第2章 2.5.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆几何性质的综合应用，系统梳理焦半径取值范围、最值范围问题（几何法与代数法）、实际生活应用（如航天器轨道、隧道设计）及性质综合应用（结合向量、正余弦定理），构建从定义推导到实际转化的学习支架。 资料特色在于以嫦娥四号轨道、隧道设计等实例培养数学眼光，通过几何与代数法对比发展数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后课时对点练助力学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　椭圆的几何性质的综合应用 学习目标　1.根据椭圆的定义研究焦半径的取值范围.2.了解椭圆在实际生活中的应用. 一、椭圆中的最值、范围问题 问题　若P(x0，y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？ 提示　|PF1|＝ ＝ ＝， 因为－a≤x0≤a，所以a－c≤≤a＋c， 故有|PF1|＝a＋ex0， 同理|PF2|＝a－ex0. 知识梳理 1.|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为a＋c，最小值为a－c. 2.P为短轴端点时，顶角θ最大. 例1　(1)若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为(　　) A.3，1 B.2＋，2－ C.2，1 D.＋1，－1 答案　A 解析　由题知a＝2，b＝， 所以c＝＝1， 所以距离的最大值为a＋c＝3， 距离的最小值为a－c＝1. (2)椭圆C：＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2，2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为　　　，最小值为　　　.  答案　10＋　10－ 解析　椭圆C：＝1， ∴a＝5，b＝4，c＝3， ∴F1(－3，0)，F2(3，0). 如图所示，点Q在椭圆内部， ∵点P为椭圆上的点， 则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∴|PF1|＝10－|PF2|， ∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10， 又||PQ|－|PF2||≤|QF2|＝， ∴－≤|PQ|－|PF2|≤， 即|PF1|＋|PQ|∈[10－，10＋]. 反思感悟　求解椭圆的最值、范围问题的基本方法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、换元法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练1　点P为椭圆＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则·的取值范围是(　　) A.(8，24) B.[8，24] C.[5，21] D.(5，21) 答案　B 解析　由题意，·＝()·()＝()·() ＝， 又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径， 则||＝1， 在椭圆＝1中，有a－c≤||≤a＋c， 即3≤||≤5，所以8≤－1≤24， 故·－1的取值范围为[8，24]. 二、实际生活中的椭圆问题 例2　(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.< D.> 答案　BD 解析　由题图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝|PF|， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； 所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋2a1c2＝＋2a2c1， 所以＋2a1c2＝＋2a2c1， 即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，>， 所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确. 反思感悟　解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 跟踪训练2　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　米. 答案　32 解析　设椭圆方程为＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＝1， 解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米， ∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米. 三、椭圆性质的综合应用 例3　设F1，F2为椭圆C的两个焦点，M为椭圆C上一点，|MF1|＝12，|MF2|＝16，sin∠MF2F1＝，则椭圆C的离心率e＝　　　　　　.  答案　或 解析　因为sin∠MF2F1＝，且|MF1|<|MF2|，故∠MF2F1为锐角，所以cos∠MF2F1＝，由余弦定理得，即128|F1F2|＝1 280＋5|F1F2|2－720，所以(|F1F2|－20)(5|F1F2|－28)＝0，故|F1F2|＝20或|F1F2|＝，又e＝，所以e＝或e＝. 反思感悟　解决椭圆的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算，椭圆的几何性质常与平面向量、正余弦定理等知识相结合. 跟踪训练3　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点，若·＝－1，则C的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＋y2＝1 答案　B 解析　因为离心率e＝，解得，b2＝a2， A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b). 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＝1. 1.知识清单： (1)椭圆中的最值、范围问题. (2)实际生活中的椭圆问题. (3)椭圆性质的综合应用. 2.方法归纳：转化法、数形结合. 3.常见误区：容易忽略实际问题中的取值范围. 1.椭圆C：＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　D 解析　由题意可得a＝4，c＝＝2， 则|PF|≤a＋c＝6.所以|PF|的最大值是6. 2.若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.8 答案　C 解析　由题意，O(0，0)，F(－1，0)，设点P(x0，y0)， 则有＝1， 则＝3， ∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， ∴·＝x0(x0＋1)＋ ＝x0(x0＋1)＋3＋x0＋3， 二次函数y＝＋x＋3的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2， ∵－2≤x0≤2， ∴当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6. 3.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　) A. B.2－ C.－2 D. 答案　D 解析　设|AF1|＝m， 则|AB|＝m，|BF1|＝m，于是m＋m＋m＝4a，解得m＝(4－2)a， 于是|AF2|＝2a－(4－2)a＝(2－2)a， 由勾股定理得[(4－2)a]2＋[(2－2)a]2＝(2c)2，整理得e2＝＝9－6， 所以椭圆的离心率e＝. 4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　　　　 cm.   答案　20 解析　因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以， 即. 所以， 解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为(　　) A.ce－c B.2ce－2c C.－c D.－2c 答案　C 解析　因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e， 所以由e＝，得a＝， 而太阳在这个椭圆的一个焦点上， 所以地球到太阳的最小距离为a－c＝－c. 2.(多选)P为椭圆C上任一点，且焦点为F1，F2，若P到焦点F1的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　BC 解析　依题意得 解得∴b2＝a2－c2＝16， 故所求椭圆的方程为＝1或＝1. 3.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的半长轴长为a，半焦距为c， 由题意可得， 整理得a＝59c，即. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 4.已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么||的最小值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.2 答案　C 解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)， ＝(1－x0，－y0)， ∴＝(－2x0，－2y0)， ∴||＝ ＝2＝2. ∵点P在椭圆上，∴0≤≤1， ∴当＝1时，||取得最小值2. 5.已知F是椭圆E：＝1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2＋y2－2x－4y＋9＝0上一点，则|PQ|－|PF|的最小值为(　　) A.－ B.－1 C.2 D.3 答案　B 解析　如图，由题可知， 圆C的方程可化为 (x－)2＋(y－2)2＝1， 则圆心的坐标为(，2)， 半径为1. 设椭圆E的左焦点为F1， 则|PF|＝4－|PF1|，F1(－，0)， 由题意知，|PQ|min＝|PC|－1， 此时|PQ|－|PF|＝|PQ|＋|PF1|－4 ＝|PC|＋|PF1|－5≥|CF1|－5＝－1， 当F1，P，Q，C四点共线时，等号成立. 即|PQ|－|PF|的最小值为－1. 6.椭圆＝1的内接矩形的最大面积为(　　) A.4 B. C.4 D.2 答案　A 解析　设内接矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，x>0，y>0， 由对称性可知，S＝4xy＝8··≤4×＝4， 当且仅当， 即x＝y时等号成立， 联立解得此时等号成立， 所以椭圆＝1的内接矩形的最大面积为4. 7.(5分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为e，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，写出一个满足“椭圆上不存在使得∠F1PF2＝90°的点P”的e的值为　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　当点P在椭圆短轴端点处时， ∠F1PF2最大， ∵椭圆上不存在使得∠F1PF2＝90°的点P， ∴当P在短轴端点处时，∠F1PF2<90°， ∴b>c，即a2－c2>c2， ∴e2<，又0<e<1， ∴e∈，故e可以是. 8.(5分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　设椭圆方程为＝1(a>b>0)， 由e＝，知，故. ∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， ∴a＝4，∴b2＝8， ∴椭圆C的方程为＝1. 9.(10分)椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，求椭圆的离心率. 解　由直线方程y＝(x＋c)， 得直线与x轴的夹角为， 且过点F1(－c，0)，则∠MF1F2＝或， ∵∠MF1F2＝2∠MF2F1， 当∠MF1F2＝时，∠MF2F1＝，此时∠MF1F2＋∠MF2F1＝π，不符合题意，舍去； 当∠MF1F2＝时，∠MF2F1＝， ∴∠F1MF2＝π－， 即F1M⊥F2M， ∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c， ∴由椭圆定义可得2a＝c＋c， ∴－1，即椭圆C的离心率为－1. 10.(11分)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的焦距为4，点A(2，0). (1)求椭圆C的标准方程；(4分) (2)设P是椭圆C上任一点，求|PA|的最大值与最小值.(7分) 解　(1)由题意可知，椭圆的焦距为2c＝2＝4，解得a＝3， 因此椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)设点P(x，y)，则－3≤x≤3，且y2＝1－， 所以|PA|＝ ＝， 因为二次函数f(x)＝－4x＋5的图象开口向上，对称轴为直线x＝， 所以函数f(x)在区间上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f ， 又因为f(3)＝8－12＋5＝1，f(－3)＝8＋12＋5＝25， 则f(x)max＝f(－3)＝25， 所以|PA|＝的取值范围是， 所以|PA|的最小值为，最大值为5. 11.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　) A.5 B. C.7＋ D.6 答案　D 解析　设点Q的坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝， ① 因为＋n2＝1， ② 联立①②，得|QC|＝， 因为－1≤n≤1， 故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5， 所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6. 12.(多选)某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗称“踩刹车”)后，以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道(火星的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为t s.已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为m km，则(　　) A.椭圆轨道的离心率为 B.圆形轨道的周长为vt km C.火星半径为 km D.近火星点与远火星点的距离为km 答案　ABD 解析　如图，以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设椭圆轨道所在的椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，则由已知m＋R＝a＋c，n＋R＝a－c， 所以2a＝m＋n＋2R，2c＝m－n，故离心率为，A正确； 以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道，环绕周期为t s，所以环绕的圆形轨道周长为vt km，半径为 km，所以火星半径为km，B正确，C错误； 因为近火星点与远火星点的距离为2a＝n＋2R＋m＝n＋2＋m＝m－n＋，D正确. 13.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端的距离为3，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形影子(春分时，该市的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为(　　) A.－1 B.－1 C.2－ D. 答案　C 解析　如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，设椭圆的半长轴长为a，半焦距为c， 由OF⊥BC，|OF|＝|OB|＝3， 得a＋c＝|BF|＝3，∠FBC＝45°，|AB|＝2a，|BC|＝6， 在△ABC中，∠BAC＝60°，则∠ACB＝75°， sin 75°＝sin(45°＋30°)＝××， 由正弦定理得， 解得a＝，则c＝， 所以该椭圆的离心率e＝＝2－. 14.(5分)某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为　　　米.  答案　320 解析　方法一　如图建立坐标系，设矩形四个顶点为A，B，C，D，且矩形的中心为原点O，矩形关于x轴、y轴对称， 因为椭圆长轴长2a＝200，短轴长2b＝120， 则椭圆方程为＝1， 令顶点A的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0， 则＝1， 得(1002－)， 由于矩形ABCD的对称性，它的面积S＝4x0y0， 又因为·(1002－) ＝(－＋1002) ＝， 因此当时，取得最大值， 此时S＝4x0y0最大，此时x0＝50，y0＝30， 矩形ABCD的周长为4(x0＋y0) ＝4(50＋30)＝320(m)， 故矩形ABCD的周长为320 m. 方法二　由题意可知2a＝200，2b＝120，即a＝100，b＝60， 所以椭圆方程为＝1， 则椭圆的参数方程为 所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为(100cos θ，60sin θ)，根据对称性可知矩形的长为200cos θ，宽为120sin θ， 所以矩形的面积S＝200cos θ×120sin θ＝12 000sin 2θ，当且仅当θ＝时，面积S取得最大值， 此时矩形的周长L＝2(200cos θ＋120sin θ) ＝2 ＝2(100＋60)＝320. 15.(5分)已知A是圆C：x2＋y2＝9上一点，过点A作垂直于x轴的直线，垂足为B，点P满足＝3.若点F1(－，0)，F2(，0)，则的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　由题意设P(x，y)，所以B(x，0)， 因为＝3，所以A，x≠±3. 将点A代入圆C：x2＋y2＝9， 得＝1(x≠±3)， 点P的轨迹是椭圆(不包括左、右顶点)，设该椭圆的半长轴长为a，半焦距为c，易知F1，F2为该椭圆的左、右焦点， 所以 ＝ ＝， 又a－c<|PF1|<a＋c，即3－<|PF1|<3＋， 则≤<， 即≤<， 所以的取值范围为. 16.(12分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；(4分) (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；(5分) (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.(3分) 解　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝， 即|F1F2|＝2，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)， 由＝λ，得x0＝，y0＝－. 又＝1，所以＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1， 因为点C异于点B，所以λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $