第1章 1.1-1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角和斜率，涵盖定义、范围、斜率公式及应用。课堂从交通工程“坡度”实例导入，关联一次函数图像与直线方程，通过问题链搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合数学核心素养，用数学眼光观察现实（坡度实例抽象概念），用数学思维推理（倾斜角旋转分类讨论、三点共线斜率关系推导），用数学语言表达（知识梳理表格、规范公式推导）。采用问题驱动和例题分层教学，小结明确知识清单与方法，帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可提升教学效率。

第1课时 直线的倾斜角和斜率 第一章　1.1　一次函数的图象与直线的方程　1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 <<< 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程. 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 学习目标 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)， 则坡度k＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡， 为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的 大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 导 语 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的倾斜角 一 提示　两点确定一条直线，一个点与一个方向也可以确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题1 提示　只有一条. 经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为的直线有几条？ 问题2 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___ 记法 α 0 知识梳理 图示     范围 [0，π) (1)对于平面直角坐标系中的每一条直线l，都有唯一确定的倾斜角α与之对应. (2)直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近， 倾斜程度越大. 注 意 点 <<< 9 　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一确定的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 例 1 √ √ 任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. 解析 10 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ √ 11 根据题意，画出图形，如图所示. 解析 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 12 求直线倾斜角的方法及注意点 (1)方法：根据定义、结合图形，必要时进行分类讨论. (2)注意点：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 反 思 感 悟 13 　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　　　. 跟踪训练 1 60°或120° 14 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 解析 ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 15 (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 135° 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC ＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 解析 16 二 直线的斜率 提示　高度的平均变化率. 坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ 问题3 提示　. 如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1. 在直线l上点P1平移到点P2， 则高度的平均变化率是多少？ 问题4 称 (其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. k＝ 知识梳理 (1)k的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在. (3)当直线l与x轴不垂直时，斜率存在且是唯一的. (4)常用斜率表示直线的倾斜程度. 注 意 点 <<< 21 　(课本例1)　求满足下列条件的直线的斜率： (1)经过点A(2，－8)，B(5，1)； 例 2 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 kAB＝＝3. 解 22 (2)经过点C(0，2)，D(2，－1)； kCD＝＝－. 解 (3)经过点M(－1，3)，N(0，3). kMN＝＝0. 解 23 　满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率. (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； 例 2 存在，kAB＝＝1. 解 (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； 存在，kCD＝＝－1. 解 24 (3)经过点M(1，2)，N(－1，2)； 存在，kMN＝＝0. 解 (4)经过点P(a，2)，Q(3，6). 当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率kPQ＝. 解 25 (1)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1≠x2时，代入斜率公式求得k＝；当x1＝x2时，直线斜率不存在. (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 反 思 感 悟 26 (1)已知点P1(3，5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝　　 . 跟踪训练 2 2 k＝＝2. 解析 (2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　. 1 由＝1，得m＝1. 解析 27 倾斜角和斜率的应用 三 提示　若A，B，C三点横坐标相等，则三点一定共线； 若A，B，C三点横坐标不相等，若能得到kAB＝kAC，则A，B，C三点共线，否则，不共线. 若给定A，B，C三点的坐标，不画图，如何判定A，B，C三点是否共线？ 问题5 (课本例2)　已知直线l经过点A(－1，2)，且斜率k＝－2，判断B(1，－2)，C(0，4)，D(0，0)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上. 例 3 因为kAB＝＝－2，kAC＝＝2≠－2，kAD＝＝－2，且直线l经过点A(－1，2)， 所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上. 解 30 (1)已知直线经过点A(1，2)，且斜率k＝1，判断B(0，0)，C(2，3)，D(3，2)中，哪些点在该直线上，哪些点不在该直线上？ 例 3 因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，故点C在直线上，点B，D不在直线上. 解 31 (2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即， ∴a＝2或a＝. 解 32 ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 解 33 (1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. (2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在.若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线. 反 思 感 悟 34 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合思想. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)图中α能表示直线l的倾斜角的是 √ √ 1 2 3 4 2.已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为 A.25°≤θ≤155° B.－25°≤θ≤155° C.0°≤θ≤180° D.25°≤θ<205° 因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，所以由0°≤θ－25° <180°，得25°≤θ<205°. 解析 √ 1 2 3 4 3.已知过A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. 0 1 2 3 4 4.如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，则m的值为　　　　. －6 由kAC＝kAB，知， 解得m＝－6. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C ABC D D C 题号 8 11 12 13 14 答案 {m|m≠3} ABD CD B (1，0)或(0，－1) 题号 15 答案 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四边形ABCD的四条边所在直线的斜率分别为kAB＝＝4，kBC＝， kCD＝＝－4， kAD＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，所以kAB＝kAC， 即， 得2(a+b)＝ab， 因为ab≠0，两边同除以2ab， 得+. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 kAB＝， kAC＝， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴， ∴+x1x2++x1x3+， ∴(x2－x3)(x1+x2+x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1+x2+x3＝0. 基础巩固 1.如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为 A.45° B.135° C.0° D.无法计算 √ 根据倾斜角的定义，l的倾斜角为90°＋45°＝135°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l过点A(3－，6－)，B(3＋2，3－)，则直线l的斜率为 A.－ B. C.－ D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l的斜率 k＝＝－. 解析 3.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 4.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为 A.－1 B.1 C.2 D. 由直线的斜率公式得＝2， 解得m＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率不存在，则m的值等于 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率不存在，所以m＝－2. 解析 6.已知三点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，则实数m的值为 A.0 B.5 C.0或5 D.0或－5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为三点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以，解得m＝0或m＝5. 解析 7.已知A(x，2x)，B(1，0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的 斜率为　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由kAB＝＝1， 解得x＝－1，则C(－3，－1). 所以kBC＝. 解析 8.若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是　　　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {m|m≠3} 由题意知kAB≠kAC， 即≠，得m≠3. 解析 9.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2，2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率. 四边形ABCD的四条边所在直线的斜率分别为kAB＝＝4，kBC＝， kCD＝＝－4，kAD＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，所以kAB＝kAC， 即， 得2(a＋b)＝ab， 因为ab≠0，两边同除以2ab， 得. 证明 11.(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为 A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，－1)，(3，3)，(5，7) √ √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. 解析 12.(多选)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为 A.α B.180°－α C.90°－α D.90°＋α √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α. 解析 13.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A'(a－2，b＋2)，于是直 线l的斜率k＝kAA'＝＝－1. 解析 14.已知点A(2，1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的斜率为1，则点P的坐标为　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1，0)或(0，－1) 若点P在x轴上，设P(a，0)， 则kPA＝＝1，解得a＝1， ∴P(1，0). 若点P在y轴上，设P(0，b)， 则kPA＝＝1，解得b＝－1，∴P(0，－1). 故点P的坐标为(1，0)或(0，－1). 解析 15.《中华人民共和国国旗法》中就国旗的五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则 第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为 A.0° B.1° C.2° D.3° 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角 为36°，可知∠BAO3＝18°. 过O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°. 解析 16.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 kAB＝，kAC＝， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴， ∴＋x1x2＋＋x1x3＋， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 证明 第一章　1.1　一次函数的图象与直线的方程　1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 <<< $