第2章 再练1课(范围：§2.4～§2.5)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的标准方程、几何性质（离心率、焦点、顶点）、焦点三角形及轨迹问题，系统梳理从椭圆方程参数范围到与圆、直线综合应用的知识脉络，构建从定义到性质再到综合问题的学习支架。 该资料题目设计层次分明，融合数学抽象与逻辑推理。如第5题通过动点轨迹抽象几何关系，培养数学眼光，第9题焦点三角形性质探究发展运算能力与推理意识。解析详细，课中助教师深化讲解，课后助学生查漏补缺，强化知识应用。

再练一课(范围：§2.4~§2.5) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若曲线C：(k－4)x2＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A.(4，6) B.(4，5) C.(5，6) D.(4，5)∪(5，6) 答案　D 解析　因为曲线C：(k－4)x2＋＝1表示椭圆，即C：＝1表示椭圆， 则应满足解得4<k<6且k≠5， 即k的取值范围为(4，5)∪(5，6). 2.椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(0，b)，△AF1F2的面积为，且∠F1AF2＝∠AF1F2，则椭圆方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＝1 C.＋y2＝1 D.＝1 答案　D 解析　由题意可得·2c·b＝，且b＝c，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆的方程为＝1. 3.已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，则“a＝2”是“椭圆C的离心率为”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由椭圆C的方程＋y2＝1(a>0)可得，当a>1时，可得c＝，此时椭圆的离心率为e＝， 由e＝，可得，解得a＝2； 当0<a<1时，可得c＝，此时椭圆的离心率为e＝， 由e＝，可得，解得a＝， 所以“a＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件. 4.设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∶＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.1 答案　B 解析　设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x， 依题意，得|PF1|＋|PF2|＝x＋2x＝3x＝2a＝6， ∴x＝2，2x＝4，即|PF2|＝2，|PF1|＝4， 又|F1F2|＝2＝2， ∴， ∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝， ∴△PF1F2的面积为S＝|PF1||PF2| ＝×2×4＝4. 5.已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，动点M满足＝λ(λ>1)，且|PM|＝|PF1|，则动点M的轨迹方程为(　　) A.(x＋)2＋y2＝6 B.(x－)2＋y2＝6 C.(x＋)2＋y2＝24 D.(x－)2＋y2＝24 答案　D 解析　由椭圆C：＋y2＝1得a＝，b＝1，c＝，故F1(－，0)，F2(，0)， 由题意，动点M在射线F2P的延长线上， 且|PM|＝|PF1|， 故|F2M|＝|F2P|＋|PM|＝|F2P|＋|PF1|＝2a＝2， 故动点M的轨迹是以F2(，0)为圆心，2为半径的圆， 其方程为(x－)2＋y2＝24. 6.若方程＝x＋b有解，则b的取值范围为(　　) A.[－，] B.[－2，] C.[2，] D.[－2，2] 答案　B 解析　设y＝，y≥0，两边平方得y2＝3－，即＝1(y≥0)，则其所表示的图形为椭圆＝1在x轴及上方的部分，则题目转化为直线y＝x＋b与上述图形有交点，设椭圆的右端点为A，易得其坐标为(2，0). 当直线y＝x＋b与半椭圆相切时，显然由图得b>0，联立得7x2＋8bx＋4b2－12＝0，则Δ＝(8b)2－4×7×(4b2－12)＝0，化简得b2＝7，解得b＝或b＝－(舍)，当直线y＝x＋b经过点A(2，0)时，得0＝2＋b，解得b＝－2，则b∈[－2，]. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知两椭圆E1：x2＋4y2＝a和E2：4x2＋y2＝4a(a>0)，则(　　) A.两椭圆的焦距相等 B.两椭圆的离心率相等 C.两椭圆有2个交点 D.两椭圆有4个交点 答案　BC 解析　椭圆E1：x2＋4y2＝a(a>0)，即＝1， 椭圆E2：4x2＋y2＝4a(a>0)，即＝1， 则E1的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， E2的半长轴长为2，半短轴长为，半焦距为， 对于A，E1的焦距为，E2的焦距为2，故A错误； 对于B，E1的离心率为e1＝，E2的离心率为e2＝，故B正确； 对于C，D，联立可得所以E1与E2有2个公共点，故C正确，D错误. 8.已知圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是(　　) A.椭圆C的长轴长为2 B.椭圆C的短轴长为2 C.椭圆C的离心率为 D.点P的坐标为 答案　BD 解析　因为圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2， 所以c＝， 又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点， 则|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，故xP＝，代入圆方程可得＝3，所以yP＝，故点P的坐标为，故D正确； 将点P的坐标代入椭圆方程可得＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋3，解得a＝2，b＝1， 故椭圆C的长轴长为4，短轴长为2，故A不正确，B正确； 则椭圆C的离心率为e＝，故C不正确. 9.设椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P为椭圆上(除点A，B外)的任意一点，下列结论正确的是(　　) A.存在点P，使得∠F1PF2＝90° B.线段PF1长度的取值范围为(2，8) C.|PF1|·|PF2|的最大值为25 D.直线PA与直线PB的斜率之积恒为 答案　BC 解析　由＝1， 得A(－5，0)，B(5，0)，F1(－3，0)，F2(3，0)， 设P(x0，y0)，有＝16， 对于A，假设存在点P，使得∠F1PF2＝90°， 即·＝0， 于是(x0＋3)(x0－3)＋－9＋16－＋7＝0，显然无解，A错误； 对于B，由题意知a＝5，c＝3， a－c<|PF1|<a＋c， 所以2<|PF1|<8，B正确； 对于C，|PF1|＋|PF2|＝10， |PF1|·|PF2|≤＝52＝25， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时取等号， 因此|PF1|·|PF2|的最大值为25，C正确； 对于D，直线PA，PB的斜率之积为 kPA·kPB＝· ＝＝－，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，点P在C上，则△PF1F2的周长为　　　　.  答案　10 解析　由椭圆方程知a＝3，c＝＝2，P在椭圆上， 所以＝2a＋2c＝2×3＋2×2＝10. 11.在Rt△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率等于　　　　.  答案　 解析　根据题意建立如图所示的坐标系， 设Rt△ABC周长为4a， ∴4a＝1＋1＋＝2＋， 则a＝， 设AB上另一个焦点为D， 则|AD|＝2a－|AC|＝， 在Rt△ACD中，∠A＝90°， |AC|＝1，|AD|＝， 则2c＝|CD|＝， ∴c＝，∴e＝. 12.在△ABC中，B(－12，0)，C(12，0)，AC，AB边上的两条中线长度的和为39，则△ABC的重心的轨迹方程为　　　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　根据题意，设△ABC的重心为G，因为AC，AB边上的两条中线之和为39，所以×39＝26>24，根据椭圆定义可知，点G的轨迹是以B，C为焦点的椭圆除去x轴上的两点，且a＝13，c＝12，因此△ABC的重心的轨迹方程为＝1. 四、解答题(共37分) 13.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过P(－3，0)，Q(0，－2)两点；(6分) (2)长轴长等于20，离心率等于.(6分) 解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 因为椭圆经过点P，Q(0，－2)， 所以 所以椭圆的标准方程为＝1. (2)依题意得所以 由b2＝a2－c2＝64，得b＝8， 所以椭圆的标准方程为＝1或＝1. 14.(12分)(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；(4分) (2)椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值；(4分) (3)若方程＝1表示椭圆，求k的取值范围.(4分) 解　(1)原方程可化为＝1. ∵方程表示焦点在y轴上的椭圆， ∴解得0<k<1. ∴k的取值范围是(0，1). (2)原方程可化为＝1. 由题意可知焦点在y轴上，且c2＝7. ∴解得k＝－1或k＝－. (3)依题意得解得3<k<5且k≠4. ∴k的取值范围为(3，4)∪(4，5). 15.(13分)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0). (1)求椭圆E的标准方程；(5分) (2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.(8分) 解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝. ∴椭圆E的标准方程为＝1. (2)设M(x0，y0)，x0∈， 则＝1. ① ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋＝0. ② 由①②消去y0， 整理得t(2－x0)＝－＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2<x0<2，∴－2<t<－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $