第2章 再练1课(范围：§2.1～§2.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学直线方程核心内容，系统梳理直线的倾斜角与斜率、平行垂直关系判定、距离公式及对称应用等知识点。从基础概念（倾斜角、斜率计算）到性质判定（平行垂直条件），再到综合应用（距离求解、对称点与直线方程确定），构建完整知识支架。 该资料题型多样且注重思维训练，如通过等腰三角形与直线倾斜角关系的题目培养几何直观（数学眼光），利用对称求直线方程发展推理能力（数学思维）。课中助力教师分层教学，课后详细解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

再练一课(范围：§2.1~§2.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案　C 解析　由已知，得＝tan 45°＝1.故y＝－1. 2.已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为(　　) A. B.－ C.a D.－或不存在 答案　D 解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在. 3.已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是(　　) A.(－2，－3) B.(2，1) C.(2，3) D.(－2，－1) 答案　C 解析　设点N的坐标为(x，x＋1)， ∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直， ∴kMN·＝－1， ∴kMN＝2，即＝2， 解得x＝2，故点N的坐标为(2，3). 4.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a的值是(　　) A.3或－2 B.3 C.－2 D.－3 答案　B 解析　∵l1∥l2，∴A1B2＝A2B1， 即a·(a－1)－6＝0，即a2－a－6＝0， 解得a＝3或－2. 当a＝3时，l1：3x＋3y－1＝0， l2：2x＋2y＋1＝0，∴l1∥l2， 当a＝－2时，l1：－2x＋3y－1＝0， 即2x－3y＋1＝0， l2：2x－3y＋1＝0，∴l1与l2重合. 综上有a＝3. 5.已知动点P在直线l1：3x－4y＋1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x＋my＋4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以≠， 解得m＝－8， 化简得l2：3x－4y＋2＝0， 设l1，l2间的距离为d，则d＝， 由平行线的性质知|PQ|的最小值为. 6.已知直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为(　　) A.－2 B.－ C. D. 答案　D 解析　令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k， 当围成的等腰三角形的底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2； 当围成的等腰三角形的底边在直线l2上时，θ＝或θ＝， 因为tan α＝＝2，且tan>0， 解得tan， 所以k＝tan θ＝tan， 或k＝tan θ＝tan ＝－； 当围成的等腰三角形的底边在直线l1上时，θ＝2α， 则k＝tan θ＝tan 2α＝＝－. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列说法正确的是(　　) A.直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B.点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1) C.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为 D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 答案　AB 解析　A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确； B选项，在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，故正确； C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误； D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误. 8.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　) A.直线l的倾斜角θ＝ B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m C.点到直线l的距离是2 D.过点(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0 答案　CD 解析　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角θ＝，故A错误； 对于B，直线l的斜率k＝，直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点(，0)到直线l的距离 d＝＝2，故C正确； 对于D，过点(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确. 9.已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值可以为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－1 答案　AB 解析　设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0， 因为AB的中点为P(x0，y0)， 所以B(2x0－x1，2y0－y1)， 因为A，B分别在直线x＋2y－1＝0和 x＋2y＋3＝0上， 所以x1＋2y1－1＝0， 2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0， 所以2x0＋4y0＋2＝0， 即x0＋2y0＋1＝0， 因为y0＝kx0，所以x0＋2kx0＋1＝0， 即x0＝－， 又y0>x0＋2，所以kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2， 所以(k－1)>2， 即<0， 解得－<k<－，故AB满足题意. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.过点(2，－1)且法向量为(2，－1)的直线方程是　　　　　　　　.  答案　2x－y－5＝0 解析　设直线方程为2x－y＋c＝0， 将点(2，－1)代入解得c＝－5. 所以所求直线方程为2x－y－5＝0. 11.已知三角形的三个顶点A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为　　　　.  答案　 解析　设BC边的中点M的坐标为(x，y)， 则 即M的坐标为(6，0)， 所以|AM|＝. 12.已知0<x<2，0<y<1，则的最小值是　　　　.  答案　2 解析　设P(x，y)，O(0，0)， A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)， 因为0<x<2，0<y<1，则点P(x，y)在矩形ABCO的内部，如图所示， 可得 ＋ ＝|OP|＋|CP|＋|AP|＋|BP| ＝(|OP|＋|BP|)＋(|CP|＋|AP|)≥ |OB|＋|AC|＝2， 当且仅当P为OB，AC的交点时，等号成立. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知直线2x－3y＋1＝0和直线x＋y－2＝0的交点为P. (1)求过点P且与直线3x－y－1＝0平行的直线方程；(6分) (2)若直线l1与直线3x－y－1＝0垂直，且点P到l1的距离为，求直线l1的方程.(6分) 解　联立 解得可知交点P(1，1). (1)设与直线3x－y－1＝0平行的直线方程为3x－y＋c1＝0(c1≠－1)， 把交点P(1，1)代入可得3－1＋c1＝0，∴c1＝－2， ∴所求的直线方程为3x－y－2＝0. (2)设与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为l1： x＋3y＋c2＝0， ∵P(1，1)到l1的距离为， 解得c2＝0或－8， ∴直线l1的方程为x＋3y＝0或x＋3y－8＝0. 14.(12分)已知直线l：(a2－a＋1)x－(a2＋a＋1)y－a2＋3a－1＝0，a∈R. (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；(6分) (2)求当a＝1和a＝－1时对应的两条直线夹角的余弦值.(6分) 解　(1)∵l：(a2－a＋1)x－(a2＋a＋1)y－a2＋3a－1＝0， ∴(x－y－1)a2＋(－x－y＋3)a＋(x－y－1)＝0， ∴ ∴直线l恒过定点，定点坐标为(2，1). (2)当a＝1时，直线的方程为x－3y＋1＝0， 则该直线的方向向量为(3，1)， 当a＝－1时，直线的方程为3x－y－5＝0， 则该直线的方向向量为(1，3)， 设两条直线的夹角为θ， 则cos θ＝， 所以两直线夹角的余弦值为. 15.(13分)已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x. (1)求直线BC的方程；(6分) (2)求直线AB的方程.(7分) 解　如图. (1)因为∠ABC，∠ACB的平分线分别是x＝0，y＝x， 所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称. A(3，－1)关于x＝0的对称点A'(－3，－1)在直线BC上， A关于y＝x的对称点A″(－1，3)也在直线BC上. 由两点式求得直线BC的方程为， 即2x－y＋5＝0. (2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称， 即直线AB与BC关于y轴对称， 所以直线AB与BC的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC的斜率为2， 所以直线AB的斜率为－2， 又因为点A的坐标为(3，－1)， 所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)， 即2x＋y－5＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $