第1章 再练一课(范围：§1.1)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量与空间直角坐标系核心知识点，系统梳理向量的基本概念、坐标运算及空间位置关系判定，从向量模、单位向量等基础概念，到空间点的对称、距离计算，再到向量投影、共线与垂直的综合应用，构建递进式学习支架。 资料题型丰富，涵盖选择、填空、解答题，注重概念辨析与实际应用结合。如辨析向量与有向线段培养抽象能力（数学眼光），通过向量关系推理求三角形高发展推理意识（数学思维），用向量线性表示证明四点共面强化数学语言表达。课中助力教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，提升空间观念与运算能力。

再练一课(范围：§1.1) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列命题中为真命题的是(　　) A.向量与的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 答案　A 解析　对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等. 2.空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是(　　) A.(－3，2，5) B.(3，－2，5) C.(3，2，－5) D.(－3，－2，－5) 答案　C 解析　空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)， 因为点Q与点P关于zOx平面对称， 所以点Q的坐标是(3，2，－5). 3.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A. B.3 C. D. 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为. 4.已知向量a＝(－1，1，2)，b＝(2，－1，0)，则a在b上的投影的数量为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　A 解析　a在b上的投影的数量为 |a|cos〈a，b〉＝＝－. 5.△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　) A.5 B. C.4 D.2 答案　A 解析　设＝λ， 又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ). 又∵＝(4，－5，0)，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ). 由·＝0，得λ＝－， ∴，∴||＝5. 6.如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，AD＝CD＝AB＝2，E为的中点，F为母线BC的中点，则和所成角的正切值为(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　设圆台的上底面圆心为M，下底面圆心为O，过点C作CN⊥AB于点N， 则OM＝CN＝ ＝， 连接OE，因为E为的中点，所以OE⊥AB，以O为原点，分别以OE，OB，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，－2，0)，C(0，1，)，E(2，0，0)， F， ＝(0，3，)，， cos〈，〉＝， 设和所成的角为θ，θ∈[0，π]， 可得tan θ＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　) A.(2，5，0) B.(－4，－1，－6) C.(3，4，1) D.(－3，－2，－5) 答案　AB 解析　设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1，1，1)， ∴ 解得或 ∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0). 8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，－2)，B(0，1，1)，下列结论正确的有(　　) A.＝(－1，－1，3) B.若m＝(2，1，1)，则m⊥ C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，－2，2) D.||＝ 答案　AB 解析　∵A(1，2，－2)，B(0，1，1)，∴＝(－1，－1，3)，故A正确；||＝，故D错误；若m＝(2，1，1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥，故B正确；点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，2)，故C错误. 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为B1D1上一点且·＝1，则等于(　　) A. B. C. D.1 答案　BD 解析　如图所示建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)， 设点P(a，a，1)， ∴＝(a－1，a，1)， ＝(a－1，a－1，1)， ∴·＝(a－1)2＋a(a－1)＋1＝1， 解得a＝1或a＝. 当a＝1时，点P在B1处，∴＝1， 当a＝时，P为D1B1的中点，∴. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝　　　　(用a，b，c表示). 答案　a－b＋c 解析　由E为PD的中点知， )＝－) ＝－ ＝－)＋) ＝－a－b＋c. 11.如图，设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线VO，VO＝2，E为VO的中点，则与夹角的余弦值为　　　　. 答案　 解析　如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(1，1，0)，E(0，0，1)， V(0，0，2)，C(－1，1，0)， 则＝(－1，－1，2)， ＝(1，－1，1)， 故cos〈，〉＝， 即与夹角的余弦值为. 12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段AC1上(不含端点).若∠BPD是锐角，则线段C1P长度的取值范围为　　　　.  答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0)，＝(2，－2，－2)， 设＝λ，λ∈(0，1)， 则＝(2λ，－2λ，－2λ)，则P(2λ，2－2λ，2－2λ)， 所以＝(－2λ，2λ－2，2λ－2)， ＝(2－2λ，2λ，2λ－2)， 显然与不可能同向， 因为∠BPD是锐角， 所以·＝12λ2－16λ＋4>0， 解得λ>1或λ<，又λ∈(0，1)，所以λ∈，又||＝2， 所以||＝λ||∈，即线段C1P长度的取值范围为. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面；(6分) (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值.(6分) (1)证明　因为 ＝ ＝ ＝()＋()＝， 所以A，E，C1，F四点共面. (2)解　因为 ＝－() ＝ ＝－， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 14.(12分)已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直. (1)求向量b的坐标；(6分) (2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值.(6分) 解　(1)设b＝(x，y，z)， 则由题意可知 解得或 ∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2). (2)∵向量b与向量d＝共线， ∴b＝(2，－1，2). 又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)， ∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)， ∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32， 且|a－b|＝2，|2b＋3c|＝3， ∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为 cos〈a－b，2b＋3c〉＝＝－. 15.(13分)如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题. (1)求证：AC⊥SD；(6分) (2)若BC＝2，求线段BP的长.(7分) (1)证明　连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示.设底面边长为a，则高SO＝a， 于是O(0，0，0)，S，D， C， 所以， ， 所以·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)解　因为BC＝2， 所以B(，0，0)，S(0，0，)，D(－，0，0). 由中点坐标公式，可得P， 所以， 所以||＝， 即线段BP的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $