第一章 1.3 第二课时 直线方程的两点式和一般式-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　直线方程的两点式和一般式 [素养目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式和一般式．2．体会直线方程特殊式与一般式的转化．　3.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　直线的两点式方程 [基础梳理] 直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2， y1≠y2 ＝ 斜率存在 且不为0 [互动探究] [例1]　(1)过点A(x1，y1)和B(x2，y2)两点的直线方程是(　　) A．＝ B．＝ C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0 【解析】　选C．当x1≠x2时，过点A、B的直线斜率为k＝，方程为y－y1＝(x－x1)，整理，得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0； 当x1＝x2时，过点A、B的直线方程是x＝x1，或x＝x2，即x－x1＝0，或x－x2＝0，满足(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0； ∴过A、B两点的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0.故选C． (2)已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程，并化为一般式． 【解】　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为＝， 即x－y－3＝0. 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. ∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0. 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程，在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [跟踪训练] 1．(1)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． 解析：由两点式得AB的方程为 ＝，即x＋y－1＝0， 又∵P在直线AB上，∴3＋m－1＝0，∴m＝－2. 答案：－2 (2)求经过下列两点的直线方程． ①A(3，2)，B(4，3)； ②A(2，1)，B(3，1)； ③A(2，1)，B(2，－1)． 解：①由两点式可得直线方程为＝，即y＝x－1. 故所求的直线方程为x－y－1＝0. ②由于A、B两点的纵坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为y＝1. ③由于A、B两点的横坐标相等，故不能用两点式，所求的直线方程为x＝2. 探究点二　直线的截距式方程 [基础梳理] 直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x，y轴上 的截距分别 为a，b且ab≠0 ＋＝1 a≠0，b≠0 [互动探究] [例2]　直线l过点P(－6，3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍，求直线l的方程． 【解】　(1)当直线在y轴上的截距为零时，直线过原点，可设直线l的方程为y＝kx， ∵直线l过点P(－6，3)． ∴3＝－6k，k＝－. ∴直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. (2)当直线在y轴上的截距不为零时，由题意可设直线l的方程为＋＝1， 又直线l过点P(－6，3)， ∴＋＝1，解得b＝1. ∴直线l的方程为＋y＝1.即x＋3y－3＝0. 综上所述，所求直线l的方程为x＋2y＝0或x＋3y－3＝0. 1．如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． 2．选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． [跟踪训练] 2．求过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 解：若直线过原点，则设为y＝kx，∴3＝4k，k＝， ∴y＝x. 若直线不过原点，设为－＝1， ∴－＝1，∴a＝1. ∴x－y＝1. 综上，所求直线的方程为y＝x或x－y＝1. 探究点三　直线的一般式方程 [基础梳理] 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线方程的一般式． [互动探究] [例3]　根据下列条件写出直线方程，并化为一般形式． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 【解】　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得 x－y＋3－5 ＝0. (2)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1，整理