第2章 3.1 抛物线及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，以迫击炮弹道实例导入，通过直尺、三角板实验抽象出“到定点与定直线距离相等”的定义，对比椭圆双曲线建系方法推导标准方程，搭建知识支架。 其亮点在于通过实验探究培养数学眼光，定义辨析与分类讨论发展数学思维，表格梳理与步骤总结规范数学语言。如用弹道实例联系生活，跟踪训练中方程变形应用定义判断轨迹，助力学生直观理解，教师可借随堂演练提升教学效率。

3.1 抛物线及其标准方程 第二章　§3　抛物线 <<< 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 学习目标 在关于战争的电视剧中，经常会出现一种便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，所以地面上防迫击炮的工事必须是有顶盖的.故研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要走入课堂去看一看这种曲线——抛物线. 导 语 一、抛物线的定义 二、求抛物线的标准方程 课时对点练 三、抛物线标准方程的应用 随堂演练 内容索引 抛物线的定义 一 提示　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直 角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作 直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直 角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处， 另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 问题1 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的　　　　　的点的集合(或轨迹)叫作抛物线. 2.这个定点F叫作抛物线的　　　. 3.这条定直线l叫作抛物线的　　　. 距离相等 焦点 准线 知识梳理 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 注 意 点 <<< 8 　 (1)在平面内，到直线x＝2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 √ 例 1 因为点P(2，0)在直线x＝2上，所以所求点的轨迹是一条直线. 解析 9 (2)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 √ 如图，设P为满足条件的一点，显然点P到点A的距离等于到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，即所求圆心的轨迹为抛物线. 解析 10 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上. 反 思 感 悟 11 　已知动点M的坐标满足方程13＝|12x＋5y－12|，则动点M的轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.以上都不对 跟踪训练 1 √ 将方程13＝|12x＋5y－12|变形为，易知此式表示动点M(x，y)到定点(0，0)的距离与其到定直线12x＋5y－12＝0的距离相等，且定点不在定直线上，结合抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以定点(0，0)为焦点，定直线12x＋5y－12＝0为准线的抛物线. 解析 12 二 求抛物线的标准方程 提示　我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K， 并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系.设|KF|＝p (p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线 的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}. 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0). 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，能使所求抛物线的方程形式简单？ 问题2 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   _____________ ________ ________   _______________ _________ ______ y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝－ x＝ 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   _____________ ________ ________   _______________ _________ ______ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) y＝－ y＝ (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的符号. (4)解题时首先把方程化为标准方程. 注 意 点 <<< 17 　(课本例1)　根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点坐标为(2，0)； 例 2 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 其焦点坐标为＝2，故2p＝8. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x. 解 18 (2)准线方程为x＝－. 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0). 则其准线方程为x＝－，根据题意有－＝－，故2p＝6. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝6x. 解 19 　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为y＝； 例 2 易知抛物线的准线交y轴于正半轴， 且，则p＝， 故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. 解 20 (2)经过点(－3，－1)； 因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝， 此时抛物线的标准方程为y2＝－x； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 此时抛物线的标准方程为x2＝－9y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. 解 21 (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 解 22 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 反 思 感 悟 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 23 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　，准线方程为　　　　 . 跟踪训练 2 2 x＝－1 因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. 解析 24 (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________ 　　　　　　 . x2＝10y 或x2＝－10y 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 解析 25 抛物线标准方程的应用 三 (课本例2)　已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 例 3 因为抛物线的焦点到准线的距离p＝，所以所求抛物线的标准方程为 y2＝x， 其焦点坐标为，准线方程是x＝－. 解 27 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y＝－x2； 例 3 抛物线方程y＝－x2的标准形式为x2＝－4y，又p>0，所以p＝2，所以 焦点坐标是(0，－1)，准线方程是y＝1. 解 28 (2)x＝ay2(a≠0). 抛物线方程的标准形式为y2＝x，所以2p＝. ①当a>0时，， 所以焦点坐标是，准线方程是x＝－； ②当a<0时，＝－， 所以焦点坐标是，准线方程是x＝－. 综上所述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 解 29 求抛物线焦点坐标和准线方程的方法 (1)先将抛物线方程化成标准形式，再判断抛物线的焦点位置，最后准确地求出p的值. (2)抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－，不必讨论a的正负. 反 思 感 悟 30 (1)抛物线x2＝－3y的准线方程是 A.y＝－ B.y＝ C.x＝－ D.x＝ 跟踪训练 3 √ 由已知得p＝， 所以其准线方程为y＝. 解析 31 (2)已知抛物线ax2＝y(a≠0)的焦点到准线的距离为，则实数a等于 A.±1 B.±2 C.± D.± √ 把抛物线方程ax2＝y(a≠0)化为标准方程，得x2＝y， ∵抛物线的焦点到准线的距离为， ∴，∴a＝±1. 解析 32 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程的四种形式. 2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归. 3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件. 解析 1 2 3 4 2.抛物线y＝－x2的准线方程是 A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 √ 将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2. 解析 1 2 3 4 3.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为 A.(1，0) B. C. D.(0，1) √ 由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝y， 则焦点坐标为. 解析 1 2 3 4 4.以双曲线＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　 . y2＝16x ∵双曲线的方程为＝1， ∴右顶点的坐标为(4，0). 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 则＝4，即p＝8， ∴抛物线的标准方程为y2＝16x. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B CD AC 题号 11 12 13 14 15 答案 BD C 8 x＝－2 D 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛 物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0). 将点P的坐标分别代入上述方程， 解得p1＝4，p2＝. 因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝－8x和x2＝－y. (2)椭圆+y2＝1的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2，0)，所以 抛物线的标准方程为y2＝－4x和y2＝4x. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16，可得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4+＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2). 又F(1，0)， 所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝x－1). 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则直线MN的方程为y＝－x+2. 解方程组 得所以N. 基础巩固 1.过点P(0，2)且与x轴相切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 √ 由题意可知，动圆的圆心到点P的距离与到x轴的距离相等，满足抛物线的定义. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 抛物线的标准方程为y2＝ax，则其焦点坐标为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.抛物线y＝x2的准线方程是 A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2 √ 因为y＝x2，所以x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是 A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y √ 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则(－)2＝2p， 解得p＝1，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为 A.2 B.－2 C.2 D.－2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则焦点为F. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， ∴ ∴m＝±2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)点M(5，3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是 A.y＝x2 B.y＝12x2 C.y＝－x2 D.y＝36x2 √ √ 分两类：a>0，a<0， 可得y＝x2，y＝－x2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为　　　. 抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设点F为抛物线C：y2＝2x的焦点，点A在抛物线C上，点B，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝　　　　. 因为抛物线C：y2＝2x的焦点为F， 所以|AF|＝|BF|＝1， 由抛物线的定义知A(不妨设A在第一象限)， 所以|AB|＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)经过点P(－2，－4)； 如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物 线的标准方程为 y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0). 将点P的坐标分别代入上述方程， 解得p1＝4，p2＝. 因此，满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y2＝－8x和x2＝－y. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)焦点为椭圆＋y2＝1的焦点. 椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x和y2＝4x. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设点A在第一象限且A(m，n)， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16， 可得·2m·n＝16，解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)对标准形式的抛物线，给出下列条件，其中满足抛物线方程为y2＝10x的是 A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足； 设M(1，y0)是y2＝10x上一点， 则|MF|＝1＋＝1＋≠6，所以C不满足； 由于抛物线y2＝10x的焦点为， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，若由原点向该直 线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以D满足. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则||＋||＋||等于 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 又F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1， 由＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3， ||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝　　　. 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，∠AFE＝60°， 因为F(2，0)，所以E(－2，0)， 则＝tan 60°， 即|AE|＝4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8. 解析 14.已知F1，F2分别为双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＝－2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得双曲线的方程为＝1， 所以c2＝a2＋3a2＝4a2，所以c＝2a， 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合. 由题意得 所以|PF2|＝6－a. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得 3x2－8ax－3a2＝0， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以x＝－(舍)或x＝3a. 由抛物线的定义得6－a＝3a－(－2a)， 所以a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接PC1(图略)，∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴直线C1D1⊥侧面BB1C1C，∴C1D1⊥PC1，则|PC1|为点P到直线C1D1的距离. 又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，∴动点P的轨迹所在的曲线是抛物线. 解析 16.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 解 (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).又F(1，0)， 所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1). 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 则直线MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组 所以N. 解 第二章　§3　抛物线 <<< $