第5章 3 第1课时 组合与组合数（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦组合与组合数第1课时，核心内容包括组合的定义、与排列的区别联系、组合数公式及简单组合问题解决。通过“旅游选景点”情境导入，对比上午下午选景点（排列）与仅选2处（组合），搭建从排列到组合的学习支架。 其亮点在于以生活情境问题链（如正副班长与数学竞赛选法差异）引导学生用数学眼光观察顺序差异，结合组合数公式推导（如C_4^3 = A_4^3 / A_3^3）培养数学思维，通过三角形个数、足球选队员等例题用数学语言解决实际问题。采用问题驱动与分层练习，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

组合与组合数 第五章　§3　组合问题 <<< 第1课时 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决简单的组合问题. 学习目标 小明五一到某城旅游，要从A，B，C，D 4处景点中选择2处游玩，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 导 语 一、组合概念的理解 二、利用组合数公式化简、求值与证明 课时对点练 三、简单的组合问题 随堂演练 内容索引 组合概念的理解 一 提示　有区别，从5人中选出2人担任正、副班长与顺序有关，是排列，共有＝5×4＝20(种)不同的选法；而5人中选出2人去参加数学竞赛与顺序无关，不是排列，共有10种不同的选法. 某班需要从5人中选出2人担任正、副班长，与从5人中选出2人去参加数学竞赛有什么区别吗？ 问题1 提示　只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合.而只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的.两者的差别就在于是否要求顺序相同. 两个组合相同有什么特点？与两个排列相同有什么区别？ 问题2 组合及组合问题 (1)组合 一般地，从n个 元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N+)个 为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合问题 有关求 的问题叫作组合问题. 不同 元素 组合的个数 知识梳理 8 (1)组合中取出的元素没有顺序； (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 注 意 点 <<< 9 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ 例 1 是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数. 解 10 (2)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ 是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变. 解 11 (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. 解 (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 冠、亚军是有顺序的，是排列问题. 解 12 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个不同的元素即可. (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合. (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 反 思 感 悟 13 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ 跟踪训练 1 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题. 解 14 (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题. 解 15 (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生. 从7本不同的书中取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. 解 16 二 利用组合数公式化简、求值与证明 提示　求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法.由分步乘法计数原理得，. 组合数吗？ 问题3 1.组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的______ ______的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的组合数，记作____. 2.组合数公式：＝_______________________＝____________. 3.规定：＝ . 所有 组合 1 知识梳理 (1)m≤n，m，n∈N+； (2)常用于计算； (3)常用于证明. 注 意 点 <<< 20 (课本例1)　计算： (1)；　 例 2 ==210； 解 角度1　利用组合数化简、求值 21 (2). ==35. 解 22 求值： (1)3； 例 2 3＝3×－2×＝148. 解 23 (2). ∵ ∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N+，∴n＝10， ∴＝466. 解 24 角度2　利用组合数证明 右边＝＝ ＝＝左边.所以原式成立. 证明 证明：. 例 3 25 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别. (2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去. 反 思 感 悟 26 (1)计算：； 跟踪训练 2 原式＝－7×6×5＝210－210＝0. 解 27 (2)证明：m. m＝＝n·. 证明 28 简单的组合问题 三 　(课本例2)　已知平面内有12个点，任何3个点均不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？ 例 4 依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形，可画的三角形的个数，就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数，即 ===220. 因此，一共可以画220个三角形. 解 30 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ 例 4 由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为＝12 376. 解 31 (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方式做这件事情？ 教练可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种选法. 所以教练做这件事情的方式种数为×＝136 136. 解 32 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 反 思 感 悟 33 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 跟踪训练 3 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是＝56. 解 34 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是＝21. 解 35 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是＝35. 解 36 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)组合数的计算与证明. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.以下四个问题，属于组合问题的是 A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 √ 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 解析 1 2 3 4 2.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 A.种 B.种 C.种 D.30种 √ 三张票没区别，从10人中选3人即可， 即种. 解析 1 2 3 4 3.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为______ 　　　　　　　　　　　. ab， ac，ad，bc，bd，cd 可按a→b→c→d顺序写出，即 解析 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 1 2 3 4 4.若2，则n＝　　　. 6 由2，得2n(n－1)＝3×，整理得4＝n－2，∴n＝6. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AB C D BC C B 3 10　20 题号 11 12 13 14 15 答案 A C 20 36 126 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得2·，整理得n2－21n+98＝0， 解得n＝7或n＝14， 要求的值，故n≥12，所以n＝14， 所以＝91. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种). (2)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有×＝90(种). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场). (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30+4+1＝35(场). 基础巩固 1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有 A.由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C.由1，2，3组成两位数的不同方法数 D.由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若＝36，则n的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵＝36，∴n(n－1)＝36，即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n+8)＝0. ∵n∈N+，∴n＝9. 解析 3.若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有 A.种 B.45种 C.54种 D.种 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有种. 解析 4.(多选)若则m的取值可能是 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 对于，有0≤m－1≤8且0≤m≤8，m∈N+，则1≤m≤8，m∈N+，若>3×，即m>27－3m，解得m><m≤8且m∈N+，则m＝7或m＝8. 解析 5.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为 A.4 B.8 C.28 D.64 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建＝28(条)公路. 解析 6.下列选项错误的是 A. B. C.÷ D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A显然成立； 对于B选项，＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m+1)， m＝m(n－1)(n－2)·…·(n－m+1)， 所以当m≠n时，≠m，故B不成立； 对于C选项，÷，故C成立； 对于D选项，，故D成立. 解析 7.若，则n＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝， 化简得n2－2n－3＝0，同时满足2n≥4，且n≥2，且n∈N+，解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3. 解析 3 8.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成　　　条线段；如果是有向线段，共有_______条. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有＝10(条).再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是＝20，所以有向线段共有20条. 解析 20 9.已知2的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得2·，整理得n2－21n+98＝0， 解得n＝7或n＝14， 要求的值，故n≥12，所以n＝14， 所以＝91. 解 10.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种). 解 (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有×＝90(种). 解 11.从2，3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 A.35 B.42 C.105 D.210 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为＝35. 解析 12.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位长度，若质点移动8次之后又回到原点，则该质点移动的轨迹情况有 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.20种 B.50种 C.70种 D.90种 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，8次移动中，从原点出发，要想回到原点，只能是向左移动4次，向右移动4次， 于是8次移动中选择4次向右即可，即有＝70(种)轨迹. 解析 13.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这样的排法种数是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有＝20(种). 解析 14.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名学生，则不同的保送方案有　　　种. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有 ＝36(种)保送方案. 解析 15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　条. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 126 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. 解析 16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行. (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝30(场). 解 (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场). 解 (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 问：全部赛程共需比赛多少场？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30+4+1＝35(场). 解 第五章　§3　组合问题 <<< $