1.1 1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．下列说法中正确的是(　　) A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为0° C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4) D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 解析：选C．对于A，若直线倾斜角大于90°，则直线的斜率为负值，故A错误；对于B，由A(1，－3)，B(1，3)，可知直线AB与x轴垂直，所以直线AB的倾斜角为90°，故B错误；对于C，直线倾斜角为45°，则斜率k＝1，又过点(1，2)，且＝1，故C正确；对于D，直线斜率的定义为倾斜角的正切值，但不能是tan 90°，故D错误．故选C． 2．(2024·河南驻马店期末)直线l：x＝0的倾斜角为(　　) A．0 B． C．π D．不存在 解析：选B．直线l：x＝0即为y轴，y轴和x轴垂直，又知倾斜角的范围是[0，π)，所以由定义可知直线l：x＝0的倾斜角为.故选B． 3．(2024·陕西汉中期末)已知直线l经过A(－1，4)，B(1，2)两点，则直线l的斜率为(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：选D．因为直线l经过A(－1，4)，B(1，2)两点，所以直线l的斜率kAB＝＝－1.故选D． 4．若直线l的一个方向向量为v＝(－3，)，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．60° B．30° C．150° D．120° 解析：选C．设直线l的倾斜角为θ，由题意知，tan θ＝＝－，又θ∈[0，π)，所以θ＝，即θ＝150°.故选C． 5．已知直线l1的方向向量为m＝(1，)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　　) A． B． C． D．－ 解析：选D．设直线l1的倾斜角为α(0≤α<π)，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为m＝(1，), 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝－.故选D． 6．(多选)如图所示，四条直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是(　　) A．k2<k1<k4<k3 B．k3<k2<k1<k4 C．α2<α1<α4<α3 D．α3<α2<α1<α4 解析：选BC．直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，由倾斜角定义知0<α1<α4<，α3>，α2＝0，所以α2<α1<α4<α3，故C正确，D错误；由k＝tan α，知k2＝0，k3<0，0<k1<k4，所以k3<k2<k1<k4，故B正确，A错误．故选BC． 7．(2024·陕西渭南检测)请写出直线l：2x－3y＋4＝0的一个方向向量v＝________． 解析：令y＝0，则2x＋4＝0，解得x＝－2，可得点A(－2，0)，令x＝1，则2－3y＋4＝0，解得y＝2，可得点B(1，2)，所以直线l：2x－3y＋4＝0的一个方向向量v＝＝(3，2). 答案：(3，2)(答案不唯一) 8．已知直线l的斜率k∈[－1，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是____________． 解析：由－1≤k≤可得－1≤tan α≤，因为α∈[0，π)，所以α∈[0，]∪[，π). 答案：[0，]∪[，π) 9．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围是____________． 解析：直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率k＝＝－，因为y＝－2x＋8，所以＝＝－2＋，因为2≤x≤3，所以≤≤4，所以≤－2＋≤2，即≤≤2，所以－3≤－·≤－1，即k∈[－3，－1].故直线l的斜率的取值范围是[－3，－1]. 答案：[－3，－1] 10．已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(2m－1，1). (1)当实数m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角； (2)若直线MN的一个方向向量为a＝(0，－2 024)，求实数m的值． 解：(1)若直线MN的倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ＞0，又k＝＝＞0，解得－2＜m＜4. (2)因为直线MN的一个方向向量为a＝(0，－2 024)，所以直线MN的斜率不存在，故过M，N两点的直线垂直于x轴，所以m＋3＝2m－1，解得m＝4. 11．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A．设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－.故选A． 12．(2024·陕西宝鸡检测)已知直线l过点P(0，－1)，若l与连接A(2，3)，B(－1，2)的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围是(　　) A．(－3，2) B．[－3，2] C．(－∞，－3]∪[2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析：选C．由题意得kPA＝＝2，kPB＝＝－3，由直线l与线段AB总有公共点，可画出图象如图，根据图象可知kl≥kPA或kl≤kPB，即kl≥2或kl≤－3，所以l的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞).故选C． 13．已知函数f(x)＝2x，且a<b<c<0，则，，的大小关系为____________________________．(用“＞”连接) 解析：由题意可知，＝的几何意义为点(x，2x)和点(1，0)连线所在直线的斜率．如图所示，a<b<c<0，＝，＝，＝分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率，根据图象知，>>. 答案：>> 14．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.因为tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°.因为tan 60°＝，所以直线BC的倾斜角为60°.因为tan 30°＝，所以直线AC的倾斜角为30°. (2)如图所示，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 15.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　　) A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 解析：选B．如图，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n(n≥2)个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B． 16．(2024·河南驻马店期末)已知过坐标原点O的一条直线与函数y＝log9x的图象交于A，B 两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log3x的图象交于C，D两点． (1)证明：点C，D，O在同一条直线上； (2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标． 解：(1)证明：如图，设点A(x1，log9x1)，B(x2，log9x2)，则C(x1，log3x1)，D(x2，log3x2).由A，O，B三点共线，知kOA＝kOB，所以＝，即＝，所以＝，即kOC＝kOD.又OC，OD有公共点O，所以点C，D，O在同一条直线上． (2)当直线BC的斜率为0时，B，C两点的纵坐标相等，即log9x2＝log3x1，则log3x2＝log3x1，得log3x2＝2log3x1，所以x2＝x.由(1)知＝，所以＝＝，解得x1＝2.所以点A的坐标为(2，log92). 学科网（北京）股份有限公司 $