1 3.1 空间向量基本定理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过平面向量基本定理类比导入，引导学生从二维向三维迁移，构建“问题思考-定理探究-应用拓展”的学习支架，系统讲解定理条件结论、基向量概念及应用。 其亮点在于结合三棱柱、空间四边形等模型，通过典例变式和问题链设计，培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养。规律方法总结清晰，分层评价题量丰富，助力学生巩固知识，也为教师提供多样化教学资源。

3.1　空间向量基本定理 　 第三章　§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基向量表示空间 向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方 法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　空间向量基本定理 1 任务二　用基向量表示空间向量 2 任务三　四点共面问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　空间向量基本定理 返回 问题导思 问题.如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用 a，b，c表示呢？ 提示：如图所示，设在a，b所确定的平面上的投影 向量，则＝＋.又向量，c共线，因此存在唯一 的实数z，使得＝zc，从而＝＋zc.在a，b确定的平 面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得＝xa＋yb.从而＝＋zc＝xa＋yb＋zc. 新知构建 1.空间向量基本定理 (1)条件：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个 向量. (2)结论：存在______的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2.基 (1)条件：三个向量a，b，c________. (2)结论：_________叫作空间向量的一组基.其中a，b，c都叫作________. 唯一 不共面 {a，b，c} 基向量 微提醒 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 若{a，b，c}是空间向量的一组基，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间向量的一组基. 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}是空间向量的一组基， 所以a，b，c不共面， 所以方程组无解. 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， 所以a＋b，b＋c，c＋a不共面. 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间向量的一组基. 典例 1 规律方法 判断一组基的基本思路和注意问题 1.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成一组基；若不共面，则能构成一组基. 2.注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为一组基；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成一组基. 对点练1.{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝ －3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基. 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立， 所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得＝x＋y， 所以，，不共面. 所以{，，}能作为空间向量的一组基. 返回 任务二　用基向量表示空间向量 返回 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用a，b，c表示向量，. 解：＝＋＝＋＋)＝＋ ＋ ＝＋－)＋＝＋＋ ＝(a＋b＋c). 连接A'N(图略). ＝＋＝＋＋) ＝＋＋)＝a＋b＋c. 典例 2 变式探究 (变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以＝＋)＝a＋b. ＝＋)＝＋＋) ＝＋＋ ＝＋－)＋ ＝＋－＝a＋b－c. 规律方法 用基向量表示空间向量的步骤 第一步(定基)：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基； 第二步(找目标)：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 第三步(下结论)：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 对点练2.(一题多解)已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC为PM∶MC＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 解：法一：如图所示，取PC的中点E， 连接NE，则＝－. 因为＝＝＝－， ＝－＝－＝， 连接AC，则＝－＝＋－， 所以＝－－＋－) ＝－－＋， 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 法二：＝－＝－＝＋)－＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋， 因为，，不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 返回 任务三　四点共面问题 返回 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； 解：因为＝＋＋， 所以＋＋＝3， 所以－＝(－)＋(－)， 所以＝＋＝－－， 所以向量，，共面. 典例 3 (2)判断点M是否在平面ABC内. 解：由(1)知向量，，共面，又这三个向量有公共点M，所以M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内. 规律方法 解决向量共面问题的策略 1.若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示. 对点练3.如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是 AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且 ＝＝，＝a，＝b，＝c (1)求(用向量a，b，c表示)； 解：因为＝＋＋＝－＋＋＝－－＋＝－－， 所以＝a－b－c. (2)求证：点E，F，G，H四点共面. 解：证明：由(1)知＝a－b－c， 因为＝＝，所以EF＝AC，且FE∥AC， 即＝＝a，＝＋＝－－＝ －b－c， 所以＝＋，又这三个向量有公共点F，所以点E，F，G，H四点共面. 课堂小结 任务再现 1.空间向量基本定理.2.用基向量表示空间向量.3.四点共面问题 方法提炼 基向量法、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 忽视基向量的条件；利用基向量表示向量时，没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义 返回 随堂评价 返回 √ 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇒q，q⇒p.故选B. / √ 2.(多选题)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 √ A选项中，3－1－1＝1，四点共面，C选项中，＝－－，则点M，A，B，C共面.故选AC. 3.(双空题)已知空间向量的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝　　，y＝　　　. 1 －1 因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有 4.如图，在正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN 上一点，且ND＝2DM，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为　　. . 由题意得＝＋＝＋＝＋ －)＝＋＋－)＝＋ ＋，所以x＝，y＝z＝，所以x＋y＋z＝. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间向量的一组基，则 A.，，共线 B.，共线 C.，共线 D.O，A，B，C四点共面 由，，不能构成一组基知，，，三向量共面，所以一定有O，A，B，C四点共面.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.(多选题)给出下列命题，其中是真命题的是 A.若{a，b，c}可以作为空间向量的一组基，d与c共线，c≠0，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间向量的一组基 B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基 C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若{，，}不能构成空间向量的一组基，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}能构成空间向量的一组基 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k，使得d＝kc，因为d≠0，所以k≠0，从而c＝a＋b，所以c与a，b共面，与已知条件矛盾，所以d与a，b不共面，故A是真命题；对于B，根据基的概念，知空间中任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基，显然B是真命题；对于C，由，，有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，故C是真命题；对于D，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成空间向量的一组基，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是 A.a B.b C.c D.p－2q 因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面.若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间向量的一组基矛盾，故p，q，c不共面.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为 A.a－b＋2c B.a－b－2c C.－a＋b＋c D.a－b＋c ＝＋＝＋＝＋－)＝a－b＋c.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是 A.＝＋＋ B.＝＋2＋3 C.＝＋＋ D.＝＋＋ 由＝＋＋，得－＝－)＋－)，即＝＋，所以A，B，C，M四点共面.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3为空间向量的一组基)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为 A.，－，－1 B.，，1 C.－，，1 D.，－，1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中 心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝　　　. － 如图所示，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用{，，}作为空间向量 的一组基，则＝　　　 　　　　. ＋＋) 因为2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以＝＋＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(一题多解)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且＝＋＋m，则实数m＝　　. . 法一：＝－＋＋m－＋－m＋m＝＋－)＋m(－)＋＋m－＝＋＋m＋，即＝＋m＋，由共面向量定理可得m－＝0，故m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，利用此结论可得＋＋m＝1，解得m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，且＝ a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量； 解：＝＋＝－＋＝b＋c－a. (2)设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示. 解：＝＋＝－＋＝－＋)＋＋) ＝－＋＝(c－b). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 11.(多选题)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则能作为空间一组基的向量组是 A.{x，y，z} B.{x，y，a} C.{b，c，z} D.{a，b，x} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，作平行六面体ABCD-A1B1C1D1，使＝a，＝b，＝c，则＝x，＝y，＝z，由平行六面体的性质知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面.又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点.记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝　　　. . 如图所示，设＝λ，因为＝＋＋ ＋＝－λ－＋＋＝－λ－ ＋＋＝－＋＋，又已 知＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1， z＝－λ.又因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(新角度)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能 的位置所构成的几何体的体积是　　；表面积是　　　　. . 1＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足 0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A1C1D1内，满足0≤y ≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1-BB1C1内，故同时满足0 ≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共 部分(如图)，即三棱锥A-A1C1D1内，其体积是 × ×1×1×1＝，其表面积是2××1×1＋2××1×＝1＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方 形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点. 解：证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成 空间向量的一组基，且｜a｜＝｜b｜，a·b＝b·c＝c·a＝0. 依题意得＝－＝c－b，＝＋＝a＋b， ＝＋)＝a＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设＝x＋y(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc， 因此 又不共线，所以，，共面. 又直线DE不在平面ACF内， 所以DE∥平面ACF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：BD⊥AE； 解：证明：依题意得＝＋＝b－a，＝＋ ＝＋＋＝－a－b＋c＝c－a－b， 则·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0， 因此⊥，从而BD⊥AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：由AB＝CE，设｜a｜＝｜b｜＝2，则｜c｜＝， 假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE. 由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＋λ＝ λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)， 则一定有CG⊥DE，而＝c－b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝， 易知CG⊥BD，所以点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知四面体O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC 的中点，所以＝＋)＝－2＋)， ＝＝－2＋)，因为＝3， 所以＝＝＋)＝ ＝＋＋.所以x＝，y＝，z＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重 心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平 面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝ m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值， 并求出该定值. 证明：连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{，，}为空间的一组基， 则＝＝＋)＝＋×＝＋×＋)＝＋－)＋－)＝＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点D，E，F，M共面， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理， 知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， 所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4， 即＋＋为定值，定值为4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 3.1　空间向量基本定理 返回 $