第1章 1.1-1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系，先梳理倾斜角与斜率的取值范围及k=tanα的关系，再引入方向向量概念，通过例题与训练构建从基础到综合应用的学习支架。 资料以问题驱动学习，如通过正切函数性质分析斜率范围培养数学思维，用方向向量坐标表示斜率体现数学语言精确性。课中例题解析助教师授课，课后跟踪训练与反思感悟帮学生巩固，查漏补缺。

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 学习目标　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.2.了解直线的方向向量.3.会应用倾斜角与斜率的关系解决一些简单的综合问题. 导语 同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间还能从哪个角度来刻画直线的倾斜程度呢？让我们带着这些问题进入今天的学习吧. 一、倾斜角、斜率的范围 问题1　直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？ 提示　k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π). 问题2　如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示　过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α. 知识梳理 1.直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan α. 2.斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 注意点：直线l的倾斜角α的范围是[0，π)，斜率k的范围是R，但当α＝时，斜率k不存在，故α与k不是一一对应的关系. 例1　(课本例3)　已知直线l的倾斜角为α，斜率为k. (1)若0≤α≤，求斜率k的取值范围； (2)若≤α≤，求斜率k的取值范围； (3)若－≤k≤－，求倾斜角α的取值范围； (4)若－1≤k≤，求倾斜角α的取值范围. 解　(1)由0≤α≤及正切函数的性质，可得tan 0≤tan α≤tan，即0≤tan α≤，所以斜率k的取值范围是. (2)由正切函数的性质，可得当≤α<时，k＝tan α≥1； 当<α≤时，k＝tan α≤－1； 当α＝时，斜率k不存在. 综上，斜率k的取值范围是. 特别地，当α＝时，斜率k不存在. (3)由－≤k≤－，可得－≤tan α≤－. 又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是. (4)由－1≤k≤，可得－1≤tan α≤. 又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是. 例1　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 解　如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. 延伸探究1　本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围. 解　由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 延伸探究2　本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 解　由本例知直线l与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则直线l与线段AB无公共点时，斜率k的取值范围为－1<k<1. 反思感悟　倾斜角与斜率范围互求问题的方法与注意点 (1)方法：利用正切函数的图象与性质数形结合来求解. (2)注意点：当倾斜角α是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴.当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°<α<180°时，斜率越大，直线的倾斜程度越小. 跟踪训练1　已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 解　(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝，kAC＝. ∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°. (2)如图所示，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB， ∴k的取值范围为. 二、直线的斜率与方向向量的关系 问题3　什么是直线的方向向量？ 提示　直线上的向量及与之平行的非零向量. 知识梳理 1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量之间的关系是 k＝＝tan α(其中x1≠x2). 2.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 注意点： (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0，1)； (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). 例2　(课本例5)　已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标. 解　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v＝(x2－x1，y2－y1). 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得2＝. 即y2－y1＝2(x2－x1). 所以v＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，2). 因此，(1，2)是直线l的一个方向向量的坐标. 例2　(1)已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量. 解　设直线l的模长为1的方向向量为b＝(x，y)， 则＝－. ① ∵|b|＝1， ∴x2＋y2＝1. ② 由①②得或 ∴b＝或b＝. (2)根据下列条件，求直线l的倾斜角： ①斜率为； ②经过A(－4，0)，B(－5，1)两点； ③一个方向向量为＝(2，－2). 解　设直线l的倾斜角为α. ①因为直线l的斜率为， 所以tan α＝. 又因为0≤α<π，所以α＝. ②由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k＝＝－1， 又因为0≤α<π，所以α＝. ③由直线l的一个方向向量为＝(2，－2)， 可得斜率k＝＝－， 又因为0≤α<π，所以α＝. 反思感悟　若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，则当u＝0时，直线l的斜率不存在；当u≠0时，k＝. 跟踪训练2　已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　) A.(6，10) B.(4，8) C.(2，4) D. 答案　A 解析　因为直线l的一个方向向量为(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立. 三、斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 例3　已知直线l1的方向向量为n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍. (1)求直线l2的斜率； (2)若直线l2经过点A(－1，2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点，求的取值范围. 解　(1)设直线l1的倾斜角为α， 则直线l2的倾斜角为2α. ∵直线l1的方向向量为n＝(2，1)， ∴直线l1的斜率为tan α＝， ∴直线l2的斜率为tan 2α＝. (2)由(1)知l2的斜率为， ∴，得m＝6. 表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率， kQA＝＝－3， kQB＝， ∴kPQ≤－3或kPQ≥. 故的取值范围是(－∞，－3]∪. 反思感悟　(1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为k＝＝tan α(其中x1≠x2). (2)求代数式最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P'(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 跟踪训练3　若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(－2，1) 解析　∵过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角， ∴直线的斜率小于0，∴<0， ∴(a－1)(a＋2)<0，解得－2<a<1， 故实数a的取值范围是(－2，1). 1.知识清单： (1)直线的倾斜角与斜率的关系. (2)直线的方向向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误. 1.若直线过点(1，3)，(－2，3－)，则此直线的倾斜角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　∵直线过点(1，3)，(－2，3－)， ∴直线的斜率为k＝， 设倾斜角为α， 则tan α＝，解得α＝30°. 2.过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为(　　) A.2 B.－2 C.－5 D.5 答案　B 解析　由题意得＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝(1，－1)，∴－3－y＝－1，∴y＝－2. 3.(多选)已知点A(2，)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为60°，则点P的坐标为(　　) A.(0，1) B.(－1，0) C.(1，0) D.(0，－) 答案　CD 解析　若设点P的坐标为P(x，0)， 则k＝＝tan 60°＝， ∴x＝1，即P(1，0). 若设点P的坐标为P(0，y)， 则k＝＝tan 60°＝， ∴y＝－，即P(0，－). 4.已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　　　　. 答案　{k|k≤－1或k≥1} 解析　当倾斜角α＝时，l的斜率不存在； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α与β，斜率分别是k1与k2，则下列四个结论中正确的是(　　) A.若α<β，则k1<k2 B.若α＝π－β，则k1＝k2 C.若k1<k2，则α<β D.若k1＝k2，则α＝β 答案　D 解析　当α∈，β∈时，k1>k2，所以A不正确；当α＝π－β时，k1＝－k2，所以B不正确；当k1<0<k2时，α>β，所以C不正确；当k1＝k2时，α＝β，所以D正确. 2.过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A.1 B.5 C.－1 D.－5 答案　D 解析　因为过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，所以＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. 3.(多选)已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　AC 解析　设直线l的倾斜角为α， 则|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－， ∴α＝60°或120°. 4.(多选)若直线l的倾斜角为钝角，则下列向量能作为l的方向向量的是(　　) A.a＝(2，1) B.a＝(－2，1) C.a＝(1，－2) D.a＝(0，1) 答案　BC 解析　因为直线l的倾斜角为钝角，则k<0，所以l的方向向量的横纵坐标符号相反，故选B，C. 5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有(　　) A.k1<k2<k3 B.k2<k3<k1 C.k1<k3<k2 D.k2<k1<k3 答案　C 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知，α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0<k3<k2. 6.在y轴上有一点M，它与点(－，1)连成的直线的倾斜角为60°，则点M的坐标为(　　) A.(0，4) B.(0，2) C.(2，0) D.(1，0) 答案　A 解析　设M(0，a)，由题意得＝tan 60°， 得a＝4，∴M(0，4). 7.(5分)设直线l的斜率为k，且－1<k≤，则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　. 答案　∪ 解析　因为直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)， 由－1<k≤，得－1<tan α≤， 所以α∈∪. 8.(5分)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为　　　　，直线AC的一个方向向量为　　　　. 答案　2－3　(1，－)(答案不唯一) 解析　kAB＝， ∴直线AB的倾斜角为60°， 则直线AC的倾斜角为120°. kAC＝＝tan 120°， 即＝－，得m＝2－3， 直线AC的一个方向向量为(1，－). 9.(10分)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(2m－1，1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角？(5分) (2)若直线MN的一个方向向量为a＝(0，－2 025)，求m的值.(5分) 解　(1)若直线MN的倾斜角θ为锐角， 则k＝tan θ>0， 又k＝>0， 即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4. (2)直线MN的一个方向向量为 a＝(0，－2 025)， ∴直线MN的斜率不存在. 故直线MN垂直于x轴. ∴m＋3＝2m－1，即m＝4. 10.(10分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围. 解　如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}. 11.(多选)以下四个命题错误的是(　　) A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B.若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 C.坐标平面上的所有直线都有倾斜角 D.坐标平面上的所有直线都有斜率 答案　BD 解析　任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在. 12.直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为(　　) A.0 B.1 C. D.2 答案　D 解析　由直线l过点(1，2)，且不过第四象限，作出图象，当直线位于如图所示的阴影区域(包含边界)内时满足条件， 由图可知，当直线过A(1，2)，O(0，0)时，直线的斜率取最大值kmax＝2，∴直线l的斜率的最大值为2. 13.(5分)已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　. 答案　－2　 解析　设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α，则tan α＝3， 由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α＋45°，α－45°， 因为tan(α＋45°)＝＝－2， tan(α－45°)＝， 所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为－2，. 14.(5分)若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是　　　　　　　. 答案　 解析　根据已知条件，可知点P(x，y)是以点A，B，C为顶点的△ABC内部一动点(不包含边界)，的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率.由已知得kAM＝，kBM＝1，kCM＝. 利用图象(图略)， 可得的取值范围是. 15.已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　) A.>>　　B.>> C.>>　　D.>> 答案　B 解析　因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以，，的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图所示. 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 16.(12分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值与最小值. 解　如图所示，由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB. 由已知可得A(1，1)，B(－1，5)， ∴kPA＝，kPB＝＝8， ∴≤k≤8. 故(－1≤x≤1)的最大值为8，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $