第1章 2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程综合应用，核心内容包括待定系数法、几何法求圆的标准方程及圆的简单几何性质。通过复习圆的标准方程基础导入，结合过点求方程、圆心在定直线上等例题，搭建从代数运算到几何性质应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以例题变式和几何性质应用为核心，通过几何法中垂直平分线求圆心体现数学思维的推理能力，结合对称范围等性质培养数学眼光的几何直观，用规范方程表达强化数学语言的精确性。学生能提升方程应用与几何推理能力，教师可借助分层训练提升教学效率。

第2课时 圆的标准方程的综合应用 第一章　2.1　圆的标准方程 <<< 1.掌握利用待定系数法、几何法求圆的标准方程. 2.掌握圆的一些简单的几何性质. 学习目标 一、待定系数法求圆的标准方程 二、几何法求圆的标准方程 课时对点练 三、圆的简单几何性质 随堂演练 内容索引 待定系数法求圆的标准方程 一 　已知圆P过点A(1，0)，B(4，0).若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程. 例 1 设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 故圆P的标准方程为. 解 5 本例中“圆P还过点C(6，－2)”改为“圆心P的纵坐标为2”，求圆P的标准方程. 延伸探究 由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为，故圆心P， 故圆P的半径r＝， 故圆P的标准方程为＋(y－2)2＝. 解 6 根据条件设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可. 反 思 感 悟 7 二 几何法求圆的标准方程 　(课本例3)　求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x+y－3＝0上的圆的标准方程. 例 2 9 方法一　设该圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2. 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上， 可得方程组 ①－②，得 (1－a)2+(3－b)2＝(4－a)2+(2－b)2， ④ 化简、整理，得3a－b－5＝0. ⑤ 解 10 联立③⑤解得 代入①，得r2＝5. 故所求圆的标准方程为(x－2)2+(y－1)2＝5(如图(1)). 方法二　如图(2)，连接AB，作AB的垂直平分线交AB 于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交 点.线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0. 解 11 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得即圆心C的坐标为(2，1). 又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2+(3－1)2＝5， 故所求圆的方程为(x－2)2+(y－1)2＝5. 解 12 　在①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的标准方程；若问题中的圆不存在，请说明理由. 问题：是否存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？ 例 2 13 因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上， 所以圆心在直线AB的垂直平分线上， 又直线AB的方程为y＝－1， 所以直线AB的垂直平分线所在直线的方程为x＝＝－， 则可设圆心坐标为，圆的半径为r， 若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上. 由 解 14 即直线l1和l2的交点为， 则圆Q过点， 所以r2＝＋(b＋1)2， 解得b＝－1，则r2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上. 由圆心在直线2x－y＝0上， 解 15 可得2×－b＝0，则b＝－1， 所以r2＝＋(－1＋1)2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 解 16 求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径： (1)圆心在弦的垂直平分线上； (2)过圆心的直线平分圆； (3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时，r＝|a|. 反 思 感 悟 17 过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 跟踪训练 1 √ 18 方法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0， 则有 即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解析 19 圆的简单几何性质 三 提示　|x|≤，|y|≤. 对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y的取值范围是怎样的？ 问题1 提示　在圆上. 对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？ 问题2 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 (1)范围：|x|≤r，|y|≤r. (2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. 知识梳理 (1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于 A.3 B.2 C.5 D.1 √ 例 3 由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3. 解析 24 (2)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，圆上任意一点P(x，y)，点F(2，0)，O为坐标原点，求·的取值范围. ·＝(x，y)·(2，0)＝2x， 由圆C：x2＋(y－1)2＝2的几何性质知－≤x≤， ∴2x∈[－2，2]. 则·的取值范围是[－2，2]. 解 25 (1)对于圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的范围是|x－a|≤r，|y－b|≤r. (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的对称轴经过圆心(a，b). 反 思 感 悟 26 若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是 A.2 B.－2 C.1 D.－1 跟踪训练 2 √ ∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)， 即1＝k＋3，∴k＝－2. 解析 27 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)圆的简单几何性质. 2.方法归纳：几何法、待定系数法. 3.常见误区：不能正确应用圆的几何性质而致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若圆(x＋k)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝x＋2对称，则k等于 A.2 B.－2 C.1 D.－1 √ 由题意知直线经过圆的圆心，把圆心(－k，1)代入直线y＝x＋2，得1＝－k＋2，解得k＝1. 解析 1 2 3 4 2.已知圆C过点(2，1)且与x轴相切于点A(1，0)，则圆C的半径为 A.2 B.1 C.4 D. √ 设圆心C(a，b)，半径为r，根据题意可得|b|＝r，所以(x－a)2＋(y－b)2 ＝b2，所以所以r＝1. 解析 1 2 3 4 3.过点A(0，0)，B(2，2)且圆心在直线y＝2x－4上的圆C的标准方程为 A.(x－2)2＋y2＝4 B.(x＋2)2＋y2＝4 C.(x－4)2＋(y－4)2＝8 D.(x＋4)2＋(y－4)2＝8 √ 设圆心为C(a，2a－4)，由|AC|＝|BC|可得， 解得a＝2，所以圆心C(2，0)，圆的半径r＝|AC|＝2， 因此，所求圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. 解析 1 2 3 4 4.过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的标准方程为___________ 　　　　　　. (x－2)2＋ (y－1)2＝25 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0， 所以 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B A B AD x－y+3＝0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 －4 D ABD 7，3 2x－3y－13＝0 CD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆. 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2. 则 解得 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2+(y－3)2＝5， 把点D(3，4)代入圆的标准方程，得左边＝(3－1)2+(4－3)2＝5＝右边， 所以点D在经过A，B，C三点的圆上. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y－15＝0的交点. ∵AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， ∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x+3. 由 即圆心C(－3，6). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x+3)2+(y－6)2＝40. (2)∵点Q(－1，m)(m>0)在圆C上， ∴m＝12或m＝0(舍去)， ∴Q(－1，12)， 则|AQ|＝12， 直线AQ的方程为x＝－1， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点B到直线AQ的距离为4， ∴△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意，知E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3). ∵所求圆的圆心在y轴上， ∴设圆的标准方程为(x－0)2+(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， ∵F(3，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ∴圆的标准方程是x2+(y+3)2＝36. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)， 则|CP|＝h+0.5. 将点P的横坐标x＝代入圆的标准方程， 得2+(y+3)2＝36， 得y＝2或y＝－8(舍去). ∴h＝|CP|－0.5＝2+2－0.5＝3.5(m). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m. 基础巩固 1.圆心在y轴上，半径长为，且过点(1，－2)的圆的标准方程为 A.x2＋(y＋1)2＝2 B.x2＋(y－3)2＝2 C.x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2 D.x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆心为(0，a)，则圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝2，将点(1，－2)代入圆的标准方程得12＋(－2－a)2＝2，解得a＝－1或a＝－3， 所以圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2. 解析 2.方程(x－1)＝0所表示的曲线是 A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (x－1)＝0可转化为x－1＝0或x2＋y2＝3， 因此表示一条直线和一个圆. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于 A.9 B.－9 C.1 D.－1 因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆C过点(0，1)，(－2，3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为 A.(x＋3)2＋y2＝10 B.(x－3)2＋y2＝10 C.(x＋4)2＋y2＝10 D.(x－4)2＋y2＝10 √ 设圆C的圆心C(m，0)，m<0，半径为r， 则 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝10. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知三点A(2，0)，B(1，)，C(3，)，则△ABC的外接圆的圆心到原点O的距离为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵△ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，即直线x＝2上， 可设圆心P(2，p)， 由|PA|＝|PB|得|p|＝， 解得p＝， ∴圆心坐标为P， ∴圆心到原点的距离|OP|＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是 A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5 C.x2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 √ √ 由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，则直线l的方程是　　　　 . x－y＋3＝0 因为直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，所以直线l过圆心(0，3)，斜率为1，即直线l的方程是x－y＋3＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为　　　. －4 ∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1，1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4，即x2－4y的最小值为－4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知A(0，1)，B(2，1)，C(－1，2)，这三点能否确定一个圆？若能，判断点D(3，4)与该圆的位置关系. 由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆. 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5，把点D(3，4)代入圆的标准方程，得左边＝(3－1)2＋(4－3)2＝5＝右边， 所以点D在经过A，B，C三点的圆上. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上. (1)求圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点. ∵AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， ∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 由即圆心C(－3，6). ∴半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积. ∵点Q(－1，m)(m>0)在圆C上， ∴m＝12或m＝0(舍去)，∴Q(－1，12)， 则|AQ|＝12，直线AQ的方程为x＝－1， 点B到直线AQ的距离为4， ∴△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 A.4 B.5 C.8 D.9 √ 根据题意，得A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，故A中共有9个元素. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根， 故点(3，0)不在圆Ck上，B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0，∴方程k2－4k＋2＝0有两个不等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.圆x2＋y2＝4上的点到点A(3，4)的距离的最大值和最小值分别为　　　. 7，3 ∵32＋42＝25>4，∴点A(3，4)在圆外，已知圆的半径r＝2，圆心为坐标原点O，|OA|＝＝5，故圆上的点到点A的最大距离为|OA|＋r＝7，最小距离为|OA|－r＝3. 解析 14.过点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，使点P平分AB，则弦AB所在的直线方程是　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2x－3y－13＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆x2＋y2＝20的圆心为O，则O(0，0). 由P是AB的中点，知AB⊥OP. 因为22＋(－3)2＝13<20， 所以点P在圆O内，且kOP＝＝－， 所以弦AB所在直线的斜率kAB＝－， 则弦AB所在直线的方程是y＋3＝(x－2)， 即2x－3y－13＝0. 解析 拓广探究 15.(多选)对于圆x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的值可以为 A.－ B.0 C. D.2 √ √ 设x＝cos α，y＝sin α， 则x＋y＋m＝cos α＋sin α＋m≥0恒成立， －m≤cos α＋sin α＝sin， ∵sin∈[－]，∴－m≤－， 则m≥. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，总高MN为5 m.以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系. (1)求圆弧所在的圆的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3). ∵所求圆的圆心在y轴上， ∴设圆的标准方程为 (x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， ∵F(3，0)，M(0，3)都在圆上， ∴ ∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36. 解 (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)， 则|CP|＝h＋0.5. 将点P的横坐标x＝代入圆的标准方程， 得()2＋(y＋3)2＝36， 得y＝2或y＝－8(舍去). ∴h＝|CP|－0.5＝2＋2－0.5＝3.5(m). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m. 解 第一章　2.1　圆的标准方程 <<< $