第3章 3.2 第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量长度与夹角的坐标表示，通过回顾空间向量坐标表示，引导学生思考坐标条件下长度与夹角的计算方法，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是结合正方体、正三棱柱等实例，运用坐标法解决长度与夹角问题，体现数学思维与模型观念。课堂小结梳理知识、方法及误区，助力学生提升空间观念和运算能力，也为教师提供系统教学资源。

第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示 第三章　3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 <<< 1.进一步熟悉空间向量的坐标表示. 2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. 学习目标 前面，我们已经学习了空间向量的长度(模)及夹角的概念，在给出了向量坐标的条件下，如何表示空间向量的长度和夹角呢？ 导 语 一、空间向量的长度 二、空间向量的夹角 课时对点练 三、空间向量长度与夹角的综合问题 随堂演练 内容索引 空间向量的长度 一 1.设向量a＝(x，y，z)，则|a|＝ . 2.若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 |AB|＝||＝ . (1)长度计算公式可以推广为|a±b|＝， |a＋b＋c|＝ ＝. (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的长度，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算. 注 意 点 <<< 7 　如图，建立空间直角坐标系O－xyz.单位正方体ABCD－A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点，其中点B(1，0，0)，点D(0，1，0)，点A'(0，0，1). (1)若点E是棱B'C'的中点，点F是棱B'B的中点，点G是侧面CDD'C'的中心，则分别求出向量，，的坐标； 例 1 8 因为点E是棱B'C'的中点，点F是棱B'B的中点，点G是侧面CDD'C'的中心， 所以O(0，0，0)，E，F，G， 所以， . 解 9 (2)在(1)的条件下，分别求出()·，||的值. 10 由(1)可得()··××1＋×0＝， 又由， 所以||＝. 解 11 向量法求空间两点间距离的一般步骤 (1)建立坐标系：结合图形建立适当的空间直角坐标系.建立时要充分利用已知的垂直关系，找到(或作出)两两垂直的三条直线. (2)求向量的坐标：依据条件，写出相关点的坐标，进而得到待求向量的坐标. (3)代入公式计算. 反 思 感 悟 12 　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AC1上且，点N为B1B的中点，则||为 A. B. C. D. 跟踪训练 1 √ 13 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，N，设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且， ∴(x－1，y，z)＝(－x，1－y，1－z)， ∴x＝，y＝，z＝，即M， ∴||＝. 解析 14 二 空间向量的夹角 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0). (1)〈a，b〉∈[0，π]. (2)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 注 意 点 <<< 17 　如图，将正三棱柱ABC－A'B'C'放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上.若AA'＝2，AB＝1，求与夹角的余弦值. 例 2 18 由题意得，A，C'， ，B， C. 所以cos〈〉＝ ＝. 解 19 求空间向量夹角的一般思路 (1)建系：恰当的构建空间直角坐标系. (2)写坐标：求出所对应点的坐标，及向量的坐标表示. (3)计算：运用夹角公式的坐标表示运算. 反 思 感 悟 20 (1)已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹 角为钝角，则实数x的取值范围是　　　　　　　　　　 . 跟踪训练 2 ∪ 由题意可知a·b<0，且a与b不共线， 则a·b＝3×(－1)－2(x－1)－3×1 ＝－2x－4<0，解得x>－2. 若a与b共线， 则，得x＝. 因为a与b不共线，所以x≠， 所以实数x的取值范围是∪. 解析 21 (2)已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c. ①求向量a，b，c； ∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴ ∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1). 解 22 ②求向量a＋c与b＋c夹角的余弦值. ∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝， |b＋c|＝， ∴向量a＋c与b＋c夹角的余弦值为. 解 23 空间向量长度与夹角的综合问题 三 (课本例4)　如图，三棱柱ABC－A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA'＝2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点. (1)求||； 例 3 25 如图，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1). 则＝(1，－1，1)， ||＝. 解 26 (2)求cos〈，〉的值； 27 由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)， A'(1，0，2)，B'(0，1，2). 因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以||＝， ||＝， ·＝1×0+(－1)×1+2×2＝3， cos〈〉＝. 故cos〈. 解 28 (3)求证：⊥. 29 由题意，得A'(1，0，2)，B(0，1，0)， C'(0，0，2)，M. 因为＝(－1，1，－2)，， 所以·＝(－1)×+1×+(－2)×0＝0， 即⊥. 证明 30 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求||，||； 例 3 31 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N. ∵＝(1，－1，1)， ， ∴||＝， ||＝. 解 32 (2)求△BMN的面积. ∵cos∠MBN＝cos〈〉 ＝， ∴sin∠MBN＝， 故S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN＝×××. 即△BMN的面积为. 解 33 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 反 思 感 悟 34 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：⊥； 跟踪训练 3 35 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)， F，G， ∴， ∵·×××0＝0， ∴⊥. 证明 36 (2)求cos〈，〉的值； 由(1)得，，∵·×1＋×0＋×， ||＝， ||＝， ∴cos〈〉＝. 解 37 (3)求||. 由(1)得，，则||＝. 解 38 1.知识清单： (1)空间向量的长度. (2)空间向量的夹角. (3)空间向量的长度及夹角的坐标表示在立体几何中的应用. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区： (1)建系后书写点的坐标出错. (2)空间角与向量的夹角转化时忽略范围的不同. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知空间向量a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)，则a与b的夹角为 A. B. C. D. 因为空间向量a＝(0，1，1)，b＝(－1，0，1)， 设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为. 解析 √ 1 2 3 4 2.已知空间向量a＝(2，－1，x)，b＝(－4，2，6)，若a∥b，则|a|等于 A.3 B. C.2 D. √ 由题意得，解得x＝－3， 则|a|＝. 解析 1 2 3 4 3.已知向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为 A.－3 B.1 C.－3或1 D.3或1 √ 由题意得＝6，4＋4y＋2x＝0， 解得则x＋y＝1或－3. 解析 1 2 3 4 4.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的 夹角为　　. 1 2 3 4 ∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈〉＝， 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C BCD A 2 题号 11 12 13 14 15 答案 B B 　－ 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1＝(2，1，－2)， 由于c∥， 故可设c＝(2n，n，－2n)， 故|c|＝＝3|n|＝3， 解得n＝±1， 故c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1，0，－2)，ka+b＝(1－k，－k，－2)， 由于ka+b与b垂直，则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k+4＝0， 解得k＝5. (3)由(2)得||＝，||＝，||＝3， 故由余弦定理得 cos A＝＝－， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin A＝. 故△ABC的面积为·||·||·sin A＝×××. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有F， H， ∴， ∴||＝ . ∴FH的长为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知E，F， ∴，∴||＝. 又C1(0，1，1)，G， ∴，∴||＝. ∴·×0+×+×(－1)＝， ∴|cos〈〉|＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知A(0，0，0)，B1，1，2)，C(0，2，0)， B，1，0)，M. 又点N在棱CC1上， 可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则＝，1，2)， ， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以||＝2，||＝，·＝2m－1. 若向量的夹角为45°， 则cos 〈〉＝ ＝＝cos 45°. 即， 使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N，使得向量的夹角为45°. 基础巩固 1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于 A.3 B.2 C. D.5 √ ∵a－b＋2c＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为 A.－3 B.11 C.3 D.－3或11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得cos〈a，b〉＝＝－， 即＝－，解得x＝－3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 √ λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝，且λ>0，解得λ＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是 A. B. C. D. 由题意得b－a＝(1＋t，2t－1，0)， 所以|b－a|＝ ＝. 所以当t＝时，|b－a|min＝. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知空间三点A(－1，0，1)，B(－1，2，2)，C(－3，0，4)，则下列说法正确的是 A.∥ B.·＝3 C.||＝2 D.cos〈，〉＝ √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，A(－1，0，1)，B(－1，2，2)，C(－3，0，4)，所以＝(0，2，1)，＝(－2，0，3)，＝(－2，－2，2). 因为不存在实数λ使得＝λ不平行，故A错误； ·＝0＋0＋3＝3，故B正确； ||＝＝2，故C正确； cos〈〉＝，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知向量a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 A.(－∞，－4) B.(－4，0) C.(0，4) D.(4，＋∞) √ 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a≠λb， 从而有 解得x<－4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.空间中点A(3，3，1)关于xOy平面的对称点A'与B(－1，1，5)的距离为　　　　. 2 点A(3，3，1)关于xOy平面的对称点A'的坐标为(3，3，－1)， 所以A'与B(－1，1，5)的距离为||＝＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则cos〈，〉＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)， N(1，0，2)， 所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)， 则cos〈〉＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； ＝(2，1，－2)， 由于c∥， 故可设c＝(2n，n，－2n)， 故|c|＝＝3|n|＝3， 解得n＝±1， 故c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知向量ka＋b与b互相垂直，求k的值； a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1，0，－2)，ka＋b＝(1－k，－k，－2)， 由于ka＋b与b垂直，则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，解得k＝5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求△ABC的面积. 由(2)得||＝，||＝，||＝3， 故由余弦定理得cos A＝＝－， ∴sin A＝. 故△ABC的面积为·||·||sin A＝×××. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点. (1)求FH的长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有F， H， ∴， ∴||＝. ∴FH的长为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知E，F， ∴，∴||＝. 又C1(0，1，1)，G， ∴，∴||＝. ∴·×0＋××(－1)＝， ∴|cos〈〉|＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.定义a⊗b＝|a|2－a·b.若向量a＝(1，－2，2)，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是 A.[0，6] B.[6，12] C.[0，6) D.(－1，5) √ 由题意知|a|＝3，|b|＝1. 设〈a，b〉＝θ， 则a⊗b＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝9－3cos θ. 又θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1，1]，∴a⊗b的取值范围为[6，12]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知a＝(1，2，2)，b＝(－2，1，1)，则向量b在a上的投影向量为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝(1，2，2)，b＝(－2，1，1)， ∴a·b＝1×(－2)＋2×1＋2×1＝2，|a|＝3， 向量a方向上的单位向量e＝， ∴向量b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉e＝e＝·. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知空间直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A(1，－2，－1)，B(1， 4，2)，C(－1，3，1)，AD是△ABC边BC上的高，则AD的长为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(1，－2，－1)，B(1，4，2)，C(－1，3，1)， 则＝(－2，－1，－1)，＝(0，6，3)，因为点D在边BC上， 设＝λ＝λ(－2，－1，－1)＝(－2λ，－λ，－λ)，且＝(0，6，3)＋(－2λ，－λ，－λ)＝(－2λ，6－λ，3－λ)， 由AD是△ABC边BC上的高可得·＝0⇒4λ－6＋λ－3＋λ＝0，解得λ ＝， 则||＝. 解析 14.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上 的点，＝λ，且PC⊥AB，则λ的值为　　　；cos〈，〉 ＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，连接A1C，取AC的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)， C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，C1(0，1，2)， 于是＝(，1，0)，＝(0，－2，2)， ＝(，1，－2). ∵PC⊥AB， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴·＝0， 即()·＝0， 即(＋λ)·＝0. 故λ＝－. 所以P， 又＝(0，2，2)， ∴cos〈〉＝＝－. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1上，且异于点A，C1.记＝λ.当∠BPD为锐角时，λ的取值范围是　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，D(0，0， 0)，∴＝(1，－1，－1)，＝(1，0，－1)， ＝(0，－1，－1)， 由＝λ可得＝(λ，－λ，－λ)， ∴＝(1，0，－1)－(λ，－λ，－λ)＝(1－λ，λ，λ－1)， ＝(0，－1，－1)－(λ，－λ，－λ)＝(－λ，λ－1，λ－1)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，不共线， ∴当∠BPD为锐角时，cos∠BPD>0， 则·>0， 即(1－λ)(－λ)＋λ(λ－1)＋(λ－1)2 ＝(λ－1)(3λ－1)>0， 解得λ<或λ>1，又0<λ<1，∴0<λ<. ∴λ的取值范围是. 解析 16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与的夹角为45°？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)， M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则＝(，1，2)，， 所以||＝2，||＝，·＝2m－1. 若向量的夹角为45°， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则cos 〈〉＝ ＝＝cos 45°. 即， 使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N，使得向量的夹角为45°. 解 第三章　3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 <<< $