重庆市南开中学校2027届高三上学期暑假数学练习（二）

重庆南开中学高2027级高三（上）暑假练习（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={y川y=e},则集合(CRA)UB=() A.(0,] B.1,+0) C.（-0,-1[1,+0) D.(-n,-1]小U(0,+0) 2.f(x)=log1(x2-ar-1)在(1，+)上单调递减的一个充分不必要条件是() A.a<-1 B.a≤0 C.a>1 D.a≥2 3.已知实数a,b满足a<0<b,则() A.1>1 B.Ig(-a)<lgb a b c.b+6≤-2 b a b D. 4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X,且X~N(30,2).记一天中旅客人数不少于26万人 的概率为P,则Po的值约为() (参考数据：若X~N(4,o2),有P(u-o<X≤u+o)≈0.683，P(-2o<X≤u+2o)≈0.954， P(u-3o<X≤+3o)≈0.997) A.0.977 B.0.9725 C.0.954 D.0.683 5.已知随机事件AB、C满足P氏A)-P(®)=P(C-P(A)=P(4CO)-0,P(BC)石则、B、 C至少有一个发生的概率为() A月 2 B. c.3 D.g 6.若函数h(x)=ae- 2+x在 3上不单调，则实数a的取值范围为 A.e 21 B) e20 e-1,x≥0 7.已知函数f(x)= x<0’ 1 g(x)=kx-1,若关于x的方程f(x)=g(x)有2个不相等的实数解，则实 数k的取值范围是() A.Le) B.[e,+o) D.(←o,-2U{el 试卷第1页，共4页 8.已知f(x),g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2, 若对任意的1<5<飞<2，都有8)）8、-3成立，则实数a不可能的取值是《) X1一X2 A.0 B.、3 D.-1 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知两个变量y与x对应关系如下表： 4 5 m 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为夕=1.25x+4.25,则() A.y与x正相关 B.m=7.5 C.样本数据y的第60百分数为8 D.各组数据的残差和为O 10.有以下判断，其中是正确判断的有() A.f)=X与g= 1,x≥0 表示同一函数 -1,x<0 B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个 C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数 D.若f)=-x,则ff》-0 1山.己知三次函数f()=兮-a+0r+x-山，则下列说法正确的是（) A.若f(x)有两个极值，则a≥1 B.若x∈R,3f(x)+3f(2-x)+4=0,则a=1 函数有3个零点飞心，，且55三)， D.当函数g(x)=f(x)的图象经过的象限最多时，a的取值范围是(-n,-3) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程) 试卷第2页，共4页 12.在(x2-3x+2)的展开式中x的系数为一 13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题 2 中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为三，没有思路的题只能从4个选 项中随机选一个答案.若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为 14.已知函数f(x)=log.(e-ax)(a>0且a≠1)的值域为R,则a的取值范围是 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字 说明、演算步骤或推理过程) 15.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中， 高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为？，且每轮对抗赛的成绩互不影响。 (1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率： (2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮， 求对抗赛轮数X的分布列与数学期望. 16.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A-BCD,设CD=2, 点E,F分别为棱BC,BD的中点. 45g B B 60△D 图1 图2 (I)当平面ABC⊥平面BCD时，求证：AB⊥AD: (2)当二面角A-CD-B大小为30°时，求异面直线AB,EF所成角的余弦值. 试卷第3页，共4页 17.己知函数f(x)=lnx+ax+b,b∈(0,1) (1)当a=0时，若f(x)的最小值为0，求b的值： (2)若x=1为f(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 18.己知椭圆E:女 京+1a>b>0的离心率e=点，且经过点(0.)，0为坐标原点，斜率不为0且 2 线I与椭园E交于RQ两点，P0Q-受 (1)求椭圆E的方程： (2)证明：点O到直线1的距离是定值： (3)求PQ2的取值范围. 19.己知函数f(x)=ar++c(a>0)的图象在点，f0)处的切线方程为y=x-1. (1)用a表示出b,c: (2)若f(x)≥nx在1，+o)上恒成立，求a的取值范围： 8道明：1与女n-可分片日3西el n 试卷第4页，共4页 重庆南开中学高2027级高三（上)暑期练习（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A Q A B ⊙ C D ABD BC BD 题号 12 13 14 答案 25 -12 32 [e,+) 1.D【详解】试题分析：：A={x/y=(1-}={x/1-x2>0}={x/-1<x<1},C.A={x/x≤-1或x≥1}， 集合B={yly=e}={y/y>0},.CRAUB={x/x≤-1或x>0},故答案为D. 考点：集合的表示法，表示定义域与表示值域的区别、集合的运算 2.A【详解】由于l081x是定义在(0，+o)上的递减函数，故命题等价于g(x)=x2-ax-1在(L,+o)上单调递增且取 值恒为正若a>0,则g》-（1+号)-1+)1=女<0，从而8()在化+)上取值不恒为正，不满足条 件；若a≤0，则对任意x∈(1，+o)都有g(x)=x2-ax-1≥x2-1>0,且由-a≥0知对任意1<x<x2都有 g(x2)=x-ax2-1≥x-ax-1>x2-ax-1=g(x).故g(x)在(1，+o)上单调递增且取值恒为正，满足条件.所以使得 原命题成立的充分必要条件是α≤0，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C,D是既不充分也 不必要条件 3C【详解】对于A。a<0<,则后0方0，所以分该选项错误， 对于B,若a=-l0,b=l0,满足a<0<b,但lg(-a)=lgb,该选项错误； 对Fc因为a06,所u总✉“g0则2台[}-2月2 b 当且仅当 即a=-b时，等号成立，所以2+≤-2，该选项正确； a b 对于D,e5>0,e>0:所以。 2-b =e血，因为a<0<b,所以ab<0, ea 但。-6跟0的大小关系不确定，所以不能确定。密<c,所以不能得到。<e,该选项错误：故选：C。 4.A【详解】因为X~N(30,22),所以u=30,o=2,∴.P(26<X≤34)=0.954， 由正态曲线的对称性可得，，=P(X≥20)=P(26<X≤34)+P(X>34)=0.954+1-0,954=0.97.故选：A 2 5.B【详解】要求事件A,B,C至少有一个发生的概率，即求和事件P(AUBUC), 根据容斥原理：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC), 因为ABC三AB,且P(AB)=0,所以P(ABC)≤P(AB)=0,概率非负，故P(ABC)=0, 答案第1页，共8页 代入E知条：作P)-SP=P9-号Pa)=Pa9=aP(eC)名所以PAUBUC-号 6B【详解】：4(=ae子x,N()=ae-+1,A=ae号+x在 号，3上不单调，∴N()=ae-x+少 2 E有变号零点，令9凶gc-e-x-Mey2&0在阳2上是 (e*)2 意数：在xB图是诚道总义，地令6子第合闲深紧上可同4的 2e2 7.C【详解】由题意，关于x的方程f(x)=g(x)有2个不相等的实数解，即 y=f(x)与y=kx-1的图象有2个交点，如图所示， y=kx-1 当k=0时，直线y=-1与y=的图象交于点(-1，-)，又当x之0时，c-120, 故直线y=-1与y=e-1(x≥0)的图象无公共点，故当k=0时，y=f(x)与 y=kx-1的图象只有一个交点，不合题意： 当k>0时，y=红-1与y（<0)有一个交点，当直线)=x-1与曲线y=心-1(x之0)相切时， 此时y=f(x)与y=x-1的图象有2个交点，设切点P(x,e-),则k=y1=6=e,又由y=x-1过点(0，-)， 所以的-1)-e,解得飞=1，所以k=c:当k<0时，若=-1，则k-X-1=0,由△=1+4软=0， 七~0 可得k=- 子所以当k=时，直线y=红1与的图象相切， 由图得当。 k<0时，直线)=：-1与y=了)的图象有2个交点综上所述，实影k的取值范围是（行0小e。 8.【详解】由题意可得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2.因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 -f(x)+g(x)=ax2-x+2.联立 f(x)+g(x)=ax2+x+2, -f(+8()=ar2-x+2,解得8()=a2+2. 又因为对任意的1<5<5<2，都有8)8），-3成立，所以g6)g飞)<-3x+3远，所以 x-x2 g(x)+3x<g(x)+3x2成立.构造h(x)=g(x)+3x=ax2+3x+2,所以由上述过程可得h(x)=ax2+3x+2在x∈(1,2) 上单调递增若a<0,则对称轴%= 3≥2，解得-3≤a<0:若a=0,则h()=3x+2在xeL,2)上单调递增， 4 满足题意；若a>0,则对称轴=- 1证成立上，a子-板选：n 2a 9.ABD【详解】对于A,由回归直线方程知：b=1.25>0,所以y与x正相关，故A正确： 对于B,由表格数据及回归方程易知元=3，了=1.25×3+4.25 32.5+m→m=7.5,故B正确： 5 对于C,5x60%=3,所以样本数据y的第60百分位数为8+9=85，故C错误： 2 答案第2页，共8页 对于D,由回归直线方程知x=1,2,3,4,5时对应的预测值分别为)=5.5,6.75,8,9.25,10.5， 故对应残差分别为-0.5,0.75,0,0.25,0，显然残差之和为0，故D正确.故选：ABD 10.BC【详解】对于A,函数f)=的定义域为m,0U(0,+),函数g)= 1,x≥0 定义域为R, -1,x<0 两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误： 对于B,若函数y=f(x)在x=1处有定义，则f(x)的图象与直线x=1的交点有1个： 若函数y=f(x)在x=1处没有定义，则f(x)的图象与直线x=1没有交点，故B正确： 对于C,函数f(x)=x2-2x+1与g()=子-2r+1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D.由=-小，可得/付-0，所以〔》 f(O)=1,故D错误；故选：BC 1.【详解】选项A,f()=号r-a+)r+x-1,f'()=a2-(a+1)x+1,:f)三次函数，a≠0， :f(x)有两个极值，∴f'(x)=ax2-(a+1)x+1=0有两个不等实根， ∴.△=(a+1)2-4a>0,a2-2a+1>0,.(a-1)2>0,.a≠1，故选项A错误： 选项B.f()号ra+2+x-1,f2-列-2--a+2-对+2-0-1， 号-a++x-r号a-a+2-+2-0-+4=0 a-l(2-2x+学=0，x∈R,3f(x)+3f(2-+4=0,a=1,故选项B正确： 选项c,f)-号r-a+)x+-1有3个零点，号之a+少r+-1=0有3个不同的根 3 ax-1o 3 +切+8--得*，支，·&=，a0 故选项C不正确：选项D,设m=,~f()-号-o++1,8)-m(f. ·g(x)=m(x)f(x)的图像经过的象限最多，则g(x)=m(x)f(x)的图像要经过全部四个象限，当且仅当函数f(x)在 (←公0和0+0)上均有正值和负值，f()号-a+)+-1,f()=am-a+)x+1=0时，或 x=1,当二>1时，即0<a<1,f')>0的解为x>或x<1,则f()在日+)和(-0，)为增函数：f'()<0的 解为1<x<,则f()在L日为减函数：f0)=-1,x<0,f()<0,x<0时，m)<0, .当x<0时，∴g(x)=m(x)f(x)>0,∴g(x)=n(x)f(x)的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当a>1 时，即。<1，f()>0的解为x<或x>1,则f()在(-，和(，+o为增函数： f)<0的解为后x<1,则f)在日为藏函数：f0)-1,x<0,f(<0,x<0时，m<0, .当x<0时，∴g(x)=m(x)f(x)>0,∴g(x)=n(x)f(x)的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当a=1 答案第3页，共8页 时，f'(x)≥0，则f(x)在R为增函数；f(0)=-1,x<0,f(x)<0,.x<0时，m(x)<0, .当x<0时，g(x)=(x)f(x)>0,g(x)=m(x)f(x)的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限；当a<0 时，即二<1，'()<0的解为x<二或x>1,则f(x)在(-，和，+0)为减函数： 0 f四0的解为<1，则5（在〔日为增函数：70=-1，日0， f(倒-g-a+0r2+-1,a<0,x→m,f)→t, x<0,g(x)=m(x)f(x)有正有负，g(x)过二、三象限；x→+n,f(x)→-n, 当f0-号a11=g0时，即a<-3. .x>0,m(x)>0,∴g(x)=m(x)f(x)在x>0的范围有正有负， ∴.当x>0时，g(x)=m(x)f(x)的图像经过的象限最多为第一、四象限： 综上可知，a<-3时，g(x)=m(x)f(x)的图像经过的象限最多为第一、二、三、四象限， 故当g(x)=m(x)f(x)的图像经过的象限最多时，a<-3.故选项D正确故选：ABD. 12.-12【详解】(x2-3x+2)=(x-2)(x-1),因为(x-2)展开式的通项公式为I+=Cx4(-2),k=0,1,2,34, 又因为(x-1)展开式的通项公式为T,1=C44（-1),r=0,1,2,3,4, 则T4T+1=Cx+(-2).C4xr(-1)=(（←2)(-1)C4C4x-r，令8-k-r=7,则k+r=1,k=0,12,3,4, r=0,1,2,3,4,所以当k=0,r=1,对应的项为(-2)°(1)CC4x2=-4x,当k=1,r=0,对应的项为 (-2)(-1)°C4C4x=-8x,∴.所以(x2-3x+2)的展开式中含x的项的系数是-4+(-8)=-12. 13. 【详解】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A,选到能完整做对的4道思为事件B, 25 选到有具5的三道题为件C,逃到定全议有电路为事什D,则P(专分P(C-令PD)令 由全概率公式得P(a)=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)+P(D)P(AD)=xI+3x2+x-25 21 838432 l4.[e,+on)【详解】令u=e-ax,因为函数f(x)的值域为R,故函数u=e-ax的值域包含(0，+oo), 求导得u=e-a,又因为a>0且a≠l,由t=0可得x=lna,当x<lna时，w'<0,即函数u=e-ax在(-o,lna) 上单调递减，当x>lna时，t>0,即函数u=e-ax在(na,+oo)上单调递增， 所以umm=a-aha=a(I-na)≤0，即lna≥1，解得a≥e,故实数a的取值范围是[e,+o) 答案第4页，共8页 5.【详解】①）由遐意，知高三年级胜高二年级的概率为令 设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P,则 297 (2)由题意可知X=2,3,4,5,则P(X=2)= 周-gPX=)=-5 xG-Px=列=c9 故X的分布列为 2 3 4 5 1 4 16 9 27 27 27 (X)234 4+5×16-38 27 2 279 16.(1)因为平面ABC⊥平面BCD,BC是交线，又BC⊥CD,CDC平面BCD,故CD⊥平面ABC, ACc平面ABC,可得CD⊥AB,又CA⊥AB,CD∩AC=C,CDC平面ACD,ACC平面ACD, AB⊥平面ACD,又ADC平面ACD,故AB⊥AD. (2)以C为原点以CB方向为x轴正方向以CD方向为y轴正方向，垂直于平面BCD 的直线为x轴建立空间直角坐标系，则B(2V5,0,0,D(0,2,0),E(5,0,0,F(51,0) 设A(N5,m,n),m∈[-V5,V5,n∈[0,5，因为AE=5=V0+m2+n,即m2+n2=3, B 设平面ACD法胸盘m=习，CD=(Q2.0.CA=5.m川：则m+0了 令x=-n,则m=（-n,0,5),又平面BCD法向量i=(0,0,)， 所以cosm,i= m_5_ 同3+n 2, 解得n=±1， 由题意可知三棱锥是由平面图形向上翻折所得，点A在平面BCD上方，故n=1,m=±V2, 所以A(V5,±V2,,EF=(0,1,0),BA=（√5，±V2,)设异面直线AB,EF所成角为0， 因为cos8 EF.BA EF.BA v63 所以异面直线AB,EF所成角的余弦值5 答案第5页，共8页 【详解】0)因为a=0,所议)=hx+会求导得了会之，因为be0小，所以令小=0，解 得x=b,当x∈(0，b),f'(x)<0,所以f(x)在(0，b)上单调递减；当x∈(b,+o),f'(x)>0,所以f(x)在(b,+o) 上单词造增：所f(以fo)=h6+合b+1-0,解得6-日 (2)因为f)=nx+ax+兰求导得f()-+a-色-心+一b,又因为=1为f)的极小值点，所以f'0=0, x2 得到b=a+1,代入导数得f')=r+x-a-1_ar+a+1(x-)， x2 因为be@).所以ae(-10,①当2<a<0时，f)=0,解得x=1或x=1石此时-1合1， a 所以x∈(0,1)，f'(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减： xe（1-1日)：f(0,f()在〔1-1-上单调递增： (1-a小，'(0，f国在(1a0 上单调递减： 1 以1为j)的极小值点满足系件②当a=时，2护 ≤0恒成立， 所以∫(x)在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去， ③当-1<a<-)时，f'()=0,解得x=1或x=-1-,此时0<-1-1<1， a 所以0-》f0,f()在0-1 上单调递减； x〔1，)0，在〔1单调造： x∈(L,+o),f'(x)<0,f(x)在(L,+o)上单调递减： 所以x=1为f(x)的极大值点不满足条件，舍去.综上所述，实数a的取值范围 18a手+y2=1.由e=-5 a a 可得a=2b,椭圆经过点(0，)，可得京=1，解得b=1,可得a=2, 故椭圆E的方程为 +=1. x=my+t (2)证明：依题意，可设直线1的方程为x=四y+1,1≠0，由x2 +y=1消去x,整理得(m2+4)2+2m+2-4=0, 4 △=4m22-4(m2+4)(t2-4)>0可得m2-t2+4>0, 2mt 设P(x,y),Q(x2,y2),则 m+4。因P00则OP00=k5+2=m,+T+F迈 2-4 m2+4 答案第6页，共8页 -++m+g+r-@到22-0，去分母得+0g-4小-2m+rm0, m2+4 m2+4 化简得4m2+4=5t2.则点0到直线1：x-y-t=0的距离为d= 1-21_2w5 V1+m25=5,为定值 (3)因PQ-+-4,故POf=+mm4 2m_4-4]_1+m)-16d2+16m2+64) m2+4 (m2+4)2 由4m2+4=5得F-m+4,代入上式，整理得1P0f.16m+m+16 5 5(m2+4)1 及14-则4.A代入式可阳0r=16-=3.16- 5s2 522 设u则u-且Per(36r9g.所以1POre] 故|PQ?的取值范围是 1【详解11)f()=a++(口>0f=a-会因的图象在点f0)处的切线方程为y=-1, ∴.f'(0)=a-b=1,.b=a-1;又f(1)=a+b+c=2a-1+c=0,.c=1-2a. (2)由(1)得f()=ax+a-+1-2a,令g()=f(x)-1x=ax+a-1+1-2a-l1nx, x 则8)20在[+o)上恒成立；g'()=a-a-11-ar-x-(a-)_ar+a-(x-） Xx x2 令g()=0.解得：名。.1：当。21，即a时，)≥0在+)上通成立 a g)在+o)上单调递增，六8（产g山=0，满足题意：当1>1，即0<a<时， 若x（。2)则g()<0,则&)在。9）上单涧递减。 此时g()<8)=0,不合题意：综上所述：a的取值范围为2+0 30洗证左边：由②知：当a≥号时.f(2m在+切)上恒成立，那么当a=亏时，b1方c=1-2x号0， 2 2 则w专2-小则因--小r+网上陵。 又0-〔-》-0，f()-(习中的等号在x=1处取得， 答案第7页，共8页 则闭=乱>r在-o)上相便，令依次取导，2手”可得 )-(a. e片小na.f5小0 :1+2 1 ++片aa+0+分2n中h+)+2a+左边得证 11 再证右边： 方法一：令8)-血-1+因为g(四=之 XX- 所以8(x)在(0,1)上是单调递减函数，在(L,+∞)上是单调递增函数， 玖8网800，南双5e0,所以n1>,所壳 所u宫2+宫0报- 一>1 n+）+2n+ 2T3中n2+D,所以右边得证。 方法=：元运别不等式2曰北-~，正明如下：设/-x2 ,x>1, x+1 x+1 f)!2+2-山--式，当>1时，'>0，则f(问在四)上是单调递增函数， x (x+1 x(x+1)2 又f0=1nl-21-9=0,则当>1时，f(>f0=0,即1m>2-,x>1: 1+1 x+1 美小.面并+= 当x>1时，8()>0，则g(国在么+)上是单调递期函数，又8)--》-l=0。 则1时g内g0=0力(e小纹上国网，2emco) 1++1 答案第8页，共8页