高中数学单元测试——第二章平面解析几何（较难版01）

**基本信息** 高中数学平面解析几何单元复习较难卷，覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过文化情境（如古代拱桥）与创新图形（如斜椭圆、双纽线），考查几何直观、运算推理及模型应用能力，适配单元提升训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、圆锥曲线定义|基础概念与几何直观结合，如第6题抛物线拱桥建模| |多选题|3/18|圆锥曲线定义辨析、圆与直线位置关系|第11题双纽线与椭圆综合，考查推理能力| |填空题|3/15|平行直线距离、抛物线性质|第14题直线上动点距离最值，体现数学思维| |解答题|5/67|直线方程、圆与圆位置关系、椭圆证明、轨迹与定点|19题轨迹方程与定点证明，综合运算与逻辑推理，贴近高考命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大，然后利用斜率与倾斜角的关系可得答案 【详解】解： 由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大， 因为，， 所以， 所以， 因为，所以或， 故选：D 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定焦点在轴上，再求出，写出方程即可． 【详解】双曲线，则双曲线焦点在轴上，则， 所以渐近线方程． 故选：A． 3．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（本题5分）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标． 【详解】化简得，即， 由，所以直线过定点. 故选：B 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得，经检验，符合题意. 故选：B 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】先验证曲线关于对称且在斜椭圆上，求出直线与椭圆的交点，化简得到 ，当位于点时，最大为. 【详解】因为关于直线的对称点分别为， 易知点都在曲线上， 所以曲线关于对称， 因为满足曲线方程，所以在斜椭圆上， 设的中点为，则，    联立，得或，所以， ， 当位于点时，最大，此时. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为， 因此准线l与x轴的交点M的坐标为， 设点的坐标为，则有， 因为， 所以由抛物线的定义可得， 于是， 故答案为：    14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用两点式可得答案； （2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案． 【详解】（1）由两点式可得：， 化简得AC边所在直线的一般方程为； （2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率． ∴BC边上的高所在直线方程为：， 化简得BC边上的高所在直线方程为． 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）依题意求出焦准距，即得抛物线方程； （2）先求得直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用抛物线焦点弦公式计算即得. 【详解】（1）由题意，，则抛物线的标准方程为：. （2）由抛物线可得其焦点为，则直线的方程为：， 将其代入抛物线方程，整理得：， 则，设，则， 于是.    17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 【答案】(1) (2) 法一：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得， ，，， 而，则 ， 所以. 法二：直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 由消去得，， ，，， 而，则， ，所以 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，法一：借助作差法推理得证；法二：借助作商法计算推理得证. 【详解】（1）依题意，椭圆的半焦距，由，得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）略 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 【答案】(1)； (2)解法一：设， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为， 分别联立，有，可得或（点横坐标，舍），则， 此时直线MN的方程为，过点； 当直线MN斜率存在时，设其方程为， 由，消去y得， 所以， 由根与系数的关系得， 因为，所以，即， 即， 即， 将，代入化简得， 所以或， 当时，直线MN方程为（不合题意，舍）， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点， 综上所述，直线MN过定点．    解法二：（齐次化）设不过点A的直线MN的方程为， 将双曲线E的方程变形为：，即， 将直线MN的方程代入得，， 整理得，， 变形得． 由题意，直线AM、AN的斜率存在，且， 设， 则是方程的两个根， 所以，解得， 则直线MN的方程为，整理得， 令，得，所以直线MN恒过定点． 【分析】（1）根据两点距离、点线距离求曲线E的方程； （2）法一：讨论直线MN斜率存在性，设直线方程并联立双曲线方程，利用韦达定理及求出相关参数，得到直线方程，进而确定直线是否过定点；法二：将视作对称中心，齐次化处理相关方程、设直线方程，联立方程并结合求方程中所含的参数值，进而确定直线是否过定点； 【详解】（1）设，因为P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， 所以，化简得，曲线E的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立双曲线方程并应用韦达定理及求出直线方程中的相关参数为关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 2．（本题5分）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 8．（本题5分）将焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定的角度就会得到斜椭圆，已知曲线的形状是如图所示的斜椭圆，为斜椭圆上任意一点，，则的最大值为（    ）    A．15 B．16 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 13．（本题5分）设抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____. 14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）已知是椭圆的左焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点（异于，），记直线，的斜率分别为，.证明：. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $