第1章 1.5 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容包括用解方程组求交点坐标、根据方程组解的个数判定直线位置关系。通过从平面几何定性研究过渡到代数定量研究，以二元一次方程表示直线为支架，搭建几何与代数的联系，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于问题驱动与分层训练结合，通过具体例题（如求两直线交点、直线系方程应用）和证明问题（三角形三条高交于一点），培养数学思维（运算、推理）和数学语言（符号表达）。课堂小结归纳消元法、直线系法等方法，学生能系统掌握知识，教师可利用随堂演练和课时对点练提升教学效率。

1.5 两条直线的交点坐标 第一章　直线与圆 <<< 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 学习目标 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等. 导 语 一、求相交直线的交点坐标 二、求过两条直线交点的直线方程 课时对点练 三、与交点有关的证明问题 随堂演练 内容索引 求相交直线的交点坐标 一 提示　由l1，l2的方程可知斜率分别为k1＝2，k2＝，从而k1≠k2，所以l1，l2不平行，因此从图形上看，l1，l2一定相交，显然l1，l2的交点既在直线l1上，又在直线l2上.也就是说，交点坐标既满足方程2x－y＋3＝0，又满足方程x－2y＋6＝0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标.解方程组 得所以这两条直线的交点坐标为(0，3). 由两条直线的方程l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，如何判断l1，l2是否相交呢？若相交，如何求出其交点坐标呢？ 问题1 一般地，对于两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的 或　　　　先定性判断两条直线是 否相交，若相交，可通过求解方程组得到两条直线l1， l2的　　　　　. 斜率(斜率存在时) 法向量 交点坐标 知识梳理 　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； 例 1 解方程组 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1). 解 8 (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； 方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合. 解 (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 解 9 求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想. 反 思 感 悟 10 　若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 A.－6<k<－2 B.－5<k<－3 C.k<－6 D.k>－2 跟踪训练 1 √ 解方程组 ∵直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限， ∴ 解得－6<k<－2. 解析 11 二 求过两条直线交点的直线方程 提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 问题2 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 知识梳理 　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程. 例 2 15 方法一　解方程组 得即l1与l2的交点坐标为(－1，2). 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即5x＋3y－1＝0. 解 16 方法二　由于直线l⊥l3， 故直线l满足5x＋3y＋C＝0. 又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0， 解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 解 17 方法三　由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 其斜率为－＝－，解得λ＝， 则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 解 18 本例变为求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l4的方程. 延伸探究 1 l1与l2的交点坐标为(－1，2)， 又直线3x＋y－1＝0的斜率为－3， 所以所求直线l4的方程为y－2＝－3(x＋1)， 整理得3x＋y＋1＝0. 解 19 本例变为求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且过原点的直线l5的方程. 延伸探究 2 设所求直线方程为 3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 将(0，0)代入上式，解得λ＝1， 所以所求直线l5的方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0. 解 20 求经过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可. 反 思 感 悟 21 与交点有关的证明问题 三 已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点. 例 3 23 kAB＝，kBC＝， 则AB，BC边上的高所在直线的斜率分别为－，－3， 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)， 由 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为， 证明 24 又AC边上的高所在的直线方程为y＝x＋1， ∵点满足方程y＝x＋1. 故△ABC的三条高所在的直线交于一点. 证明 25 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上. 反 思 感 悟 26 　已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值； 跟踪训练 2 ∵l1与l2平行，则 解得m＝－4. 解 27 (2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上. 联立 解得x＝，y＝－， ∴点A， ∵x＝＝1－＝1＋2y， 即x－2y－1＝0(y≠0). 因此，点A在直线x－2y－1＝0(y≠0)上. 解 28 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法. 3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) √ 解方程组 解析 1 2 3 4 2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点 A.(－3，－1) B.(－2，－1) C.(－3，1) D.(－2，1) 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令 ∴直线l恒过定点(－3，1). 解析 √ 1 2 3 4 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为　　　　　　　. 2x＋y－4＝0 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5. ∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 解析 1 2 3 4 4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k ＝　　 . － 解方程组 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D ABC －2 2x－y＝0 题号 11 12 13 14 15 答案 AC － 2 (－∞，－3]∪[1，+∞) ACD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程组 解得 所以交点坐标为. 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y+×， 即27x+54y+37＝0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由 解得 所以点P的坐标为(1，2). (2)易知直线l与坐标轴不平行， 设直线l：y－2＝k(x－1)，k≠0. 当x＝0时，y＝2－k； 当y＝0时，x＝1－， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此可得 解得k＝－1或k＝－4， 故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或y－2＝－4(x－1)， 即x+y－3＝0或4x+y－6＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为， 即4x－y－20＝0. 基础巩固 1.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A.(－4，－3) B.(4，3) C.(－4，3) D.(3，4) √ 由方程组 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为 A.12 B.10 C.－8 D.－6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 解析 3.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是 A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0 C.3x＋19y＝0 D.19x－3y＝0 √ 由 故过点 和原点的直线方程为y＝－x， 即3x＋19y＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0，2)，B(2，0).直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2，1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满 足：kPB<k<kPA，即－<k<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以 故直线过定点. 解析 6.(多选)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为 A.1 B.－1 C.－2 D.2 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三条直线不能围成三角形，有可能三条直线互相平行或有其中两条平行，还可能有共同交点. 若l1和l3平行，则，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l2和l3平行，则，解得a＝1，此时l1，l2，l3重合；若l1和l2平行，则， 解得a＝±1， 故当a＝1时，l1，l2，l3重合，当a＝－1时，l1∥l2； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若三条直线交于一点，则交点为(1，－1－a)，代入l2：x ＋ay＋1＝0得1－a(1＋a)＋1＝0， 解得a＝－2或a＝1(舍去). 综上可得，实数a所有可能的值为－1，1，－2. 解析 7.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线上，所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2. 解析 8.已知直线x＋y＋＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2x－y＝0 由直线x＋y＋＋2＝0， 得(x＋1)＋y＋2＝0， 令 解得x＝－1，y＝－2， ∴直线x＋y＋＋2＝0恒经过定点(－1，－2)， ∴过这一定点和原点的直线方程是，即2x－y＝0. 解析 9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程. 由方程组 所以交点坐标为. 又因为直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋×， 即27x＋54y＋37＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l1：2x－y＝0，l2：x－2y＋3＝0，且l1，l2的交点为P. (1)求点P的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 所以点P的坐标为(1，2). 解 (2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知直线l与坐标轴不平行， 设直线l：y－2＝k(x－1)，k≠0. 当x＝0时，y＝2－k；当y＝0时，x＝1－， 因此可得 解得k＝－1或k＝－4， 故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或y－2＝－4(x－1)， 即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0. 解 11.(多选)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 A.x＋y＋1＝0 B.x－y＋1＝0 C.3x＋4y＝0 D.4x＋3y＝0 √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝. 由， 得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 解析 12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中 点为M(1，－1)，则直线l的斜率等于　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － 设A(xA，1)，B(xB，xB－7)，则有＝－1， 故xB＝4，则B(4，－3)， 故直线l的斜率为＝－. 解析 13.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 解方程组 代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2. 解析 14.已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为　　　　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直 线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C， 由图可知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点 在线段CB(不包含点C)上时，a大于或等于直线DB的斜率， 即a≥＝1，即a≥1； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC (不包含点C)上时，a小于或等于直线DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞). 解析 15.(多选)已知平面上三条直线分别为x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是 A.0 B.2 C.－1 D.－2 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分， 所以包含下面两种情况： ①三条直线交于一点. 因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1，1)，所以直线x＋ky＝0过这两条直线的交点，所以k＝－1； ②直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，所以k＝0或－2. 综上，实数k的取值集合是{0，－1，－2}. 解析 16.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为， 即4x－y－20＝0. 解 第一章　直线与圆 <<< $