第5章 4.2 二项式系数的性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，涵盖杨辉三角、增减性与最值、系数和问题等核心内容。以杨辉三角历史背景导入，通过观察展开式系数规律，衔接二项式定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过杨辉三角历史激发探究欲，问题链引导推理增减性规律，赋值法解决系数和问题。实例丰富且小结清晰，助学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供结构化教学资源，便于实施探究式教学。

二项式系数的性质 第五章　§4　二项式定理 <<< 4.2 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 3.掌握“赋值法”并会灵活应用. 学习目标 中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.杨辉，字谦光，南宋时期钱塘人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角数表，称之为“开方作法本源”图，后称之为“杨辉三角”. 导 语 一、杨辉三角 二、二项式系数的增减性与最值 课时对点练 三、二项展开式的系数和问题 随堂演练 内容索引 杨辉三角 一 提示　1，7，21，35，35，21，7，1. 根据二项式定理写出(a+b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 问题1 提示　每一行的数字是对称的，先增大，后减小，并且首尾数字均为1.下一行的数字除1外的每一个数字都等于它“肩上”的两个数字的和. 在图形中，每一行的数字有什么特点，下一行与上一行的数字有什么联系吗？ 问题2 1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 . 2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之 ，即_____________. 相等 和 知识梳理 8 　(1)在(a+b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是 A.第(n－k)项 B.第(n－k－1)项 C.第(n－k+1)项 D.第(n－k+2)项 例 1 第k项的二项式系数是，故第(n－k+2)项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 解析 √ 9 (2)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 A.8 B.6 C.4 D.2 由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4+a＝10，则a＝6. 解析 √ 10 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律. (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 反 思 感 悟 11 (1)在(x+y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n为 A.4 B.6 C.8 D.10 跟踪训练 1 √ 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等， ∴，由组合数的性质，得n＝10. 解析 12 (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于 A.20 B.21 C.22 D.23 √ 由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11+5，即16，所以b＝6+16＝22. 解析 13 二 二项式系数的增减性与最值 提示　. 当k<>1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>时，二项式系数逐渐减小. 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？ 问题3 1.增减性：当k<时，二项式系数是逐渐减小的. 2.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. 知识梳理 (1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项； (2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项. 注 意 点 <<< 17 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2； ②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36； ③＝8. 已知在的展开式中，　　　　　　　　. (1)求展开式中的二项式系数最大的项； 例 2 18 若选①，的二项式通项为Tk+1＝(－1)k， 则第5项的系数为，第3项的系数为， ∴∶＝5∶2，解得n＝－3(舍)或n＝8. 若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为， ∴＝36，解得n＝－9(舍)或n＝8. 若选③，由＝8，得n＝8. ∴的二项式通项为 Tk+1＝(－1)k. 解 19 当n＝8时，若取得最大值，则k＝4，即第5项的二项式系数最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为T5＝. 解 20 (2)求展开式中含的项. 令＝－1，解得k＝6， ∴展开式中含的项为T7＝. 解 21 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 反 思 感 悟 22 　展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为 A.120 B.252 C.210 D.45 跟踪训练 2 由题意，得2n＝10，易知n＝5， 由Tk+1＝)10－k， 令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为＝210. 解析 √ 23 二项展开式的系数和问题 三 提示　+…++…＝+… ＝2n－1. 在二项展开式(a+b)n＝an－2b2+…+an－kbk +…+bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 问题4 若(3x－1)7＝a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求： (1)a1+a2+…+a7； 例 3 令x＝0，则a0＝－1. 令x＝1，则a0+a1+…+a7＝27＝128， ① ∴a1+a2+…+a7＝129. 解 26 (2)a1+a3+a5+a7； 令x＝－1，则a0－a1+…+a6－a7＝(－4)7， ② 由①－②得，2(a1+a3+a5+a7)＝128－(－4)7， ∴a1+a3+a5+a7＝8 256. 解 27 (3)|a0|+|a1|+…+|a7|. ∵Tk+1＝(3x)7－k(－1)k， ∴|a0|+|a1|+…+|a7|＝－a0+a1－a2+a3－…－a6+a7＝47＝16 384. 解 28 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值. (1)一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和. (2)三项的可以直接令x＝1，也可以转化二项之后再赋值. (3)有两个变量x，y的可以令x＝y＝1得所有项系数之和. 反 思 感 悟 29 (1)在(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是 A.2 048 B.－1 023 C.－1 024 D.1 024 跟踪训练 3 (x－1)11＝a0x11+a1x10+a2x9+…+a11， 令x＝－1，则－a0+a1－a2+…+a11＝－211， 　　　　① 令x＝1，则a0+a1+a2+…+a11＝0， 　　　　② 由①②，得a0+a2+a4+…+a10＝210＝1 024， 即为所求系数之和. 解析 √ 30 (2)记(2+x)7＝a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a1+a2+…+a6＝　　　. 令x＝0，得a0+a1+a2+…+a7＝27； 令x＝－1，得a0＝17＝1. ∵(2+x)7＝(1+1+x)7， ∴展开式的通项为Tk+1＝(1+x)k，令k＝7，得a7＝＝1， ∴a1+a2+…+a6＝27－1－1＝126. 解析 126 31 1.知识清单： (1)杨辉三角. (2)二项式系数的增减性与最值. (3)二项展开式的系数和问题. 2.方法归纳：赋值法. 3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 √ 第6项的二项式系数为，所以第16项符合条件. 解析 1 2 3 4 2.展开式中二项式系数最大的项是 A.第3项 B.第6项 C.第6，7项 D.第5，7项 √ 项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大. 解析 1 2 3 4 3.若(2－x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则(a0+a2+a4)2－(a1+a3+a5)2等于 A.－32 B.32 C.－243 D.243 设f(x)＝(2－x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5， 由已知可得f(1)＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1，f(－1)＝a0－a1+a2－a3+a4－a5＝35＝243， 因此，(a0+a2+a4)2－(a1+a3+a5)2＝(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0－a1+a2－a3+a4－a5)＝243. 解析 √ 1 2 3 4 4.(2x－1)6展开式中各项系数的和为　　，各项的二项式系数的和为　　. 1 令x＝1，得各项系数的和为1；各项的二项式系数之和为26＝64. 解析 64 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 答案 C BCD A B C B 10 － D 题号 12 13 14 15 答案 AC B 255 (n∈N+，n≥3) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)在(2x－3)4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0+a1+a2+a3+a4， 令x＝0，得(0－3)4＝a0， 所以a1+a2+a3+a4＝a0+a1+a2+a3+a4－a0 ＝(2－3)4－81＝－80. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在(2x－3)4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0+a1+a2+a3+a4. ① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1+a2－a3+a4. ② 所以(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2 ＝(a0－a1+a2－a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2+3)4(2－3)4＝625. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝－a1+a2－a3+a4 ＝a0－a1+a2－a3+a4－a0 ＝625－81＝544. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)二项式系数最大的项是第11项. T11＝·310·(－2)10x10y10＝·610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(k+1)项，于是 化简得≤k≤. 因为k∈N，所以k＝8， 即T9＝·312·28x12y8是系数绝对值最大的项. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项.T9＝·312·28x12y8. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)＝1 140. (2)+…+. 证明如下： 左边＝+…++…+＝…＝＝右边. 基础巩固 1.在(1+x)n(n∈N+)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，展开式共有11项，所以n＝10. 解析 2.(多选)(1+x)n展开式中，是最大的二项式系数，则n可以是 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝9时，均为最大；当n＝10时，最大；当n＝11时，均为最大. 解析 √ √ 3.若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为 A.5 B.8 C.10 D.15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (7a+b)10展开式中的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5. 解析 4.在(2x－3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为 A.210 B.29 C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为 A.1 B.±1 C.2 D.±2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件知2n＝32，即n＝5，在通项公式Tk+1＝)5－k 中，令15－5k＝0，得k＝3. 所以a3＝80，解得a＝2. 解析 6.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的有 A.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的 和”猜想： B.+…+＝165 C.第34行中从左到右第14个数与第15个数 的比为2∶3 D.由“第n行所有数之和为2n”猜想： +…+＝2n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，显然，故A正确； 对于B，+…++…+－1＝164，故B错误； 对于C，第n行，第k个数是，则第34行中从左到右第14个数与第15个数分别为，故C正确； 对于D，第n行所有数之和为2n，即+…+＝2n，故D正确. 解析 7.若展开式中的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 +…+＝2n＝32，故n＝5. Tk+1＝(x2)5－kx10－5k， 令10－5k＝0，得k＝2. 故展开式中的常数项为T3＝＝10. 解析 8.设(3x－2)6＝a0+a1(2x－1)+a2(2x－1)2+…+a6(2x－1)6，则＝　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － 令x＝1，得a0+a1+a2+…+a6＝1，令x＝0，得a0－a1+a2－…+a6＝64，两式相减得2(a1+a3+a5)＝－63，两式相加得2(a0+a2+a4+a6)＝65，故. 解析 9.设(2x－3)4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求： (1)a1+a2+a3+a4； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在(2x－3)4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0+a1+a2+a3+a4， 令x＝0，得(0－3)4＝a0， 所以a1+a2+a3+a4＝a0+a1+a2+a3+a4－a0 ＝(2－3)4－81＝－80. 解 (2)(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在(2x－3)4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x＝1，得(2－3)4＝a0+a1+a2+a3+a4. ① 令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1+a2－a3+a4. ② 所以(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2 ＝(a0－a1+a2－a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2+3)4(2－3)4＝625. 解 (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝－a1+a2－a3+a4 ＝a0－a1+a2－a3+a4－a0 ＝625－81＝544. 解 10.在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式系数最大的项是第11项. T11＝·310·(－2)10x10y10＝·610x10y10. 解 (2)系数绝对值最大的项； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设系数绝对值最大的项是第(k+1)项，于是 化简得≤k≤. 因为k∈N，所以k＝8， 即T9＝·312·28x12y8是系数绝对值最大的项. 解 (3)系数最大的项. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项.T9＝·312·28x12y8. 解 11.若(1－2x)2 025＝a0+a1x+…+a2 025x2 025(x∈R)，则+…+的值为 A.2 B.0 C.－2 D.－1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1－2x)2 025＝a0+a1x+…+a2 025x2 025，令x＝0，得a0＝1；令x＝+…+＝0，所以+…+＝－1. 解析 12.(多选)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中 A.各项二项式系数和为128 B.项数为奇数的各项系数和为－64 C.有理项共有4项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为的二项展开式共有8项，故n＝7，则二项式系数和为2n＝27＝128，故A正确； 的展开式的通项为Tk+1＝(－1)k ＝64，故B错误； 根据Tk+1＝(－1)k，当k取0，2，4，6时，Tk+1＝(－1)k为有理项，共有4项，故C正确； T4＝－，T5＝x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误. 解析 13.的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是 A.330 B.462 C.682 D.792 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024， ∴n＝11， ∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为＝462. 解析 14.已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+…+＝　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 255 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设(2x－1)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1+a3+a5+…，B＝a0+a2+a4+a6+…. 由已知可知，B－A＝38.令x＝－1， 得a0－a1+a2－a3+…+an(－1)n＝(－3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)－(a1+a3+a5+a7+…)＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数的性质，可得 +…+＝28－1＝255. 解析 15.如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，…，则第n(n≥3)行第3个 数字是　　　　　　　　　　　　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (n∈N+，n≥3) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 杨辉三角形中的每一个数，就得到一个如题图所示的分数三角形， ∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是. 解析 16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求第20行中从左到右的第4个数； ＝1 140. 解 (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N+)的数字公式表示上述结论，并给予证明. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +…+. 证明如下： 左边＝+…++…+＝… ＝＝右边. 解 第五章　§4　二项式定理 <<< $