第2章 2.2.2 第3课时 直线的1般式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦直线的一般式方程核心知识点，系统梳理其与点斜式、斜截式、两点式、截距式的联系与转化，构建从特殊到一般的知识支架，涵盖方程特点、方向向量与法向量关系及应用。 通过问题链驱动探究，表格对比明晰五种方程形式差异，例题与跟踪训练结合培养转化能力。以数学眼光抽象统一方程形式，用数学思维推理方向向量与法向量关系，助力课堂教学与课后查漏补缺。

第3课时　直线的一般式方程 学习目标　1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其他方程形式的区别与联系.2.掌握直线的一般式方程与其他方程形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法. 导语 同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们知道每一种形式都有它的适用范围，而且发现它们都是二元一次方程，我们今天要研究的是能否用统一的一个方程来表示上述四种形式. 一、直线的一般式方程 问题1　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示一条直线. 知识梳理 1.直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程.我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的一般式方程. 直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程. 2.直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不同时为零 注意点：(1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程. ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. ③x的系数一般不为分数和负数. ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. (2)直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C对直线Ax＋By＋C＝0的位置的影响. ①当A＝0，B≠0，C为任意实数时，方程表示的直线与y轴垂直. ②当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直. ③当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点. ④当C≠0，A，B不同时为0时，方程表示不过原点的直线. 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解　(1)由点斜式，得直线方程为 y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为 ，即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为 ＝1，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 跟踪训练1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)经过两点A(5，7)，B(1，3)； (2)经过点(－4，3)，斜率为－3； (3)经过点(2，1)，平行于y轴； (4)斜率为2，在x轴上的截距为1. 解　(1)由两点式方程得直线的方程为 ，即x－y＋2＝0. (2)由点斜式方程得直线的方程为y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0. (3)由题意知直线的方程为x＝2，即x－2＝0. (4)由点斜式方程得直线的方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 二、直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系 问题2　如何用直线的一般式的系数表示直线的方向向量和法向量？ 提示　对于Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，当B≠0时，直线的斜率为k＝－，故为直线的一个方向向量，一般地，(B，－A)是任意直线的方向向量，由直线的法向量与直线方向向量的垂直关系，可知(A，B)是直线的一个法向量. 知识梳理 a＝(B，－A)为直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量. v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量. 例2　求下列直线的一般式方程： (1)经过点(2，1)，且一个法向量为v＝(2，－3)； (2)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2，4). 解　(1)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)， ∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0， 代入点(2，1)得4－3＋C＝0， 解得C＝－1，∴直线的方程为2x－3y－1＝0. (2)方法一　∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)， ∴k＝＝2， 故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 方法二　∵直线的一个方向向量为a＝(2，4)， ∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14， ∴所求直线方程为4x－2y－14＝0， 即2x－y－7＝0. 例2　(课本例6)已知直线l经过点A(3，2)，而且v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，求直线l的一般式方程. 解　方法一　设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝(3，－4)垂直.又因为＝(x－3，y－2)，所以3×(x－3)＋(－4)×(y－2)＝0， 整理可得一般式方程为3x－4y－1＝0. 方法二　因为v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－4y＋C＝0， 代入点A(3，2)，可求得C＝－1，因此所求方程为3x－4y－1＝0. 反思感悟　已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C； (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量. 跟踪训练2　直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝　　　　.  答案　3 解析　由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2，1)，所以a⊥v， 所以2m－6＝0，解得m＝3. 三、直线的一般式方程的应用 例3　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值. 解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，解得m＝－. ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0， 即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1，解得m＝－2. 延伸探究　对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值. 解　∵直线l与y轴平行， ∴∴m＝. 反思感悟　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程要注意验根. 跟踪训练3　(1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为　　　　.  答案　6 解析　直线l的方程为3x＋4y－12＝0， 令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4， 故令A(4，0)，B(0，3)，S△AOB＝×4×3＝6. (2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点　　　　.  答案　(－2，1) 解析　直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)， 由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2，1). 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线的一般式方程与其他四种形式的区别与联系以及相互转化. (3)直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系. (4)直线的一般式方程的应用. 2.方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论. 3.常见误区：直线的一般式方程转化为其他四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况. 1.直线＝1化成一般式方程为(　　) A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3) C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12 答案　C 2.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3.已知直线l过点A(3，5)，且a＝(1，6)是直线l的一个法向量，则直线l的一般式方程为　　　　　.  答案　x＋6y－33＝0 解析　由a＝(1，6)是直线l的一个法向量，可设直线l为x＋6y＋c＝0， 又l过点A(3，5)，代入得c＝－33， 所以直线l的一般式方程为x＋6y－33＝0. 4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为　　　　.  答案　3 解析　由已知得 ∴m＝3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.过点(2，1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0 C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0 答案　D 解析　根据直线方程的点斜式可得， y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 2.已知过点M(2，1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点.若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为(　　) A.2x－y－3＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋2y－4＝0 D.x－2y＋3＝0 答案　C 解析　依题意得P(4，0)，Q(0，2)， 所以直线的方程为＝1， 即x＋2y－4＝0. 3.直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0，2)，则直线的方程为(　　) A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0 C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0 答案　B 解析　∵直线的方向向量为a＝(1，－3)， ∴k＝－3，∴直线的方程为y＝－3x＋2， 即3x＋y－2＝0. 4.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则(　　) A.ab>0，bc>0 B.ab>0，bc<0 C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0 答案　D 解析　如图，ax＋by＋c＝0可化为y＝－x－， ∴即ab<0，bc<0. 5.已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将b＝1－2a代入直线方程，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，所以直线过定点. 6.(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是(　　) A.直线l的斜率为－ B.直线l过定点(1，0) C.直线l在y轴上的截距为 D.直线l的方程可化为截距式 答案　ACD 解析　当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1，0)，故B正确. 7.(5分)直线l的一个法向量为v＝(3，2)且过点(2，3)，则直线l的方程为　　　　　　　　.  答案　3x＋2y－12＝0 解析　因为直线l的一个法向量为v＝(3，2)， 故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2，3)， 有6＋6＋C＝0，即C＝－12， 故直线l的方程为3x＋2y－12＝0. 8.(5分)已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为　　　　.  答案　－ 解析　把(3，0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 9.(10分)求满足下列条件的直线方程. (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；(5分) (2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.(5分) 解　(1)直线3x＋8y－1＝0可化为 y＝－x＋，斜率为－， 故所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)， 即9x＋8y＋33＝0. (2)设直线的方程为＝1(a≠0)， 所以S＝·|a|·4＝12，解得a＝±6， 故所求的直线方程为＝1， 即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0. 10.(11分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(6分) (2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)依题意知，直线l在两坐标轴上的截距都存在，所以a＋1≠0，即a≠－1， 令x＝0，得y＝a－2， 令y＝0，得x＝， 则a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0， 当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2， 则 解得－1≤a≤2， 所以实数a的取值范围为[－1，2]. 11.直线xsin θ＋y＋m＝0(θ∈R)的倾斜角α的范围是(　　) A.∪ B. C. D.∪ 答案　A 解析　直线xsin θ＋y＋m＝0(θ∈R)的斜率k＝－sin θ， 因为－1≤sin θ≤1， 所以k∈[－1，1]， 由直线的倾斜角为α，得tan α∈[－1，1]， 所以0≤α≤或≤α<π. 12.(多选)已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A.直线l的方程为x－3y＋3＝0 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为2 D.这样的直线l有两条 答案　AB 解析　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，因为直线l过点P(3，2)，所以直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；将x＝0代入l：x－3y＋3＝0得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C错误；过点P(3，2)且斜率为的直线只有一条，故D错误. 13.(5分)若直线的截距式方程＝1化为斜截式方程为y＝－2x＋b，化为一般式方程为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝　　　.  答案　6 解析　由＝1， 得y＝－x＋b，得bx＋ay－ab＝0， ∴－＝－2，－ab＝－8， 即解得或 ∵a>0，∴a＝2，b＝4，∴a＋b＝6. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(1，0)，N(5，－3)，P是直线4x－3y－12＝0上任意一点，则·＝　　　.  答案　12 解析　由M(1，0)，N(5，－3)， 可得＝(5，－3)－(1，0)＝(4，－3)， 设P(m，n)，可得＝(m，n)， 因为P是直线4x－3y－12＝0上任意一点，所以4m－3n－12＝0，即4m－3n＝12， 所以·＝4m－3n＝12. 15.(5分)已知直线l1：y＝kx－k＋4，直线l2：y＝－x＋＋4(k≠0)，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，则当k>4时，这个四边形面积的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　直线l1：y＝x－k＋4＝(x－2)＋4，过定点B(2，4)，与x轴的交点为A， 直线l2：y＝－(x－2)＋4，过定点B(2，4)，与y轴的交点为C， 过点B作y轴的垂线交于点D，如图所示， 将四边形AOCB分成一个梯形和一个直角三角形， 则S1＝DB×DC ＝×2×， S2＝(OA＋DB)×OD ＝×4＝8－， 则四边形AOCB的面积为 S＝S1＋S2＝＋8＝4－8， 因为k>4，所以∈， 则S的取值范围为. 16.(12分)现定义：在平面直角坐标系xOy中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知A(5＋2a，0)，B均为“正直点”. (1)求a的取值范围；(3分) (2)求△AOB的面积取得最小值时对应的周长；(4分) (3)若A，B也为“整数点”，求直线AB的一般式方程.(5分) 解　(1)由题意可得 解得a>－1. 故a的取值范围为(－1，＋∞). (2)由(1)知，a＋1>0， 则S△AOB＝×(5＋2a)× ＝× ＝ ≥＝12， 当且仅当4(a＋1)＝，即a＝时等号成立， 此时A(6，0)，B(0，4)， △AOB的周长为4＋6＋＝10＋2. (3)由题意可知5＋2a，＝2＋均为整数， 所以2a，均为整数， 又a>－1，则2a＝k>－2，k∈Z，. 所以k＋2＝1，2，3，6，即k＝－1，0，1，4. 所以a＝－，，0或2， 当a＝－时，A(4，0)，B(0，8)，直线AB的一般式方程为2x＋y－8＝0； 当a＝时，A(6，0)，B(0，4)，直线AB的一般式方程为2x＋3y－12＝0； 当a＝0时，A(5，0)，B(0，5)，直线AB的一般式方程为x＋y－5＝0； 当a＝2时，A(9，0)，B(0，3)，直线AB的一般式方程为x＋3y－9＝0， 所以直线AB的一般式方程为2x＋y－8＝0 或2x＋3y－12＝0或x＋y－5＝0或x＋3y－9＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $