第2章 平面解析几何 章末检测试卷(2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中解析几何，涵盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线截距、圆的方程、椭圆定义等|基础概念辨析，如第1题分类讨论截距相等| |多选|3/18|轨迹方程判断、动圆圆心轨迹等|多选项分层考查，如第11题结合抛物线与圆| |填空|3/15|角平分线方程、椭圆离心率等|知识综合应用，如第13题切线与离心率关联| |解答题|5/77|圆的方程、椭圆弦长、抛物线定点等|注重推理与建模，如第18题证明直线过定点|

章末检测试卷(二) [时间：120分钟 分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a等于(　　) A.1 B.－1 C.－2或1 D.2或1 答案　D 解析　由题意知a≠0，当－2＋a＝0，即a＝2时，直线ax＋y－2＋a＝0化为2x＋y＝0， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； 当－2＋a≠0，即a≠2时， 直线ax＋y－2＋a＝0化为＝1， 由直线在两坐标轴上的截距相等， 可得＝2－a，解得a＝1. 综上所述，实数a＝2或a＝1. 2.经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是(　　) A.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 答案　A 解析　设圆心的坐标为(a，b)，圆半径为r， 则a2＋b2＝r2， ① (a－2)2＋b2＝r2， ② ＝r. ③ 由①②③组成方程组，解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3.直线l1：ax－4y＋2＝0与直线l2：x－ay－1＝0平行，则a的值为(　　) A.±2 B.2 C.－2 D.－1 答案　B 解析　当a＝0时，显然两直线不平行， 当a≠0时，由两直线平行得≠， 解得a＝2. 4.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为(　　) A.(－19，－62) B.(19，－62) C.(－19，62) D.(19，62) 答案　A 解析　∵H为△ABC的垂心， ∴AH⊥BC，BH⊥AC， 又kBC＝＝－， kBH＝＝－， ∴直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5， 设A(x，y)，则 解得∴A(－19，－62). 5.已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝4外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，由已知得2＋＝5，解得m＝－8.因为圆心C(1，0)到直线5x＋12y＋8＝0的距离d＝＝1，所以点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为1＋3＝4. 6.设P(x，y)，若＝8，则点P的轨迹方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　由题意可知，点P(x，y)到点F1(0，2)的距离与到点F2(0，－2)的距离之和为定值8，并且8>4＝|F1F2|， 所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 所以2a＝8，a＝4， 因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－12＝4， 所以点P的轨迹方程为＝1. 7.设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A.＝1 B.x2－＝1 C.－y2＝1 D.x2－y2＝1 答案　D 解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为(1，0)， ∴直线l的斜率kl＝＝－b＝－，解得a＝1. 又∵·(－b)＝－1，∴b＝a＝1， ∴双曲线C的方程为x2－y2＝1. 8.设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　由题意得解得 ∴|F1F2|＝2c＝2a. ∵在△PF1F2中，F1P⊥F2P， ∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2. 不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a. ∵△PF1F2的面积为4， ∴|F1P||F2P|＝4，即|F1P||F2P|＝8. ∴(|F1P|－|F2P|)2 ＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|， 即4a2＝20a2－2×8，解得a＝1. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.方程＝1表示一条直线 B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝2 C.方程＝0表示四个点 D.“5<m<7”是“方程＝1表示椭圆”的必要不充分条件 答案　CD 解析　对于A，∵＝1， 即x－y－2＝0(x≠2)，表示直线x－y－2＝0去掉一点(2，0)，故A错误； 对于B，根据题意可知，满足要求的轨迹方程为|y|＝2，故B错误； 对于C，∵＝0， 即即表示(1，2)，(1，－2)，(－1，2)，(－1，－2)四个点，故C正确； 对于D，若＝1表示椭圆， 则即5<m<6或6<m<7， ∴“5<m<7”是“方程＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故D正确. 10.已知动圆P与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，动圆圆心P的轨迹方程为C，则下列说法正确的是(　　) A.轨迹方程C为＝1 B.轨迹方程C的焦距为3 C.轨迹方程C的长轴长为10 D.轨迹方程C的离心率为 答案　ACD 解析　圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，半径r2＝9， 设点P(x，y)，动圆的半径为r(r>0)，则由题意得|PC1|＝1＋r，|PC2|＝9－r， 所以|PC1|＋|PC2|＝10，即动点P到两个定点C1(－3，0)，C2(3，0)的距离之和为10. 又因为10＝|PC1|＋|PC2|>|C1C2|＝6， 所以点P在以两定点C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，10为长轴长的椭圆上. 所以设此椭圆的方程为C：＝1， 由a＝5，c＝3，则b2＝a2－c2＝16， 因此，动圆圆心P所在的曲线方程为＝1. 所以轨迹方程C的焦距为6，长轴长为10， 离心率为. 11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于顶点的两个动点A，B，以AB为直径的圆过原点，则下列说法正确的是(　　) A.直线AB过定点(0，1) B.△AOB的重心的轨迹为抛物线 C.△AOB的面积的最小值为1 D.若OM⊥AB于点M，则M点的轨迹为椭圆 答案　ABC 解析　易知直线AB线率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m， 联立得x2－kx－m＝0， 所以x1x2＝－m，x1＋x2＝k， 由题知OA⊥OB，则·＝x1x2＋y1y2＝0， 即x1x2＋＝0，所以x1x2＝－1，即m＝1， 故直线AB过定点P(0，1)，A项正确； 设△AOB的重心为G(x0，y0)， 则即 所以y0＝3， 因此G点的轨迹为抛物线，B项正确； |AB|＝ ＝·， O到AB的距离d＝， 所以S△AOB＝|AB|·d＝≥1， 当且仅当k＝0时等号成立，C项正确； 若OM⊥AB于点M，则OM⊥MP， 设OP的中点为Q， 则|MQ|＝|OP|＝， 故M点的轨迹为圆，D项错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则∠A的平分线所在直线的一般式方程是　　　　　　.  答案　7x＋y－29＝0 解析　向量＝(3，4)，＝(－8，6)， 故∠A的平分线的一个方向向量为 ＝， 故∠A的平分线所在直线的方程可设为 x＋y＋m＝0， 将A(4，1)代入方程得m＝－， 故直线方程为x＋y－＝0，即7x＋y－29＝0. 13.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　由题意，椭圆＝1(a>b>0)， 可得右焦点为F(c，0)， 因为过点F(c，0)作圆x2＋y2＝b2的切线， 可得b＝c，则2b2＝c2， 即2(a2－c2)＝c2，即2a2＝3c2，可得， 所以e＝. 14.如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S，圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.若直线l截圆L，圆S，圆Q所得弦长均等于d，则d＝　　　　.  答案　 解析　由题意，得圆L与圆S关于原点对称， 设S(a，0)(a>0)， 则＝2＋3，a＝4， 即S(4，0)，∴L(－4，0). 设方程为y＝kx(k≠0)， 则三个圆心到该直线的距离分别为 d1＝，d2＝，d3＝， 则d2＝4(4－)＝4(4－)＝4(9－)， 即有4－＝4－ ＝9－，解得k2＝， 则d2＝4，即d＝. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)等腰直角△ABC的直角为角C，且点C(0，－1)，斜边AB所在的直线方程为x＋2y－8＝0. (1)求△ABC的面积；(6分) (2)求斜边AB中点D的坐标.(7分) 解　(1)顶点C到斜边AB的距离 d＝＝2， 所以斜边|AB|＝2d＝4， 故△ABC的面积S＝|AB|·d ＝×4×2＝20. (2)由题意知，CD⊥AB， 又kAB＝－，所以kCD＝2， 所以直线CD的方程为y＝2x－1， 即2x－y－1＝0， 由解得 所以点D的坐标为(2，3). 16.(15分)已知圆E经过点A(0，0)，B(1，1)，从下列3个条件选取一个： ①过点C(2，0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切. (1)求圆E的方程；(7分) (2)过点P(3，0)的直线l与圆E相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.(8分) 解　(1)选①，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意可得解得 则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1. 选②，直线mx－y－m＝0恒过(1，0)， 而圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分， 所以mx－y－m＝0恒过圆心， 所以圆心为(1，0)， 可设圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝r2， 由圆E经过点A(0，0)，得r2＝1， 则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1. 选③，设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意可得 解得 则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)因为M为AB的中点，E为圆心， 根据垂径定理，得EM⊥AB， 所以点M落在以EP为直径的圆上， 其方程为(x－2)2＋y2＝1. 即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧， 由解得x＝， 所以M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1. 17.(15分)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点. (1)求△ABF2的周长；(5分) (2)若l的倾斜角为，求弦长AB.(10分) 解　(1)椭圆＝1，a＝2，b＝，c＝1， 由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4， |BF1|＋|BF2|＝2a＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|， ∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8. 故△ABF2的周长为8. (2)由(1)可知F1(－1，0)，∵AB的倾斜角为， 则直线AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故直线AB的方程为y＝x＋1. 联立方程 整理得7y2－6y－9＝0， 由根与系数的关系可知y1＋y2＝， y1y2＝－， 则由弦长公式得 |AB|＝· ＝·， 故弦长|AB|＝. 18.(17分)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点. (1)若直线l的斜率为－1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(7分) (2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点.(10分) (1)解　抛物线为y2＝4x， 所以焦点坐标为(1，0)，直线AB的斜率为－1， 则直线AB的方程为y＝－x＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－6x＋1＝0， 可得x1＋x2＝6， 又由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2， 所以|AB|＝8. (2)证明　设直线AB的方程为x＝my＋n， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－4my－4n＝0， Δ＝16m2＋16n>0， 所以y1y2＝－4n， x1x2＝·＝n2， 因为OA⊥OB，所以·＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 所以n2－4n＝0，解得n＝0，或n＝4， 当n＝0时，直线AB过原点，不满足题意； 当n＝4时，直线AB过点(4，0)， 故当OA⊥OB时，直线AB过定点(4，0). 19.(17分)已知椭圆＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点. (1)求椭圆的方程；(7分) (2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.(10分) 解　(1)由已知可得b＝3，记半焦距为c， 由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3， 又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18， 所以椭圆的方程为＝1. (2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P， 所以AB⊥CP. 依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在. 设直线AB的方程为y＝kx－3. 联立方程组 消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0， 解得x＝0或x＝. 依题意，可得点B的坐标为. 因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)， 所以点P的坐标为. 由3，得点C的坐标为(1，0)， 故直线CP的斜率为. 又因为AB⊥CP，所以k·＝－1， 整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1. 所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3， 即x－2y－6＝0或x－y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $