第1章 习题课 对称问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦对称问题，系统涵盖点点、点线、线线对称及光的反射、最值应用等核心内容，通过定义公式导入，结合实例逐步深入，构建从基础到应用的知识支架，衔接直线与圆的前期知识。 其亮点在于以“将军饮马”“光线反射”等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过对称点求解的逻辑推理培养数学思维，以规范公式与方程表达解决过程。学生能深化知识理解，教师可提升教学效率，助力核心素养落地。

习题课 对称问题 第一章　直线与圆 <<< 1.学会解决点点、点线、线线对称问题. 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 学习目标 1.点关于点对称 设点P(x1，y1)关于点Q(x0，y0)的对称点为点P'(x2，y2)，则点Q是点P与点 P'的中点，根据中点坐标公式，有可得对称点P'(x2，y2)的 坐标为(2x0－x1，2y0－y1). 2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为P'(x2，y2)，连接PP'，交l于M点，则l垂直平分线段PP'，所以PP'⊥l，且PP'的中点M在直线l上， 故可得解出(x2，y2)即可. 3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. 4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，利用点Q关于直线l2对称求出其对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. 5.常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). 点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). 点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). 点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k). 一、几类常见的对称问题 二、光的反射问题 三、利用对称解决有关最值问题 内容索引 课时对点练 随堂演练 几类常见的对称问题 一 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； 例 1 设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即 所以点P'的坐标为(－2，7). 解 10 (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 11 解方程组 则点在所求直线上. 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则 解 12 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程. 解 13 在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4).因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为， 即3x－y－17＝0. 解 (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 14 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a－x，2b－y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 反 思 感 悟 15 　已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； 跟踪训练 1 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 解得 所以R的坐标为 . 解 16 (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0. 解 17 二 光的反射问题 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程. 例 2 19 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上 得 解得 所以A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 解 20 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立 解得即交点Q， 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为y＝3. 解 21 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. 解 22 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 反 思 感 悟 23 如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 A.2 B.6 C.3 D.2 跟踪训练 2 √ 24 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2. 解析 25 利用对称解决有关最值问题 三 　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值最大； 例 3 27 如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl＝－1， 即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴－1＝0，即a－b－6＝0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，－1). 于是AB'所在直线的方程为，即2x＋y－9＝0. 解 28 易知||PB|－|PA||＝||PB'|－|PA||，当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB'|－|PA||最大. 联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝， 即直线l与AB'的交点坐标为. 故点P的坐标为. 解 29 (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小. 如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为(1，2)， ∴AC'所在直线的方程为， 即x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC'|，当且仅当Q，A，C' 三点共线时，|QA|＋|QC'|最小. 联立直线l与AC'的方程，解得x＝，y＝， 即直线AC'与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 解 30 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 反 思 感 悟 31 已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为　　　　. 跟踪训练 3 32 根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y＝x的对称点为A'(x，y)， 所以 解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|＋|MB|的最小值，|A'B|＝. 解析 33 1.知识清单： (1)常见的对称问题. (2)光的反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是 A.(－1，－3) B.(17，－9) C.(－1，3) D.(－17，9) √ 设点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)， 则由 所以该点的坐标为(－1，－3). 解析 1 2 3 4 2.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是 A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 1 2 3 4 √ 在直线 x－2y＋1＝0上任取两点， 不妨取点(1，1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1，1)，， 两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 解析 3.若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则 A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1 C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2 由 解析 1 2 3 4 √ 4.已知A(3，0)，B(0，3)，从点P(0，2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为 A.2 B.6 C.3 D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0，2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)， 设点P(0，2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图， ∴ 解得∴P2(1，3)， ∴光线所经过的路程为|PQ|＋|QM|＋|MP|＝|P1P2|＝. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C C B CD ACD 题号 9 10 11 12 答案 AC 2 x－2y－4＝0　2x－y－4＝0 10 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7＝0. 解方程组得交点P. 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为时，△MPQ的周长最小. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1， －2)，点B关于直线x－y+3＝0的对称点为B'(－3， m+3). 根据光学知识，知点C在直线A'B上，点C又在直线 B'A上，且直线A'B的方程为y＝x－m). 由 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝x－1)， 由 得x＝. 所以， 即3m2+8m－3＝0， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得m＝或－3.当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y+3＝0上，不能构成 三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. (2)由(1)得m＝， 则直线A'B的方程为3x+y－1＝0， 即直线BC的方程为3x+y－1＝0. 一、单项选择题 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是 A.4 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据中点坐标公式得 所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝. 解析 2.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于 A.－1 B.1 C.2 D.0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ ∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上， ∴点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. 解析 3.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l'关于直线x＋y＝0对称，则l'的方程为 A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0 C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l'的方程，则l'：a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0. 解析 4.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是 A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0 C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线方程l'为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， ∴， 化简得|c－1|＝7， 解得c＝－6 或c＝8，∴l'的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0， 即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 解析 5.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为 A.5 B.2 C.5 D.10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 点A(－3，5)关于x轴的对称点A'(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A'B|的长， |A'B|＝＝5. 即光线从A到B的路程为5. 解析 6.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离.结合上述观点，可得f(x)＝的最小值为 A.2 B.5 C.4 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵f(x)＝ ＝， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和， 设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A'， 则A'(－2，－4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|＝|MA'|＋|MB|≥|A'B|＝＝5，当且仅当A'，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)＝的最小值为5. 解析 二、多项选择题 7.一束光线自点(2，3)射入，经y轴反射后过点(3，0)，则下列点在反射光线所在直线上的是 A.(－9，8) B.(3，1) C.(－7，6) D.(－12，9) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 解析 点(2，3)关于y轴的对称点为点(－2，3)，则反射光线所在直线经过点(－2，3)和点(3，0)， 所以反射光线所在的直线方程为，即3x＋5y－9＝0. 对于A，当x＝－9时，y＝≠8，所以A错误； 对于B，当x＝3时，y＝0≠1，所以B错误； 对于C，当x＝－7时，y＝6，所以C正确； 对于D，当x＝－12时，y＝9，所以D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知直线l：x－y＋1＝0，点M(1，3)，N(－1，1)，点P(x，y)为直线l上任意一点，则下列说法正确的是 A.点M关于直线l的对称点坐标为(2，2) B.点N关于直线l的对称点坐标为(0，－1) C.|PM|＋|PN|的最小值为 D.当|PM|＋|PN|取最小值时，点P的坐标为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，如图，作M关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为M'，设M'(a，b)， 则有 解得则M'(2，2)，故A正确； 对于B，同A的方法，可求得点N关于直线l的对称点坐标为(0，0)，故B不正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，|PM|＋|PN|的最小值为|M'N|＝ ，故C正确； 对于D，由两点式方程可知，直线M'N的方程为x－3y ＋4＝0，与x－y＋1＝0联立解得点P的坐标为，故D正确. 解析 9.已知直线l1：x＋y＝0，l2：2x－3y－6＝0，则下列说法正确的是 A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x－3y＋6＝0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x－2y＋6＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由 解得x＝，y＝－， 所以交点坐标为，A选项正确； 直线l2：2x－3y－6＝0与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，－2)， 直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×，所以B选项错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过 点(－3，0)，(0，2)， 所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y－2＝ (x－0)，即2x－3y＋6＝0，所以C选项正确； 点(3，0)关于直线x＋y＝0的对称点是(0，－3)， 点(0，－2)关于直线x＋y＝0的对称点是(2，0)， 所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为＝1， 即3x－2y－6＝0，所以D选项错误. 解析 三、填空题 10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为点B(－1，－4)，若将军从点A(－1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的最短总路程为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得 解得即C(7，4)， 在直线x＋y＝3上取点P， 由对称性可得|PB|＝|PC|， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马”的最短总路程为2. 解析 11.已知直线l1的方程为x－2y＋4＝0.若直线l1和直线l2关于点(0，0)对称，则直线l2的方程为　　　　　　　；若直线l1和直线l2关于直线y＝x对称，则直线l2的方程为　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x－2y－4＝0 2x－y－4＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 因为直线l1和直线l2关于点(0，0)对称， 在直线l2上任取一点A(x，y)，则A(x，y)关于点(0，0)对称的点A'(－x，－y)在直线l1上， 将点A'(－x，－y)代入直线l1可得－x＋2y＋4＝0， 所以直线l2的方程为x－2y－4＝0； 设直线l1与直线y＝x的交点为B(p，q)， 所以则B(4，4)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 在直线l1上取点C(0，2)，设C(0，2)关于直线y＝x对称的点为C'(s，r)， 则×1＝－1， ① 因为C(0，2)与C'(s，r)的中点坐标为， 所以， ② 由①②可得所以C'(2，0)， 因为直线l1和直线l2关于直线y＝x对称， 所以直线l2经过点B(4，4)和点C'(2，0)， 所以直线l2的方程为，即2x－y－4＝0. 12.如图，光线从P(a，0)(a>0)出发，经过直线l：x－2y＝0反射到Q(b，0)，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且b≥22，则实数a的最小值是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设点P关于直线l的对称点为P'(x0，y0)， 则 即P'， 因为在Q点被x轴反射后的反射光线恰与直线l平行， 所以kP'Q＝－＝－， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 化简得a＝b， 因为b≥22，所以a＝b≥×22＝10， 即实数a的最小值是10. 解析 四、解答题 13.已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P. 令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为时，△MPQ的周长最小. 解 14.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A'(1，－2)， 点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'(－3，m＋3). 根据光学知识，知点C在直线A'B上，点C又在直线B'A 上，且直线A'B的方程为y＝(x－m). 由 得x＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又直线AB'的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. 解 (2)求直线BC的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(1)得m＝， 则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 解 第一章　直线与圆 <<< $