第2章 2.6.1 第2课时 双曲线的定义及标准方程的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线定义及标准方程的应用，衔接双曲线定义与标准方程的基础内容，通过焦点三角形面积计算、方程设法（共焦点、过两点）、实际问题建模（如建筑结构、地震预警）构建应用支架，形成完整知识脉络。 资料特色在于结合广州塔单叶双曲面、地震预警等实例培养数学眼光，通过定义推理与方程求解发展数学思维，设计例题变式与跟踪训练辅助教学，课后对点练帮助学生查漏补缺，提升知识应用与问题解决能力。

第2课时　双曲线的定义及标准方程的应用 学习目标　1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程的结构特征.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 一、双曲线定义的应用 例1　如图，若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点.P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为　　　　. 答案　16 解析　双曲线的标准方程为＝1， 故a＝3，b＝4，c＝＝5. 将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2| ＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝0，且0°<∠F1PF2<180°， 所以∠F1PF2＝90°， 故|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 延伸探究　将本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积. 解　由＝1得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2 ＝×64×＝16. 反思感悟　(1)求双曲线中焦点三角形面积的一般步骤 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a. ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值. ④利用公式×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积. (2)重要结论 双曲线中焦点三角形的面积(θ＝∠F1PF2). 跟踪训练1　已知F1，F2是双曲线x2－y2＝m(m>0)的两个焦点，点P为该双曲线上一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|＋|PF2|＝2，则m等于(　　) A.1 B. C. D.3 答案　A 解析　双曲线x2－y2＝m(m>0) 可化为＝1， 即a＝，b＝，c＝， 由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2， 所以|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4m， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2， 所以|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝12， 由以上两式可得|PF1|2＋|PF2|2＝2m＋6， 由PF1⊥PF2得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝8m， 所以8m＝2m＋6，解得m＝1. 二、双曲线方程的设法 例2　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程. 解　方法一　设所求双曲线方程为 ＝1(a>0，b>0)， 则解得 ∴双曲线的标准方程为＝1. 方法二　设双曲线的方程为my2－nx2＝1(mn>0)， 代入点(3，－4)，， 得解得 故所求双曲线的标准方程为＝1. (2)若双曲线C与双曲线＝1有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 解　设所求双曲线C的方程为＝1(－16<λ<4)，由于双曲线C过点(3，2)， ∴＝1， 解得λ＝－4或λ＝14(舍去)， ∴双曲线C的方程为＝1. 反思感悟　(1)双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法. (2)共焦点双曲线的设法 与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<b2). 跟踪训练2　已知双曲线中，c＝，且经过点(－5，2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程. 解　方法一　依题意可设双曲线方程为 ＝1(a>0，b>0). 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 方法二　∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为＝1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 三、双曲线在生活中的应用 例3　单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为(　　) A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m 答案　C 解析　建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得A(50，0)， C(25，－300)， 设B(25，y0)(y0>0)， 双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线的方程是＝1， 将点B(25，y0)代入， 得＝1， 解得y0＝100， 所以该地标建筑的高为300＋100＝400(m). 反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 跟踪训练3　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　　　；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是　　　　km. 答案　x2－＝1(x≥1)　2－2 解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则|DA|－|DB|＝2， 根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2，2a＝2， a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故轨迹方程为x2－＝1(x≥1). 根据题意知C(3，)，A(－2，0)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2. 当且仅当A，M，C三点共线时等号成立. 1.知识清单： (1)双曲线定义的应用. (2)双曲线方程的设法. (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法、类比法(类比椭圆). 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 答案　B 解析　由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 2.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A.4 B.8 C.24 D.48 答案　C 解析　由题意得 解得 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 则|PF1||PF2|＝24. 3.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，且过A(－2，1)和B两点，则曲线C的标准方程为　　　　　　　　　.  答案　－y2＝1 解析　设曲线C的方程为mx2＋ny2＝1，代入点A(－2，1)，点B， 得解得 所以曲线C为双曲线， 其标准方程为－y2＝1. 4.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为　　　　.  答案　2 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1⊥PF2， 所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2， 又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.与椭圆＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　方法一　由题意得椭圆的焦点为(0，3)，(0，－3)，所以双曲线的焦点为(0，3)，(0，－3)， 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线的方程为＝1. 方法二　设双曲线的方程为 ＝1(－25<λ<－16)， 又因为双曲线过点(－2，)， 可得＝1， 解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20. 所以双曲线的方程为＝1. 2.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为(　　) A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km 答案　A 解析　设震中为P，依题意有|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支， 因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10， 当且仅当A，P，B三点共线时取等号， 所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B站的距离至少为8 km. 3.已知双曲线＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　) A.8 B.9 C.16 D.20 答案　B 解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20， ∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16. 根据双曲线定义知， 2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|， ∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|) ＝16－4＝12， ∴a＝3，∴m＝a2＝9. 4.设双曲线x2－y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横坐标为(　　) A. B.2 C. D.6 答案　C 解析　由题意可得F1(－2，0)，F2(2，0)，设P(m，n)(m>0)， 由题意可得m2－n2＝4且·＝－1， 两方程联立解得m2＝6， 所以m＝. 5.(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17 B.7 C.22 D.2 答案　CD 解析　设双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝， 设P为双曲线上一点， 不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)， ∴点P可能在左支，也可能在右支， 由||PF1|－|PF2||＝2a＝10， 得|12－|PF2||＝10， ∴|PF2|＝22或2. ∴点P到另一个焦点的距离是22或2. 6.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　∵·＝0， ∴⊥，即MF1⊥MF2， ∴|MF1|2＋|MF2|2＝40. 则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36. ∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3. ∵c＝，∴b2＝c2－a2＝1. 则该双曲线的方程是－y2＝1. 7.(5分)过点(－3，2)和(－6，－7)的双曲线的标准方程是　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 则解得 所以双曲线的标准方程为＝1. 8.(5分)已知双曲线的两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为　　　　　.  答案　－y2＝1 解析　由题意得 ⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16， 即2a＝4，解得a＝2， 又c＝，所以b＝1， 故双曲线的方程为－y2＝1. 9.(10分)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|＝10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|＝5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程. 解　当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点， 由△AF1B的周长等于26，得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝26， 由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得， |AF1|－|AF2|＋|BF1|－|BF2|＝4a，即|AF1|－|AB|＋|BF1|＝4a，而|AB|＝5， 因此可得5－(－5)＝26－4a⇒a＝4，因为|F1F2|＝10，所以c＝5， 于是b＝＝3， 所以双曲线方程为＝1； 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为＝1， 综上所述，双曲线的标准方程为＝1或＝1. 10.(10分)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程；(4分) (2)若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.(6分) 解　(1)椭圆方程可化为＝1， 则焦点在x轴上， 且c＝，故设双曲线的标准方程为 ＝1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线的标准方程为＝1. (2)不妨设点M在右支上， 则|MF1|－|MF2|＝2， 又|MF1|＋|MF2|＝6， 解得|MF1|＝4，|MF2|＝2， 又|F1F2|＝2， 因此在△MF1F2中，边MF1最长， 而cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1为钝角， 故△MF1F2为钝角三角形. 11.已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cos∠F1BF2等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a， 设|BF1|＝m，则|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，则|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|AB|＝|BF2|＝3a，|AF2|＝4a， 在△BAF2中，由余弦定理得cos∠F1BF2＝. 12.设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　结合题意可知， 设|MF2|＝m，则|NF2|＝m，|MN|＝m， 结合双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝2，则|MF1|＝m－2， 又由双曲线的定义可得|NF1|－|NF2|＝2，则m＋m－2－m＝2，解得m＝2， 所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2，|NF2|＝2，∠F1NF2＝45°， 在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝ ＝＝2， 所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2，即b＝. 13.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，·＝0，则(　　) A.点P的纵坐标为 B.|PF1|＝2＋2 C.△PF1F2的周长为4＋4 D.△PF1F2的面积为4 答案　ABD 解析　依题意a＝b＝2，c＝2，因为·＝0，所以＝32.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4， ① 两边平方得－2|PF1|·|PF2|＝16，即32－2|PF1|·|PF2|＝16，解得|PF1|·|PF2|＝8，故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝4，D正确； 设点P的纵坐标为h，则△PF1F2的面积为|F1F2|·h＝4，解得h＝，A正确； 由(|PF1|＋|PF2|)2＝＋2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|＋|PF2|＝4， ② 故△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝4＋4，C错误； ①＋②可得|PF1|＝2＋2，B正确. 14.(5分)已知双曲线C1：x2－＝1(b>0)与椭圆C2：＋y2＝1(a>)有公共的焦点F1，F2，且C1与C2在第一象限的交点为M，若△MF1F2的面积为1，则a的值为　　　　　.  答案　 解析　设F1，F2分别为左、右焦点， 根据椭圆以及双曲线定义可得 所以|MF1|＝a＋1， |MF2|＝a－1， 所以|MF1||MF2|＝a2－1， 由余弦定理可得|F1F2|2＝(|MF1|＋|MF2|)2 －2|MF1||MF2|－2|MF1||MF2|cos∠F1MF2 ＝4(a2－1)， 所以cos∠F1MF2＝， 故sin∠F1MF2＝， 因此△MF1F2的面积为 |MF1||MF2|sin∠F1MF2 ＝(a2－1) ＝＝1， 解得a＝. 15.(多选)已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，M是左支上一点，且在x轴的上方，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A.若∠MF1F2＝，则直线MN的斜率为－ B.若∠MF1F2＝，则·＝2 C.若∠MF1F2＝α，则|ON|＝1 D.若∠MF1F2＝α，则|ON|＝cos α 答案　AC 解析　由题意得a＝1，b＝，c＝，M在第二象限， 当∠MF1F2＝时，MF1⊥F1F2，又F1(－，0)，F2(，0)，故M(－，2)， |F1F2|＝2c＝2，|MF2|＝＝4，故∠F1MF2＝，∠MF2F1＝， 由于NM是∠F1MF2的平分线，所以∠NMF2＝，设MN与x轴交于点G，进而可得∠MGF2＝，故斜率为－，故A正确； 由于⊥，所以·＝||2＝＝4，故B错误； 延长F2N，MF1交于点H，连接ON， 由于NM是∠F1MF2的平分线，⊥，所以△MNH≌△MNF2， 故N是HF2的中点，|HM|＝|F2M|， 由双曲线定义可得|F2M|－|F1M|＝2a⇒|HM|－|F1M|＝2a⇒|HF1|＝2a， 又O是F1F2的中点，|ON|＝|HF1|＝a＝1，故C正确，D错误. 16.(12分)在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 秒(注：v0为信号传播速度)，C处舰艇保持静默. (1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；(6分) (2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？(6分) 解　(1)如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P(x，y)， 由题意可知|PB|－|PA|＝v0·＝4. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4， 即a＝2，c＝3，所以b＝. 所以敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程为 ＝1(x≤－2). (2)设方程＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)， 由题意知＝1(x0≤－2)，即＝4＋，又C(0，3)，所以|MC|＝(y0∈R)， 所以当y0＝时，|MC|min＝2， 即无人机飞行的距离最小是2. 学科网（北京）股份有限公司 $