2.6.1 双曲线的标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线的定义与标准方程，通过先回顾椭圆定义温故知新，再结合炮弹爆炸点轨迹问题创设情境，搭建与椭圆知识的类比支架，引导学生从已有坐标法经验出发探究新知。 采用探究式教学，借助多媒体与双曲线规让学生动手画图形成几何直观（数学眼光），类比椭圆推导方程培养推理能力（数学思维），解决实际轨迹问题提升模型意识（数学语言）。助力学生发展创新意识，为教师提供结构化教学流程，高效突破重难点。

课 题 2.6.1双曲线的标准方程 学科年级 高二 教材版本 人教B版 课型 新授课 授课教师 授课对象 一、教学内容分析 本节课教学内容是人教B选择性必修一第二章《平面解析几何》 §2.6.1 “双曲线的标准方程”，教学课时为1课时，圆锥曲线是一个重要的几何模型，在日常生活，生产和科学中有着广泛的应用，同时圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是圆锥曲线中最复杂的一种。双曲线的学习是进一步研究双曲线几何性质的基础。双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握，学习时要注意和椭圆的联系和区别，有利于进一步培养学生类比的数学思想方法。 二、教学目标 知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程。 能力目标：通过双曲线的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。 情感目标： 通过学生探索双曲线的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的观察能力，学习兴趣，创新意识和对学生进行爱国主义教育。 三、教学重点、难点 教学重点：双曲线的定义，双曲线的标准方程 教学难点：由定义求双曲线的标准方程及定义的应用 四、学情分析 这节课是继学生学习了圆、椭圆以后运用坐标法研究几何问题的又 一次实际演练。学生在学习这节课之前，已经掌握了椭圆的定义和 标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习 方式上来说学生已经具备了自行探索和推导方程的基础，学生刚刚 学习完椭圆，对圆锥曲线已经有了一定了解，可以与椭圆类比学习。 五、教学策略设计 探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直接观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同事，能够掌握方法、提升能力，整个课堂形成以学生为主体的课堂氛围。 六、教学资源准备 多媒体网络计算机，Powerpoint 双曲线规 七、教学过程 教学环节 预设教师活动 预设学生活动 设计意图 导学 阶段 播放课件 问题1：椭圆的定义是什么？ 播放课件 问题情景：求炮弹爆炸点轨迹 思考： 1.爆炸点P是否满足椭圆的定义？ 2.P与A,B两点距离距离的差是定值吗？ 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 温故而知新， 在已有知识基 础上去探求新 知识 激发兴趣和爱国情感 悟学 阶段 研学 阶段 研学 阶段 问题2：平面内到两定点距离之差等于常数（常数小于两定点距离）的点的轨迹是什么呢？ 请大家运用手中的工具在白板上画出图像 问题3：我要得到曲线双支要怎么限定呢？ 在此基础上，引导学生概括双 曲线的定义并板书定义 若常数2a=|F1F2|? 若常数2a>|F1F2|? 其实双曲线不是我们数学书上独有的,在生活和生产中有着广泛的应用 看到这些,我想问双曲线到因何收到人们的青睐?这样的曲线到底有什么秘密呢?要研究曲线的性质,我们又该怎么办呢? 1.双曲线的标准方程 （1）建系 （2） 设点 （3） 限制条件 （4） 化简 2. 两种标准方程的比较 焦点在轴上的双曲线的标准方程： 焦点在y轴上的双曲线的标准方程： 其中 引导学生归纳： 判断焦点在哪个轴上 解决情景问题： 引导学生建系之后，让学生求轨迹方程 例1：求适合下列条件的双曲线标准方程 （1）两个焦点坐标分别是（-5,0）（5,0），双曲线上的点与两焦点的距离值差的绝对值等于8 （2）双曲线的一个焦 点坐标是（0，-6）经过点（-5,6） 例1中引导学生用不同方法 求解 例2. 学生代表合作的形式在黑板上绘制图像。学生以小组为单位绘图 加绝对值 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 若常数=|F1F2|则是以F1、F2为端点的射线 若常数>|F1F2|则无轨迹 求双曲线的方程 学生独立完成双曲线方程的求解 一名学生学生代表在黑板推导 一名学生代表运用多媒体演示 求双曲线的方程 学生独立完成双曲线方程的求解 找两组学生代表推 系数那个为正，焦点就在那个坐标轴 求轨迹方程 自主完成 小组讨论 同小组讨论 通过演示，让学生对双曲线的特征有初步认识。 结合实际演示，形象直观的说明双曲线定义中必备条件 因为已经学习了椭圆的标准方程推导，因而可比较顺利地按照步骤写出过程，便于培养学生严谨规范的解决数学问题。 培养学生善于观察分析，从整体上把握问题。 让学生体会问题 的本质所在，只 是位置的不同， 图形是一致的。 与问题情境首位呼应，学以致用 锻炼学生数学建模能力 通过应用举例，进一步理解双曲线的定义，熟练掌握求解双曲线标准方程的方法 利用含参数的方程加深学生对双曲线标准方程的理解 教学环节 预设教师活动 预设学生活动 设计意图 研学 阶段 评学 阶段 探究生成: 1. 已知双曲线上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为______ 这节课大家学到了什么？ 自主完成 学生回顾本节内容，对所学知识进行归纳总结 检测学生掌握情况，提升学生能力 让学生学会学习，学会反思，学会总结 板书设计 2.6.1双曲线的标准方程 1.双曲线的定义 标准方程的推导 2.焦点在x轴上 标准方程 焦点在y轴上 标准方程 教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $