第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程的两点式与截距式，通过斜拉桥桥面与斜拉索的现实情境导入，衔接已学的点斜式知识，以问题链引导学生从两点确定直线的几何事实抽象出两点式方程，再通过特殊两点（坐标轴交点）过渡到截距式，构建连贯的知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，用斜拉桥实例激发探究兴趣，通过分类讨论（如截距是否为零）培养数学思维的逻辑性，结合例题、延伸探究及反思感悟，帮助学生精准把握公式适用范围与易错点。教师可借助丰富的随堂演练和课时对点练提升教学效率，学生能在问题解决中发展数学表达与应用能力。

第2课时 直线方程的两点式 第一章　1.3　直线的方程 <<< 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围. 2.了解直线方程的截距式的形式、特点及适用范围. 3.能用直线方程的两点式与截距式解决有关问题. 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？ 导 语 一、直线方程的两点式 二、直线方程的截距式 课时对点练 三、直线方程的截距式的应用 随堂演练 内容索引 直线方程的两点式 一 提示　. 我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 问题1 经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程 (其中x1≠x2，y1≠y2)，我们把它称为直线方程的两点式. 知识梳理 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示. (2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 注 意 点 <<< 8 　已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中： (1)求BC边所在直线的方程； 例 1 BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. 解 9 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 设BC的中点为M(a，b)， 则a＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 解 10 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 反 思 感 悟 11 　已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 跟踪训练 1 由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在， 即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 解 12 二 直线方程的截距式 提示　＝1. 若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 问题2 通常，称方程 (其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距). ＝1 知识梳理 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距且截距都不为0，则可以直接代入截距式求直线的方程(与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示). (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. (3)过原点的直线的横、纵截距都为零. 注 意 点 <<< 16 　求经过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程. 例 2 设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，可得直线l的方程为＝1. ∵点(4，－3)在直线l上，∴＝1. 又a＝b，则a＝b＝1，∴直线l的方程为x＋y－1＝0； ②当a＝b＝0时，直线l过原点， 且过点(4，－3)， ∴直线l的方程为3x＋4y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 解 17 若将本例中“截距相等”改为“截距互为相反数”，其他条件不变，求直线l的方程. 延伸探究 1 当截距均为零时，设直线l的方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k， 解得k＝－， ∴直线l的方程为y＝－x， 即3x＋4y＝0. 当截距均不为零且相反时，可设直线l的方程为＝1(a≠0)，把点(4，－3)代入得＝1，解得a＝7，∴直线l的方程为＝1，即 x－y－7＝0， 故直线l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 解 18 若将本例中“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，其他条件不变，求直线l的方程. 延伸探究 2 “直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等”包括： ①两截距均为零，即3x＋4y＝0； ②两截距均不为零且相等，即x＋y－1＝0； ③两截距均不为零且相反，即x－y－7＝0. 故直线l的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 解 19 截距式应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式时，首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式的逆向应用. 反 思 感 悟 20 直线方程的截距式的应用 三 直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程. 例 3 设直线l的方程为＝1. 因为点A(－2，3)在直线l上， 所以＝1. ① 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4， 所以|a|·|b|＝4. ② 由①②可知 解 解得 故直线l的方程为＝1或＝1， 即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0. 解 涉及直线与坐标轴围成的面积问题，往往用直线在坐标轴上的截距解答.注意面积公式中截距加绝对值. 反 思 感 悟 25 　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； 跟踪训练 2 设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为＝1，即2x＋3y－12＝0. 解 26 (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 由题意，设直线的截距式方程为＝1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴＝1， ∴1＝≥2，∴ab≥24， 当且仅当，即a＝6，b＝4时，等号成立， ∴△AOB的面积S＝ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为＝1， 即直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 解 27 1.知识清单： (1)直线方程的两点式. (2)直线方程的截距式. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 1 2 3 4 2.过(1，2)，(5，3)的直线方程是 A. B. C. D. √ ∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是. 解析 1 2 3 4 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________ 　　　　　. 2x－y＝0或x－ y＋1＝0 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为＝1， 将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 解析 1 2 3 4 4.已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　 　. 2x－y＋1＝0 AB的中点坐标为(1，3)， 由直线方程的两点式可得， 即2x－y＋1＝0. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C ABD A AC 3x+y－6＝0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 +＝1或+＝1 A D AC B 3 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线方程的截距式为+＝1， 则+＝1， 解得a＝2或a＝1， 则直线方程的截距式是 +＝1或+＝1， 即+＝1或+y＝1. 故所求直线方程为2x+3y－6＝0或x+2y－2＝0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为+＝1， 即x－2y+8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为， 即x+y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)， 由两点式，得中线BD所在直线的方程为， 即2x－y+10＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得直线的方程为+＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1，1)， 所以+＝1， 2|OA|+|OB|＝2a+b＝(2a+b＝3++≥3+2＝3+2， 当且仅当a＝1+，b＝+1时等号成立， 此时2|OA|+|OB|有最小值3+2. 即所求直线方程的截距式为+＝1. 基础巩固 1.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 √ 代入两点式得直线方程为， 整理得y＝x＋3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是 A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然a≠0， 把直线l：ax＋y－2＝0化为＝1. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴＝2，解得a＝1. 解析 3.若直线＝1过第一、二、三象限，则 A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 √ 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列说法正确的是 A.经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0 　＝k(x－x0) B.经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b C.不经过原点的直线的方程都可以表示为＝1 D.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为 　(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)，故A正确； 经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b，故B正确； 不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为＝1，比如x＝a或y ＝b，故C错误； 经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故D正确. 解析 5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为 A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0 C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)， 再由两点式可得直线MN的方程为， 即2x＋y－8＝0. 解析 6.(多选)已知直线l过点(2，3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为 A.3x－2y＝0 B.3x＋2y＝0 C.x＋2y－8＝0 D.x－2y＋8＝0 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点时，满足题意，此时l的方程为y ＝x，即3x－2y＝0. 当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为 ＝1，把(2，3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0. 综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0. 解析 7.过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3x＋y－6＝0 由题意知直线过点(2，0)， 又直线过点(1，3)，由两点式可得， 整理得3x＋y－6＝0. 解析 8.纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线方程的截距式 为　　　　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝1或＝1 由题意可设直线方程的截距式为＝1(a≠0)， 则×4|a|＝10，即a＝±5， 所以直线方程的截距式为＝1或＝1. 解析 9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 设直线方程的截距式为＝1， 则＝1， 解得a＝2或a＝1， 则直线方程的截距式是 ＝1或＝1， 即＝1或＋y＝1. 故所求直线方程为2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0). (1)求边AC和AB所在直线的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由截距式，得边AC所在直线的方程为 ＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为 ， 即x＋y－4＝0. 解 (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得点D的坐标为(－4，2)， 由两点式，得中线BD所在直线的方程为 ， 即2x－y＋10＝0. 解 11.两条直线l1：＝1和l2：＝1在同一直角坐标系中的图象可以是 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 将两方程化为截距式l1：＝1，l2：＝1，假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. 解析 12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为 A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的 面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为， 即x－2y＋4＝0. 解析 13.(多选)已知直线l：y＝－x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是 A.－1<k2<0 B.k1<k2<－1 C.b1>b2 D.>0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题图可知，k1<－1<k2<0，b2<0<b1. 解析 14.经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 A.x＋2y－6＝0 B.2x＋y－6＝0 C.x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0 √ 设直线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝1，所以a＋b＝(a＋b) ＝5＋≥5＋4＝9， 当且仅当，即a＝3，b＝6时等号成立. 所以直线的方程为2x＋y－6＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 直线AB的方程为＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 解析 16.过点P(1，1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a，0)，与y轴正半轴相交于点B(0，b)，当2|OA|＋|OB|(O为坐标原点)取最小值时，求直线方程的截距式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得直线的方程为＝1(a>0，b>0)， 因为直线过点P(1，1)，所以＝1， 2|OA|＋|OB|＝2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋ 2， 当且仅当a＝1＋，b＝＋1时等号成立， 此时2|OA|＋|OB|有最小值3＋2. 即所求直线方程的截距式为＝1. 解 第一章　1.3　直线的方程 <<< $