第2章 2.7.2 抛物线的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦抛物线的几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆、双曲线的研究方法引入，系统梳理抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线、离心率等性质，构建从定义到应用再到轨迹方程求法的完整学习支架。 该资料以问题驱动探究，通过类比迁移培养数学思维，结合例题与分层训练提升数学语言表达能力，如利用图形分析对称性解决内接三角形问题，课时对点练助力学生巩固应用。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，深化对几何性质的理解与运用。

2.7.2　抛物线的几何性质 学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题. 一、抛物线的简单几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示　1.范围 当x>0时，抛物线y2 ＝2px(p>0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线. 2.对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p>0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0). 4.离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率.用e表示，e＝1. 知识梳理 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 注意点：(1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解　椭圆的方程可化为＝1， 其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 例1　(课本例1)已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点M(－4，2)，求这个抛物线的标准方程. 解　根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 因为点M(－4，2)在抛物线上，所以(2)2＝－2p×(－4)， 因此2p＝3.从而可知所求方程为y2＝－3x. 反思感悟　确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 答案　C 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x. 二、抛物线的简单几何性质的应用 例2　(1)已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0，2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0，5)距离的最小值为(　　) A.2 B.5 C.2 D.6 答案　A 解析　将抛物线C：y＝a2x2的方程化为标准形式为x2＝y， 因为抛物线C的焦点为(0，2)， 所以＝2，则a2＝， 所以x2＝8y，设P(x，y)， 则|PA|＝ ＝， 所以当y＝1时，|PA|min＝2. (2)已知等边△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，则这个三角形的边长为　　　　.  答案　4p 解析　如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又|OA|＝|OB|， 所以， 即＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0， 所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p. 所以|AB|＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. 反思感悟　利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 跟踪训练2　(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　AD 解析　由题意可得，以MF为直径的圆过点A(0，2)， 设点M(x，y)，以MF为直径的圆为圆D，由抛物线定义知|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－. 因为圆心D是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为， 由已知可得圆的半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则点M纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程整理得p2－10p＋16＝0， 解得p＝2或p＝8. (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为　　　　　　　　.  答案　x＝ 解析　如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， ∵F是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， 即·＝－1. ∴＝x0， 又＝2px0， ∴x0＝2p＋. ∴直线AB的方程为x＝. 三、与抛物线有关的轨迹方程的求法 例3　已知点A(1，0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是　　　　.  答案　y2＝4x 解析　设点M坐标为(a，0)，点N坐标为(0，b)， 点P坐标为(x，y)， 则＝(－1，b)，＝(－a，b)， ∴·＝a＋b2＝0⇒a＝－b2， 而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)， ∴＝2⇒⇒ 代入a＝－b2可得y2＝4x. 例3　(课本例3)已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为(4，0)，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且⊥，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状. 解　由条件可知，直线l的方程为x＝4，因此点A的横坐标为4. 设P的坐标为(x，y)，则点A的坐标为(4，y).因此＝(4，y)，＝(x，y). 因为⊥的充要条件是·＝0，所以4x＋y2＝0，即动点P的轨迹方程为y2＝－4x. 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线. 反思感悟　根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可. 跟踪训练3　在平面直角坐标系中，动圆M与圆N：x2＋相内切，且与直线y＝－1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 解　设动圆圆心M(x，y)，半径为r，N， 依题意，|MN|＝r－， r＝y＋1， 则|MN|＝y＋，即＝y＋， 化简得x2＝2y， 所以曲线C的方程为x2＝2y. 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质. (2)抛物线的简单几何性质的应用. (3)与抛物线有关的轨迹方程的求法. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，易忽略把抛物线转化为标准形式. 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 答案　B 解析　由抛物线y＝4x2， 得抛物线的标准方程为x2＝y，2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2.抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为(　　) A.4 B.2 C.1 D. 答案　C 解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)， 根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0， 因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1， 故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1. 3.已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A.x2＝－y B.x2＝y C.x2＝4y D.x2＝－4y 答案　B 解析　设M的坐标为(x，y)，由题意点B与点A(0，－1)所连线段的中点为M，可知B(2x，2y＋1)， 动点B在曲线y＝2x2＋1上运动， 所以2y＋1＝2(2x)2＋1，所以x2＝y. 所以点B与点A(0，－1)所连线段的中点M的轨迹方程是x2＝y. 4.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|， 又F，所以x0＝， 所以，所以y0＝±，即P. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.在同一坐标系中，方程＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是(　　) 答案　A 解析　由a>b>0，则方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程ax＋by2＝0可化为y2＝－x，由于－<0，则方程表示焦点在x轴上开口向左的抛物线. 2.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝16x D.y2＝－16x 答案　AB 解析　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x. 3.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 答案　B 解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上， 所以x≥0， 因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 所以当x＝0时，z最小，最小值为3. 4.若动圆C过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是(　　) A.＝1 B.＝1(y>2) C.y2＝8x D.y2＝8x(x≠0) 答案　C 解析　设圆心C的坐标为(x，y)， 过点C作CE⊥y轴，垂足为E(图略)， 则|ME|＝4， ∴|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2， ∴(x－4)2＋y2＝42＋x2，得y2＝8x. 5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为(　　) A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x 答案　B 解析　设M(x1，y1)， 则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×， 即x1＝p，则＝3p2， 则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4， 解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 6.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是(　　) A.2 B.－1 C. D.－1 答案　D 解析　设圆心(－1，4)关于直线对称的点为C(x，y)， 则解得 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)， 故|MC|＝ ＝， 当a2＝时，|MC|有最小值为， 故|MN|的最小值为－1. 7.(5分)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　.  答案　－ 解析　∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x， 则焦点F的坐标为(2，0). 又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 8.(5分)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝　　　　.  答案　6 解析　如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，|OF|＝2， ∵M为FN的中点， |MM'|＝1， ∴M到准线距离d＝|MM'|＋＝3， ∴|MF|＝3，∴|FN|＝6. 9.(10分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程. 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝，所以＝17， 所以＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10.(10分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则其准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p. ∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上， ∴|QA|＝|QB|， 即， 又＝2px1，＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x. 11.设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若∠PEF＝30°，则sin∠PFE等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C：y2＝2px(p>0)， 则其焦点为F， 点E是C的准线与C的对称轴的交点， 则E， 点P在C上，设为P(x0，y0)，若∠PEF＝30°， 则tan∠PEF＝， 又|PF|＝x0＋， 则sin∠PFE＝sin(π－∠PFE)＝sin∠PFx ＝. 12.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为Q，P. 设|AF|＝a，|BF|＝b， 则由抛物线定义，得 |AQ|＝|AF|＝a，|BP|＝|BF|＝b， 在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. 在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 又因为ab≤， 所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2， 当且仅当a＝b时等号成立， 得到|AB|≥(a＋b)＝|CD|. 所以≥1，即的最小值为1. 13.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则下列结论正确的是(　　) A.p＝4 B. C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4 答案　ABC 解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M. 抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p， 由于直线l的斜率为， ∴其倾斜角为60°， ∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， ∴∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， ∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8， 得p＝4，A正确； ∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE， ∴F为AD的中点，则，B正确； 易得∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确； ∵|BD|＝2|BF|， ∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误. 14.(5分)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　　　.  答案　6 解析　抛物线的焦点坐标为F， 准线方程为y＝－. 将y＝－代入＝1得|x|＝. 要使△ABF为等边三角形， 则tan， 解得p2＝36，p＝6. 15.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M(2，)满足|MF|＝2|OF|，则(　　) A.抛物线C的准线方程为x＝－2 B.△PMF周长的最小值为5 C.四边形OPMF可能是平行四边形 D.·的最小值为－3 答案　BD 解析　对于选项A，因为抛物线C的焦点为F，准线方程为x＝－， 又点M(2，)满足|MF|＝2|OF|，则＝2×， 整理得3p2＋8p－28＝0，解得p＝2或p＝－(舍去)， 即抛物线C：y2＝4x， 所以准线方程为x＝－1，焦点为F(1，0)，故A错误； 对于选项B，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为H，因为M(2，)，F(1，0)，所以|MF|＝2， 由抛物线的定义可知|PH|＝|PF|， 则△PMF周长C△PMF＝|PM|＋|MF|＋|PF|＝|PM|＋|MF|＋|PH|＝|PM|＋|PH|＋2≥|MH|＋2， 当且仅当M，P，H三点共线时，取等号，此时|MH|＝3， 所以△PMF周长的最小值为5，故B正确； 对于选项C，过点M作OF的平行线，交抛物线于点P， 即解得即P， 则|MP|＝2－≠1＝|OF|， 所以四边形OPMF不可能是平行四边形，故C错误； 对于选项D，设P， 则＝(1，)，， 可得·y0＝(y0＋2)2－3≥－3， 当且仅当y0＝－2时，等号成立， 所以·的最小值为－3，故D正确. 16.(12分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(4分) (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.(8分) 解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3，0). 故设A(3，m)， 代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $