高中数学单元测试——第二章平面解析几何（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学平面解析几何单元复习卷，聚焦直线、圆、圆锥曲线核心知识，通过基础题（如直线垂直、双曲线渐近线）与情境应用题（如抛物线拱桥），考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型观念），适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直、圆的圆心、椭圆离心率|基础概念辨析，如第3题判断圆心位置| |多选题|3/18|椭圆焦点性质、圆的弦长与位置关系|多维度考查，如第9题结合椭圆定义与圆方程| |填空题|3/15|直线距离、抛物线最值、对称点应用|空间想象与转化，如第13题抛物线焦点与动点距离| |解答题|5/77|直线方程、抛物线弦长、圆的位置关系、轨迹方程|综合应用与创新，如第19题动圆外切/内切求轨迹，体现逻辑推理与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定焦点在轴上，再求出，写出方程即可． 【详解】双曲线，则双曲线焦点在轴上，则， 所以渐近线方程． 故选：A． 3．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】求得圆心坐标后判断即可求解. 【详解】圆的圆心为，在x轴上. 故选：A 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先验证曲线关于对称且在斜椭圆上，求出直线与椭圆的交点，化简得到 ，当位于点时，最大为. 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上， 所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则，    联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为2 C．的周长为 D．点在圆上 【答案】CD 【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义，结合条件可求出，易判断A，B，C项，利用勾股定理逆定理可得，即得，从而判断D项. 【详解】由可得，则，则椭圆焦距为，故B错误； 又因，，联立解得，故A错误； 的周长为，故C正确； 又因，则， 因w为点是的中点，则，即点在圆上，故D正确. 故选：CD. 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 【答案】BC 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C. 【详解】由圆得， 所以圆心，半径， 对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误； 对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确； 对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确； 对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误． 故选:BC． 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）若直线与之间的距离为，则实数__________. 【答案】4或/或4 【分析】根据两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线，可变形为， 所以两平行线与之间的距离为 ，解得或4. 故答案为：或4 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. (2)直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. （2）令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)①； ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点. 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为2 C．的周长为 D．点在圆上 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）若直线与之间的距离为，则实数__________. 13．（本题5分）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $