第2章 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆锥曲线的弦长问题这一核心知识点，先通过问题引导推导弦长公式（涉及直线斜率、两点坐标及韦达定理的应用），再系统梳理弦长计算、由弦长求参数值、与弦长有关的最值范围等应用，构建从公式到综合问题的递进式学习支架。 该资料以问题驱动培养数学眼光，引导学生从几何现象中抽象数量关系，通过多种解题方法对比发展数学思维（如坐标法与弦长公式法的推理应用），规范符号表达强化数学语言。例题、跟踪训练与课时对点练结合，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固查漏，提升解决综合问题的能力。

学习目标　1.掌握圆锥曲线的弦长公式.2.会根据弦长解决一些简单的问题. 一、弦长问题 问题　当直线与圆锥曲线相交时，如何求弦长？ 提示　设直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝. 知识梳理 直线与圆锥曲线相交于A，B两点，直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝·， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 特别地，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. 注意点：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积. (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论. 例1　已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 解　因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)， 又直线斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 方法一　解方程组 得交点A(0，－2)，B， 所以|AB|＝ ＝. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 方法三　由方程组 消去x得3y2＋2y－8＝0， 因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 反思感悟　求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利用弦长公式求解. 跟踪训练1　如图，已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直线l的方程为y＝. 联立消去y，得x2－5x＋＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知， |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－， 所以M到准线的距离等于3＋. 二、由弦长求参数的值 例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值. 解　(1)由题意得得b＝， 所以椭圆C的方程为＝1. (2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积 S＝|MN|·d＝， 由，得k＝±1，满足Δ>0. 所以当△AMN的面积为时，k＝±1. 反思感悟　根据题意，通过建立等式或不等式求参数的值或取值范围，数学运算是正确解决问题的关键. 跟踪训练2　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值. 解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴ ＝y＋，化简得x2＝2y. 故点P的轨迹方程为x2＝2y. (2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y化简得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝· ＝·＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 三、与弦长有关的最值、范围问题 例3　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)过点P(0，2)且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程. 解　(1)设E的半焦距为c(c>0)， 由已知，得 解得 故E的方程为＋y2＝1. (2)由题可设l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 将y＝kx＋2代入＋y2＝1， 消去y，得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0. 当Δ＝8(2k2－3)>0，即k2>时， x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝·|x1－x2| ＝ ＝， 又点O到直线l的距离d＝， 所以△OAB的面积S△OAB＝d·|AB|＝. 设＝t，则t>0， S△OAB＝≤， 当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0. 所以△OAB的面积最大值为， 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0或x＋2y－4＝0. 反思感悟　求与弦长有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、均值不等式等求解，注意椭圆、双曲线的范围. 跟踪训练3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为＋1. (1)求双曲线E的方程； (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围. 解　(1)因为双曲线E：＝1(a>0，b>0)为等轴双曲线， 所以a＝b，设双曲线的焦距为2c，c>0， 故c2＝a2＋b2＝2a2，即c＝a. 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将xB＝c＝a代入＝1， 可得|yB|＝a，故|BC|＝2a. 因为△ABC的面积为＋1， 所以×|BC|×|AF|＝＋1， 即×2a×(a＋c)＝＋1， 所以a2＝1，a＝1， 故双曲线E的方程为x2－y2＝1. (2)依题意，直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得 (1－k2)x2＋2kx－2＝0， 所以 解得－1<k<1，且 所以|MN|＝ ＝|xM－xN| ＝ ＝ ＝. 联立方程组 得xP＝，同理xQ＝， 所以|PQ|＝|xP－xQ| ＝. 所以， 其中－1<k<1，所以∈(1，]. 1.知识清单： (1)弦长问题. (2)由弦长求参数的值. (3)与弦长有关的最值、范围问题. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 1.过椭圆＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦的弦长是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦. 将x＝c代入椭圆＝1， 得y＝±，故最短弦的弦长是. 2.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为(　　) A.4 B.6 C.8 D.8 答案　D 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，则直线l的方程为y＝x－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立可得x2－6x＋1＝0，Δ＝62－4>0， 所以x1＋x2＝6， 由抛物线的焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 3.已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　双曲线＝1， 过F1的直线l垂直于x轴时， |AB|＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2， ∴满足|AB|＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交. 4.已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若·＝12，则△AOB面积的最小值为　　　　　　.  答案　8 解析　设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)， 将x＝ty＋m代入y2＝x， 可得y2－ty－m＝0，Δ＝t2＋4m>0， 由根与系数的关系得y1y2＝－m，y1＋y2＝t， ∵·＝12， ∴x1x2＋y1y2＝12， 从而(y1y2)2＋y1y2－12＝0， ∵点A，B位于x轴的两侧， ∴y1y2＝－4，故m＝4. 故直线AB所过的定点是M(4，0)， ∴△AOB的面积S＝·|OM|·|y1－y2| ＝2·＝2≥8， 当t＝0，即直线AB垂直于x轴时， △AOB的面积取得最小值，最小值为8. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.椭圆C：x2＋2y2＝1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A，B，则|AB|的最小值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　要使|AB|最小，则l过右焦点F且与x轴垂直，右焦点为F，直线l为x＝，联立此直线和椭圆，解得交点的纵坐标为±，故|AB|的最小值为1. 2.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A.8 B. C. D. 答案　B 解析　联立 消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝· ＝×. 3.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　) A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25 答案　B 解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)， 与y＝x联立，得x2＝a2， ∴|AB|＝×a＝2， ∴a＝3，即x2－y2＝9. 4.已知直线y＝2x与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若||＋||＝2，||＝2，则|AB|等于(　　) A.2 B. C. D.4 答案　C 解析　 由对称性可得||＋||＝2a＝2， 所以a＝， 又||＝2c＝2，所以c＝1，所以b2＝1， 即椭圆C的方程为＋y2＝1， 将y＝2x与＋y2＝1联立，消去y得x2＝， 所以|AB|＝×2×|x| ＝2×. 5.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则(　　) A.焦点F的坐标为(1，0) B.过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 C.直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8 D.若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4 答案　ACD 解析　由题可知抛物线C的方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确； 对于B，过点A(－1，0)可作抛物线的2条切线，且直线y＝0与抛物线C有且只有一个公共点，故过点A(－1，0)共有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故B错误； 对于C，由得y2＋4y－4＝0， 设弦的两个端点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4， 所以弦长|DE|＝|y1－y2| ＝· ＝×＝8，故C正确； 对于D，由得x2＋4x－5＝0， 解得x＝1或x＝－5(舍去)， 将x＝1代入y2＝4x，得y＝±2， 故交点为(1，±2)， 所以|MN|＝4，故D正确. 6.(多选)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点(xA<xB)，则(　　) A.|AF|＋|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 答案　ACD 解析　设椭圆的左焦点为F'， 则|AF'|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝6为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6， |AB|的取值范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误； 将y＝与椭圆方程联立， 可解得A，B，又∵F(，0)， ∴·＝0， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立， 解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确. 7.(5分)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝　　　　.  答案　4 解析　由双曲线方程可得右焦点为(2，0)， 渐近线方程为y＝±x， 把x＝2代入渐近线方程， 得y＝±2，故|AB|＝4. 8.(5分)已知O为坐标原点，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，则△AOB的面积为　　　　.  答案　2 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－6x＋4＝0， 所以x1＋x2＝6，x1x2＝4， 所以· ＝·＝2， 因为点O到直线y＝x－2的距离d＝， 所以S△AOB＝×2×＝2. 9.(10分)如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(4分) (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.(6分) 解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＝4x1，＝4x2，kPQ＝＝2， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理，|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值，最小值为32. 10.(10分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程；(4分) (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程.(6分) 解　(1)依题意知，c＝2， 所以a2＋b2＝4， 则双曲线C的方程为＝1(0<a2<4)， 将点P(5，)代入上式， 得＝1， 解得a2＝50(舍去)或a2＝2， 故所求双曲线的方程为＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2， 代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得 (*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝·＝·. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝d·|AB|＝×··. 又S△OAB＝2，即＝1，所以k4－k2－2＝0， 解得k＝±，满足(*). 故满足条件的直线l有两条， 其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 11.已知双曲线C：＝1(a>0)，过右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.且|AB|＝16，这样的直线有4条，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，64) 答案　B 解析　设F(c，0)，令x＝c，则y＝±， 过双曲线C：＝1(a>0)的右焦点作直线l与双曲线C交于A，B两点， 如果A，B在同一支上，则|AB|min＝， 如果A，B在两支上，则|AB|min＝2， 因为|AB|＝16这样的直线有4条， 所以解得<a<64. 12.已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若＝3，则|MN|等于(　　) A. B. C.2 D. 答案　B 解析　抛物线C：y2＝2x的焦点为F， 准线为l：x＝－， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， M，N到准线l的距离分别为dM，dN， 如图，过M向l作垂线，垂足为Q， 则dM＝|MQ|， 由抛物线的定义可知 |MF|＝dM＝x1＋， |NF|＝dN＝x2＋， 于是|MN|＝|MF|＋|NF| ＝x1＋x2＋1. ∵＝3， 则|PM|＝2|QM|， 易知直线MN的斜率为±， ∵F，∴直线PF的方程为 y＝±， 将y＝±，代入方程y2＝2x， 得3＝2x，化简得12x2－20x＋3＝0， ∴x1＋x2＝， 于是|MN|＝x1＋x2＋1＝＋1＝. 13.(5分)已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为　　　　　　　　.  答案　x－y＋1＝0或x＋y－1＝0 解析　由题意得b＝1，c＝1， 则a2＝b2＋c2＝1＋1＝2， 即椭圆方程为＋x2＝1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2， 不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1， 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立. 设C(x1，y1)，D(x2，y2). ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴|CD|＝|x1－x2| ＝ ＝. 即， 解得k2＝2，∴k＝±. ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 14.(5分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l与C相交于M，N两点，则2|MF|＋|NF|的最小值为　　　　　　.  答案　 解析　由抛物线C的方程为x2＝4y，焦点为F(0，1)， 设直线l的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程 整理得x2－4kx－4＝0， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 故y1y2＝·＝1， 又|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1， 则2|MF|＋|NF|＝2(y1＋1)＋(y2＋1) ＝2y1＋y2＋≥2， 当且仅当2y1＝y2，即y1＝，y2＝2时等号成立， 故2|MF|＋|NF|的最小值为. 15.(多选)已知双曲线C1：＝m与双曲线C2：＝n，其中a>0，b>0，m>n>0，则下列说法中正确的是(　　) A.双曲线C1，C2的焦距之比为m∶n B.双曲线C1，C2的离心率相同，渐近线也相同 C.过C1上的任一点P引C1的切线交C2于点A，B，则点P为线段AB的中点 D.斜率为k(k>0)的直线与C1，C2的右支由上到下依次交于点A，B，C，D，则|AC|＝|BD| 答案　BCD 解析　对于A，C1：＝1的焦距为2，C2：＝1的焦距为2， 所以两双曲线的焦距之比为2∶2∶，故A错误； 对于B，C1：＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率为， C2：＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率为，所以两双曲线的渐近线相同，离心率也相同，故B正确； 对于C，当切线斜率不存在时，易知P为C1的右顶点，此时点P为线段AB的中点，符合题意；当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋t，与C1联立得， 得(b2－a2k2)x2－2a2ktx－a2t2－ma2b2＝0，又直线与C1相切， 所以xP＝； 与C2联立得， 得(b2－a2k2)x2－2a2ktx－a2t2－na2b2＝0， 所以xA＋xB＝，所以xA＋xB＝2xP， 即P为AB的中点，故C正确； 对于D，由选项C的分析知，xA＋xD＝，xB＋xC＝， 所以xA＋xD＝xB＋xC，得xA－xC＝xB－xD， 又|AC|＝|xA－xC|，|BD|＝|xB－xD|，所以|AC|＝|BD|，故D正确. 16.(12分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，焦距为2，点M(x0，y0)在椭圆C上，当线段MF2的垂直平分线经过F1时，有cos∠MF2F1＝. (1)求椭圆C的标准方程；(3分) (2)如图，过原点O作圆M：的两条切线，分别与椭圆C交于点P和点Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.当点M在椭圆上运动时. ①证明：k1k2恒为定值，并求出这个定值；(4分) ②求四边形OPMQ面积的最大值.(5分) 解　(1)取MF2的中点记为N，连接NF1. 因为F1N是线段MF2的垂直平分线，所以|MF1|＝|F1F2|，F1N⊥MF2， 在Rt△F1NF2中，|F1F2|＝2， cos∠NF2F1＝， 所以|NF2|＝－1， 则2a＝|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＋2|NF2|＝2， 即a＝，因为c＝1，所以b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)①直线OP：y＝k1x与☉M相切，☉M的半径r＝，M(x0，y0)，则＝r， 整理得(－r2)－2x0y0k1＋－r2＝0. 直线OQ：y＝k2x与☉M相切， 同理有(－r2)－2x0y0k2＋－r2＝0， 则k1，k2是关于x的方程(－r2)x2－2x0y0x＋－r2＝0的两根， 由根与系数的关系知 k1k2＝＝－. ②由①知k1k2＝－，如图， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 ⇒ ⇒|OP|＝， 同理可得|OQ|＝ ＝， S四边形OPMQ＝S△OPM＋S△OQM＝r(|OP|＋|OQ|) ＝·， 因为≤2[]＝6(2＋1)， 所以≤， 当，即k1＝±时， ＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $