课时分层评价7 两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

课时分层评价7　两点间的距离公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则｜AB｜＝(　　) A. B. C.1 D.2 答案：A 解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，)；令y＝0，得x＝1，设B(1，0).所以｜AB｜＝＝.故选A. 2.在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A.(5，5) B.(－1，1) C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1) 答案：C 解析：设点P(x，y)，则y＝.由｜PA｜＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，所以P(－1，1)或(5，5).故选C. 3.(多选题)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确，BCD正确.故选BCD. 4.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A.2 B.3＋2 C.6＋3 D.6＋ 答案：C 解析：由两点间的距离公式及题意得｜AB｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3.故选C. 5.若两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则｜AB｜的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得｜AB｜＝.故选C. 6.已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 答案：A 解析：由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，｜AD｜＝＝8＝｜BC｜＝，即lAD∥lBC，｜AD｜＝｜BC｜，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.故选A. 7.过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则｜AB｜＝　　　　　. 答案：2 解析：因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，所以kAB＝＝1，即a－b＝2，所以｜AB｜＝ ＝＝2. 8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为　　　　. 答案：(10，0)或(0，0) 解析：设Q(x0，0)，则有13＝，得x0＝0，或x0＝10，即点Q的坐标为(10，0)或(0，0). 9.(双空题)点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为　　　；经过点P且垂直于l的直线方程为　　　　　　　　　　. 答案：　x＋y－1＝0 解析：设点P的坐标是(a，a＋4)，由题意可知｜PM｜＝｜PN｜，即＝，解得a＝－，故点P的坐标是.所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－＝－(x＋)，即x＋y－1＝0. 10.(13分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与已知直线l1相交于点B，且使｜AB｜＝5，求直线l的方程. 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组 即B. 由｜AB｜＝＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过点A的直线l的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1，4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当｜AB｜取最小值时，实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：C 解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜＝ ＝＝ ＝，所以当a＝时，｜AB｜取得最小值.故选C. 12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2的值为(　　) A.5 B. C. D.与m的取值有关 答案：A 解析：直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A. 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝　　　　. 答案：10 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10. 14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值. 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B，C，A. 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为. 15.(5分)在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A.10 B.＋ C.14 D.＋ 答案：D 解析：依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD，因为｜PA｜＋｜PC｜≥｜AC｜，当且仅当P在对角线AC上时取得等号，因为｜PB｜＋｜PD｜≥｜BD｜，当且仅当P在对角线BD上时取得等号，所以｜PA｜＋｜PC｜＋｜PB｜＋｜PD｜≥｜AC｜＋｜BD｜＝＋＝＋，当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号.故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋.故选D. 16.(17分)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P在平行四边形ACOB的对角线的交点E处时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18.因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 学生用书⬇第25页 学科网（北京）股份有限公司 $