2.3.2 抛物线的简单几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.3.2 抛物线的简单几何性质 抛物线的概念及其标准方程 定义：一般地，我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 y2=2px (p＞0) x轴正半轴 y2=-2px (p＞0) x轴负半轴 x2=2py (p＞0) y轴正半轴 x2=-2py (p＞0) y轴负半轴 问题1：类比椭圆、双曲线，我们应从哪些方面去研究抛物线的几何性质？ 分析：分别从“形”和“数”的角度，研究范围、对称性、顶点、离心率等. 思考：观察直角坐标系中的抛物线，你能从图上看出它的范围吗？试着利用它的方程给出证明？ 分析：从“形” 的角度观察， 抛物线的范围 ， ∈ . 证明：由()，因为，且，所以， ∈ . 问题2：观察抛物线图像，说说抛物线具有怎样的对称性？并试着证明. 分析：从“形” 的角度观察， 抛物线有对称轴，但没有对称中心. 证明：由()，得， 即，所以关于轴对称； 通常把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 6 问题3：类比椭圆、双曲线，你觉得抛物线有哪些比较特殊的点？试着通过抛物线的方程得到这些点的坐标点. 分析：抛物线与坐标轴的一个交点. 由()，当时，， 所以抛物线只有一个顶点，即原点(0，0). 问题4：抛物线的离心率是什么？ 定义：抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离为的比，叫做抛物线的离心率，用表示. 由抛物线的定义可知1. 例1：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 ，求它的标准方程. 分析：抛物线开口方向→设抛物线方程→代入点坐标→确定系数的值→得到抛物线方程. 解：设抛物线的标准方程为() ，因为点 在抛物线上，故有 () ，解得2. 所以，所求抛物线的标准方程为. 思考：将题中“关于轴对称”改为“关于坐标轴对称”，结果会有什么变化？ 变式训练：将“关于 x 轴对称”改为“关于坐标轴对称”，结果有何变化？ 解：①设抛物线的标准方程为() . 因为点 在抛物线上，故有 ，解得2. 所以，所求抛物线的标准方程为； ②设抛物线的标准方程为(). 因为点在抛物线上，故有 ，解得 ，所以. 综上所述，所求抛物线的标准方程，. 例2：斜率为1的直线经过抛物线的焦点.且与抛物线相较于 两点，求线段的长. 解法一：设直线方程为，则，整理得. 解得或， 即，. 由两点间距离公式得||= = 8，即线段的长为8. 思考：能否不求出 两点的坐标而求出||吗？ 解法二：由，得6， 1. =()² =6²1=32，= =32. 整体代入：所以||==8，即线段的长为8. 思考：还有更简便的方法吗？ 例2：斜率为1的直线经过抛物线的焦点.且与抛物线相较于 两点，求线段的长. 解法三 ：(数形结合) ||= ||，||= |，那么 ||= ||+||= ||+ ||； 因为∥轴，所以||= + ， 同理||= + ，||= ||+||= ||+ ||= + + . 由题意 =2，且由解法二可知+ =6，||= + + =8， 所以线段的长为8. 焦点弦 思考： 如果直线不经过焦点，那么||还等于 + + 吗？ ||+||= + + ＞ || 【方法归纳】 解法一： 联立直线与抛物线方程，解方程组. 思路顺畅，具有一般性；但计算量大 解法二： 应用根与系数的关系. 简化计算；但需要掌握技巧 解法三： 用抛物线定义转化. 运算极简；但适用有局限性 15 1.若抛物线上有两点且垂直于轴,若, 则抛物线的焦点到直线的距离为( ) 分析：线段所在的直线方程为，抛物线的焦点坐标为(，0)， 则焦点到直线的距离为，故选A. A 16 2.在抛物线上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) 解：抛物线的顶点焦点 设符合题意，则有 所以符合题意的点为. D 17 1.从“形”和“数”的角度研究抛物线的简单几何性质 2.体会并学会运用类比、数形结合的数学思想 今天你学到了哪些知识？ $