法 (1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解. (2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况. 跟踪训练3　(1)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是(　　) A.－1 B.1 C.2 D.5 答案　CD 解析　直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. (2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝　　　　. 答案　－1 解析　由题意得解得a＝－1. 1.知识清单：两直线平行的条件. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况. 1.过点(1，2)和点(－3，2)的直线与x轴的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直 答案　B 解析　过点(1，2)和(－3，2)的直线的斜率k＝＝0，∴直线的方程为y＝2，故直线与x轴平行. 2.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　) A.2 B.0 C.－2 D.－8 答案　D 解析　由题意知＝－2，解得m＝－8. 3.过点(0，5)与直线y＝2x平行的直线方程为　　　　　　　　　. 答案　2x－y＋5＝0 4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是　　　. 答案　平行或重合 解析　直线l1的倾斜角为135°， 故斜率＝tan 135°＝－1. 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 得＝－1，所以， 所以直线l1与l2平行或重合. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.过点A(2，5)和点B(2，－4)的直线与直线x＝3的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 答案　B 解析　两直线的倾斜角都为90°且两直线不重合，所以平行. 2.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 答案　BCD 解析　直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，所以C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，所以D正确. 3.直线3x＋y－a＝0与3x＋y－1＝0的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合 答案　D 解析　当a＝1时，两直线重合， 当a≠1时，两直线平行. 4.过点(5，0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A.2x＋y＋5＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－5＝0 D.x＋2y＋5＝0 答案　C 解析　由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2)，因为(5，0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，解得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0. 5.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1 答案　D 解析　由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0， 解得a＝2或a＝－1. 经过验证，可得当a＝2时，两条直线重合，舍去. ∴a＝－1. 6.已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A.－1或1 B.0或1 C.1 D.2 答案　B 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD； 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即， 解得m＝1，∴m＝0或1. 7.(5分)已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2).若l1与l2没有公共点，则实数a的值为　　　. 答案　－6 解析　直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)， ∴＝3， ∵直线l1经过点A(0，－1)和点B， ∴＝－， ∵l1与l2没有公共点，则l1∥l2， ∴－＝3，解得a＝－6. 8.(5分)经过点(cos θ，sin θ)且平行于直线xcos θ＋ysin θ＋2＝0(θ∈R)的直线方程是　　　　　　　　　　　. 答案　xcos θ＋ysin θ－1＝0 解析　设所求直线方程为xcos θ＋ysin θ＋m＝0(m≠2)，又经过点(cos θ，sin θ)，则cos2θ＋sin2θ＋m＝0，m＝－1，故所求直线方程为xcos θ＋ysin θ－1＝0. 9.(10分)已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a，3a)且与直线l平行的直线方程. 解　因为2x－y＋4＝0，令y＝0，得x＝－2， 所以a＝－2，所以点(a，3a)为(－2，－6). 设所求直线方程为2x－y＋C＝0(C≠4)， 代入(－2，－6)得－4＋6＋C＝0，则C＝－2， 所以所求直线的方程为2x－y－2＝0. 10.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)，直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程. 解　由题意，边AB所在直线的斜率为 kAB＝， 由题意知kl＝kAB＝， 且E，F分别为边AC，BC的中点， 故E点的坐标为， 所以直线l的方程为y＝x＋， 即x－2y＋5＝0. 11.(多选)满足下列条件的直线l1与l2，其中l1与l2一定平行的是(　　) A.l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8) B.l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴且不经过点P C.l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D.l1的一个方向向量为(1，1)，l2的倾斜角为 答案　BC 解析　对于A，由题意得kAB＝＝2，所以l1与l2平行或重合，故A错误； 对于B，由题意得kPQ＝＝0，因为l2平行于x轴，且不经过点P，所以l1∥l2，故B正确； 对于C，由题意得kMN＝，kRS＝，kMR＝＝－1， 所以l1∥l2，故C正确； 对于D，直线l1的斜率为1，直线l2的斜率为tan ，所以l1与l2不平行，故D错误. 12.(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A.(－3，1) B.(4，1) C.(－2，1) D.(2，－1) 答案　BCD 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标. 13.若三条直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x＋ay＋a－2＝0有2个公共点，则实数a的值为(　　) A.－2 B.－1或1 C.1或2 D.－1或2 答案　D 解析　由题意得，三条直线中有两条直线相互平行， l1：2x－y＋1＝0的斜率为2，l2：x＋y－1＝0的斜率为－1，所以l1，l2不平行， 若l1，l3平行，则≠，解得a＝－1； 若l2，l3平行，则≠，解得a＝2， 综上，实数a的值为－1或2. 14.(5分)已知直线l平行于直线2x＋y＋3＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则直线l的方程为　　　　. 答案　2x＋y±6＝0 解析　因为直线l与直线2x＋y＋3＝0平行，所以设直线l的方程为2x＋y＋b＝0(b≠3)， 则其与x轴交于点，与y轴交于点.依题意可得，××|b|＝9， 解得b＝±6，所以直线l的方程为2x＋y±6＝0. 15.(多选)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数，且a，b不全为0.则下列结论正确的是(　　) A.存在实数δ，使点N在直线l上 B.若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合 C.若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点 D.若δ>1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交 答案　CD 解析　若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0， ∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误； 若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c， 当b≠0时，即＝－， ∴kMN＝kl； 当b＝0，a≠0时，x1＝x2， 又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合， 则过M，N两点的直线与直线l平行， 故B错误； 若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0， 即a＋b＋c＝0， ∴直线l经过线段MN的中点，故C正确； 若δ>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0， 或ax1＋by1＋c<ax2＋by2＋c<0， 即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确. 16.(11分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解　由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)， 故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}， 故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2，3)外的点构成的集合. ①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝∅，此时a＝2； ②当直线ax－y－2＝0过点(2，3)时，满足A∩B＝∅，则2a－5＝0，解得a＝. 综上所述，a＝2或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $