第2章 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(1)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦直线与圆锥曲线的位置关系及中点弦问题，系统梳理椭圆、双曲线、抛物线与直线交点的代数判断方法，从方程联立、判别式应用到中点弦的根与系数关系、点差法，构建完整知识支架。 通过分类讨论（如直线斜率、二次项系数）培养逻辑推理，实例分析（椭圆交点判断、双曲线斜率讨论）提升数学眼光，反思总结与跟踪训练结合，课中助教师系统授课，课后助学生巩固方法、查漏补缺，体现数学思维与语言表达。

学习目标　1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.能解决和弦的中点有关的简单问题. 一、直线与椭圆的交点问题 联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 注意点：(1)设直线时，要注意斜率不存在的情况. (2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验. 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？ 解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3. 于是，当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 例1　(课本例2)已知直线l：y＝2x＋m与椭圆C：＝1，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围. 解　联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组 消去y，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ① 因为①的判别式为Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144＝－8(m＋3)(m－3)，所以： 当Δ>0即－3<m<3时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点； 当Δ＝0即m＝±3时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点； 当Δ<0即m<－3或m>3时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点. 反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题. 跟踪训练1　已知椭圆＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 答案　C 解析　由题意知， l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0，1)， 因为<1， 所以点(0，1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交. 二、直线与双曲线的交点问题 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点. (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点. 注意点：(1)直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. (2)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验. 例2　 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解　联立 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 延伸探究　若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交， 有且只有一个公共点. 故当k＝±或k＝±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 例2　(课本例3)判断直线l：y＝x＋1与双曲线C：x2－y2＝1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标. 解　联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得x2－(x＋1)2＝1，由此可解得x＝－1.此时，y＝0. 因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为(－1，0). 反思感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 跟踪训练2　已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. 解　当直线l的斜率不存在时， l：x＝1与双曲线相切，符合题意. 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程， 得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0时，k＝±2， l与双曲线的渐近线平行， l与双曲线只有一个公共点； 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在. 三、直线与抛物线的交点问题 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. (3)含参数的相交问题，注意Δ>0的检验. 例3　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解　联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点， 此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点. 跟踪训练3　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　.  答案　[－1，1] 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0<k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 四、中点弦问题 例4　已知椭圆＝1的弦AB的中点M(2，1)，求直线AB的方程. 解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－2). 将其代入椭圆方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为线段AB的中点， ∴＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法二　点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2. ∵M(2，1)为线段AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则＋4＝16，＋4＝16， 两式相减，得()＋4()＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法三　对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于点M(2，1)为线段AB的中点， 则另一个交点为B(4－x，2－y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，得x＋2y－4＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 反思感悟　解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是椭圆＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则 由①－②，得)＋)＝0，变形得＝－·＝－·， 即kAB＝－. 同理可得双曲线＝1中kAB＝， 抛物线y2＝2px(p>0)中kAB＝. 跟踪训练4　(1)直线l的斜率为4，过点M(4，1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为　　　　.  答案　y2＝8x 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 由相减得＝2p(x1－x2)， 整理有， 即kAB＝，∴＝4，∴p＝4，∴y2＝8x. (2)已知双曲线的方程为x2－＝1，是否存在被点B(1，1)平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由. 解　方法一　由题意知直线的斜率存在，设被点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1， 得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， 则k2－2≠0， 且Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0， 解得k<且k≠±， 设被点B(1，1)平分的弦的两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝. ∵B(1，1)是弦的中点，∴＝1， 解得k＝2>，故不存在被点B(1，1)平分的弦. 方法二　设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)， ∴B(1，1)为AC的中点， ∴两式相减有， 即＝2·＝2×＝2，即kAC＝2， ∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1，联立 整理有2x2－4x＋3＝0， Δ＝16－4×2×3＝－8<0， 故y＝2x－1与双曲线无交点， ∴不存在被点B(1，1)平分的弦. 1.知识清单： (1)直线与圆锥曲线的位置关系. (2)中点弦的问题. 2.方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)容易忽视讨论直线的斜率是否存在. (2)含参数问题易忽视Δ>0的检验. 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 答案　A 解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1， 得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离. 2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由 消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝×， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 3.直线y＝x＋3与双曲线＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案　A 解析　由题意，双曲线＝1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y＝±x， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点. 4.已知点A到点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1，0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上， 该抛物线的标准方程为y2＝4x. 过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1). 由消去x，得ky2－4y＋4k＝0. 当k＝0时，显然不符合题意； 当k≠0时，依题意， 得Δ＝(－4)2－4k·4k<0， 化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1， 因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B.－ C.± D.± 答案　C 解析　联立方程 可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，解得k＝±. 2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(－2，2) B.[－2，2) C.(－2，2] D.[－2，2] 答案　A 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2. 3.过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 答案　B 解析　当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx， 由得k2x2－x＝0.当k＝0时，直线的方程为y＝0，直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；当k≠0时，Δ＝1>0，此时直线与抛物线有两个公共点，不满足题意.故过原点且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有2条. 4.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　A 解析　∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减，得＝－＝－. ∵AB中点的横坐标为1，∴纵坐标为， 将代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 5.以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　C 解析　由题意设椭圆方程为＝1， 由 得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0， 由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4， 又e＝， 则b2＝4时，e取最大值，故选C. 6.(多选)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知M(0，2)，直线l：y＝0，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离大2.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是(　　) A.y＝－x＋1是“最远距离直线” B.y＝2x－6不是“最远距离直线” C.点P的轨迹与直线l：y＝2是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点) D.点P的轨迹曲线是一条线段 答案　BCD 解析　∵点P到点M的距离比到直线l的距离大2，∴点P到点M的距离等于到直线y＝－2的距离，因此点P的轨迹是以M为焦点的抛物线，故D错误；则可得点P的轨迹方程为x2＝8y，联立方程可得x2＋2x－8＝0，则Δ＝4－4×(－8)＝36>0，有解，故y＝－x＋1是“最远距离直线”，故A正确； 联立方程可得x2－16x＋48＝0，则Δ＝162－4×48＝64>0，有解，故y＝2x－6是“最远距离直线”，故B错误； 联立方程可解得x＝±4，故两个轨迹有交点，故C错误. 7.(5分)已知双曲线C：＝1，则双曲线C的渐近线方程是　　　　　　　；直线x＝1与双曲线相交于M，N两点，则|MN|＝　　　　　　　.  答案　x±y＝0　2 解析　由双曲线C：＝1知双曲线的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝2， 即a＝2，b＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±y＝0； 当x＝1时，y＝±， 设M(1，)，则N(1，－)，所以|MN|＝2. 8.(5分)若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　(1，3)∪(3，＋∞) 解析　∵＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3. 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3， ∴m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞). 9.(10分)已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离. 解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0， 由 消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0， 由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0， 它们之间的距离即为所求最短距离， 且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离为d＝. 由得即P. 10.(10分)已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M的轨迹方程；(4分) (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.(6分) 解　(1)设M(x，y).因为kAM·kBM＝－2， 所以·＝－2(x≠±1)， 化简得2x2＋y2＝2(x≠±1). 即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1). (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2). 当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝， 易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意. 当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2＝2， ① 2＝2， ② ①－②整理得k＝＝－ ＝－＝－1， 故直线l的方程为y－1＝－， 即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0. 11.已知A，B为椭圆＝1上两点，O为坐标原点，M(异于点O)为弦AB的中点，若直线AB的斜率为，则直线OM的斜率为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 答案　B 解析　方法一　由于直线AB的斜率为， 故设直线AB的方程为y＝x＋b， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故 整理得x2＋bx＋b2－3＝0， 则Δ＝b2－4(b2－3)＝12－3b2>0， 即－2<b<2，故x1＋x2＝－b， 故y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝. 利用中点坐标公式，得M，b≠0， 故kOM＝＝－. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减得 ＝0， 化简得·＝－， 即·kAB＝－，所以kOM＝－×2＝－. 12.(多选)设椭圆的方程为＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A.kAB·kOM＝－1 B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D.若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 答案　BD 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 两式相减，得＝0， 即·＝－2，即kAB·kOM＝－2. 对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确； 对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2， 所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)， 即2x＋y－3＝0，所以B正确； 对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确； 对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以|AB|＝，所以D正确. 13.(5分)已知抛物线x2＝2y上两点A，B关于点M(2，t)对称，则直线AB的斜率为　　　　　.  答案　2 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线x2＝2y， 得则＝2(y1－y2)， 因为A，B两点关于点M(2，t)对称， 则x1≠x2，x1＋x2＝4， 所以＝2，即直线AB的斜率为2. 则直线AB：y－t＝2(x－2)，与抛物线x2＝2y联立，得x2－4x＋8－2t＝0，Δ＝16－4(8－2t)>0， 解得t>2.所以直线AB的斜率为2. 14.(5分)已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线l过(－2，0)及AB的中点，则l在y轴上截距的取值范围为　　　　　　　　　　.  答案　(－∞，－2－)∪(2，＋∞) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把y＝kx＋1代入x2－y2＝1，整理得(1－k2)x2－2kx－2＝0， 因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根. 所以所以k∈(1，). 又因为AB的中点坐标为， 所以直线l的方程为y＝(x＋2)，令x＝0，截距b＝， 由k∈(1，)得b的取值范围为(－∞，－2－)∪(2，＋∞). 15.(多选)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点P(1，1)，下列结论中正确的是(　　) A.|AF1|－|AF2|＝2 B.若∠F1AF2＝90°，则△F1AF2的面积为2 C.过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D.存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 答案　AB 解析　对于A，根据双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2，故A正确； 对于B，因为∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2，则|AF1|2＋|AF2|2＝12， 又|AF1|－|AF2|＝2，故|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝4，即|AF1||AF2|＝4， 故|AF1||AF2|＝2，故B正确； 对于C，由双曲线的渐近线可得，过P(1，1)且与双曲线只有一个公共点的直线有： 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对于D，设存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(1，1)为中点，则 即又 故， 2(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，故＝2，即kMN＝2. 由渐近线的性质可得过点P(1，1)且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误. 16.(12分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，左、右顶点分别为M，N，且经过点R(2，1). (1)求双曲线C的方程；(3分) (2)设过点(0，1)的直线l交双曲线C于P，Q两点，求直线l的斜率的取值范围；(5分) (3)动点A在圆x2＋y2＝a2上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若N，A，B三点共线，试探索k1，k2之间的关系.(4分) 解　(1)由题意可知c＝，且经过点R(2，1)， 则解得 所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设直线l的斜率为k，则直线l：y＝kx＋1， 联立方程 消去y可得(1－4k2)x2－8kx－8＝0， 由题意可知 解得－<k<且k≠±， 所以直线l的斜率的取值范围为 ∪∪. (3) 设点B(x0，y0)，则＝1，即－4＝4，由MA⊥NA，则kNA·kMA＝kNA·k1＝－1， ① 又k2·kNB＝·， ② 因为N，A，B三点共线，所以kNA＝kNB， 由题意知k1≠0且k2≠0， 由①÷②得＝－4，即k1＝－4k2. 学科网（北京）股份有限公司 $