第3章 2 第1课时 空间向量的概念及线性运算（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过国庆游客从世博园到东方明珠的位移问题导入，从平面向量自然延伸至空间向量，搭建二维到三维的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以天平拉力、长方体模型等情境培养数学眼光，通过例题推理和跟踪训练发展数学思维，用符号与图形结合强化数学语言。课堂小结系统梳理知识与方法，助力学生构建体系，教师教学更具针对性。

第1课时 空间向量的概念及线性运算 第三章　§2　空间向量与向量运算 <<< 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 学习目标 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，接着还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图，那实际发生的位移是什么？又该如何表示呢？这就要用到空间向量的内容. 导 语 一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 课时对点练 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 内容索引 空间向量的有关概念 一 提示　大小相等，方向均不相同，不能在同一个平面内. 在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3 根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中 放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入 质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则F1，F2，F3大小相等吗？方向相同吗？是否能在同一个平面内？ 问题1 1.在空间中，把具有　　　和　　　的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的　　　或　　. 空间向量用有向线段表示，表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向. 大小 方向 长度 模 知识梳理 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向　　　且模　　　的向量称为相等向量 自由向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用　　　表示 零向量 规定模为0的向量叫作　　　　，记为0 相同 相等 －a 零向量 名称 定义及表示 共线(平行) 向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线　　　　　　时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量).规定：零向量与任意向量_____ 共面向量 平行于　　　　　的向量，叫作共面向量 平行或重合 平行 同一平面 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小，模可以. (4)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. (5)空间中任意两个向量都是共面向量. 注 意 点 <<< 10 　 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 √ 例 1 A中，若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. 解析 11 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 12 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 解析 13 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 14 　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中. (1)试写出与相等的所有向量； 跟踪训练 1 与向量共3个. 解 15 (2)试写出的相反向量； 向量. 解 16 (3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量的模. ||＝ ＝＝3. 解 17 二 空间向量的加减运算 提示　空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，因此空间向量的加减运算可以按照平面向量的加减运算来进行运算. 空间向量的加减运算可否按照平面向量的加减运算来进行？为什么？ 问题2 空间向量的加法、减法运算 加法 运算 三角形 法则 语言 首尾顺次相接，　　　　　为和 图形   a＋b＝ 首指向尾 知识梳理 加法 运算 平行 四边形 法则 语言 共起点的两边为邻边作平行四边形，___________ 为和 图形 a＋b＝ 共起点对角 线 减法 运算 几何 意义 语言 共起点，连终点，方向指向__________ 图形 a＋(－b)＝a－b＝ 加法 运算律 交换律 a＋b＝______ 结合律 (a＋b)＋c＝__________ 被减向量 b＋a a＋(b＋c) (1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋…＋. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋…＋＝0. 注 意 点 <<< 23 　(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A. B. C. D. √ 例 2 √ 24 A中，； B中，； C中，≠； D中，≠.故选AB. 解析 25 (2)化简：()－()＝　　　　. 0 方法一(转化为加法运算) ()－()＝ ＝＝0. 方法二(转化为减法运算) ()－()＝()＋()＝＝0. 解析 26 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反 思 感 悟 27 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)； 跟踪训练 2 ， 如图中向量. 解 28 (2). 如图，连接GF，因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，所以. 解 29 空间向量的数乘运算 三 1.空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何 意义 λ>0 向量λa与向量a方向_____ |λa|＝|λ||a|，λa的长度是a的长度的 倍 λ<0 向量λa与向量a方向_____ λ＝0 λa＝0，其方向是　　 的 运算律 结合律 λ(μa)＝______ 分配律 (λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ，其中λ∈R，μ∈R. 相同 相反 任意 |λ| (λμ)a λa＋μa λa＋λb 2.定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理. (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 注 意 点 <<< 33 (1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； 例 3 ∵P是C1D1的中点， ∴＝a＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. 解 34 ②； ∵N是BC的中点， ∴＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. 解 35 ③. ∵M是AA1的中点， ∴ ＝－a＋a＋b＋c. 解 36 (2)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝　　　　. －3 因为＝－2a－b，＝a－2b. 所以 ＝＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b， 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得＝λ， 即9a＋mb＝λ(－3a＋b). 所以解得m＝λ＝－3. 解析 37 若把例3(1)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？ 延伸探究 ＝a＋c＋b. 解 38 (1)利用数乘运算进行向量表示的技巧 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. (2)①三点共线可借助向量共线进行转化来证明. ②特别注意利用向量共线推导三点共线必须要有公共点. 反 思 感 悟 39 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值. (1)＋x＋y； 跟踪训练 3 40 由图可知， ＝) ＝， 则x＝y＝－. 解 41 (2)＝x＋y. ∵＝2， ∴＝2. ∵＝2， ∴＝2， ∴＝2－(2)＝2－2. ∴x＝2，y＝－2. 解 42 1.知识清单： (1)空间向量的相关概念. (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律. (4)共线向量基本定理的理解及应用. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化法. 3.常见误区： (1)应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. (2)利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ √ √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 解析 1 2 3 4 2.化简所得的结果是 A. B. C.0 D. √ ＝0. 解析 1 2 3 4 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ ∵， ∴.∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 解析 1 2 3 4 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段BD1的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于 A. B.1 C. D.3 √ 1 2 3 4 连接AD1，AP(图略)， ∵P是线段BD1的中点， ∴)＝) ＝， ∴x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C D C ABC A a+b－c 题号 8 11 12 答案 ，，，写出两个即可) BCD C 题号 13 14 15 答案 a+b+c (1　(2++ － 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1+. (2)因为M是BB1的中点， 所以. 又， 所以++ ＝+. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3 ＝. 向量如图所示. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵++ ＝+ ＝－+＝－++ ＝－++ ＝－++ ＝+， ∴x＝，y＝－. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使|D'F|＝2|FC'|，连接EF， 则++ ＝++， 向量如图所示. (2)因为+ ＝++++＝++， 所以α＝，β＝，γ＝. 基础巩固 1.已知向量a，b互为相反向量，|b|＝3，则下列结论正确的是 A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|＝3 √ 向量a，b互为相反向量，则a，b的模相等，方向相反，故选D. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，的充要条件是||＝||，且同向.但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向，所以C正确； 对于D，平行四边形ABCD一定满足，一般四边形是不满足的，所以D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是 A.与 B.与 C.与 D.与 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误； 对于B，的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误； 对于C，的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误； 对于D，的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，EF是△BCD的中位线， 即， 所以. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，则下列四式中正确的有 A. B. C. D. √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出平行六面体ABCD－A'B'C'D'的图象如图，可得，故A正确； ，故B正确； C显然正确； ，故D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ 因为＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2， 所以A，B，D三点共线. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝　　　　　 . a＋b－c 根据空间向量的数乘运算法则可知， 原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c ＝a＋b＋c ＝a＋b－c. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若＋x＋＝0，则x可以是图中有向线段所示向量中的______________________________ 　　　 .(至少写出两个) ，，，(写出两个 即可) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＋x＋＋x＋＝0. 所以＋x＋＝0，所以x＝. 又因为， 所以x可以是中的任意一个. 解析 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. (1)； . 向量如图所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)； 因为M是BB1的中点，所以. 又， 所以. 向量如图所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3). . 向量如图所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＋x＋y，求x，y的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ ＝ ＝－＝－) ＝－) ＝－) ＝， ∴x＝，y＝－. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有 A.与是一对相等向量 B.与是一对相等向量 C.与是一对相反向量 D.与是一对相反向量 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，＝－＝－， 所以＝－()，故A错误； ，故B正确； 又＝－＝－＝ －()，故C正确； ＝－，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在BC'上，且|BM|＝2|MC'|，则等于 A.－ B.－ C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|BM|＝2|MC'|， 所以， 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中， ＝) ＝)＋) ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a， ＝b，＝c，则＝　　　　 .(用a，b，c表示) a＋b＋c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 ＝×) ＝) ＝ ＝ ＝a＋b＋c. 解析 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. (1)化简：＝　　　 ； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 )＝. 解析 (2)用，，表示，则＝　　　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为)， 所以)＋ ＝. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝　　　. － 如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D， 且EF＝A1D，∴＝0， ∴λ＝－. 解析 16.如图，已知ABCD－A'B'C'D'是平行六面体. (1)化简，并在图中标出其结果所示 向量； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使|D'F|＝ 2|FC'|，连接EF， 则 ＝， 向量如图所示. 解 (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'的对角线BC'上靠近点C'的四等分点，设＝α＋β＋γ，试求实数α，β，γ的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 ＝)＋)＝， 所以α＝，β＝，γ＝. 解 第三章　§2　空间向量与向量运算 <<< $